est la recherche des plans stables par un endomorphisme en relation avec la notion de produit vectoriel.

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Problème I.

L'objet de ce problème

est la recherche des plans stables par un endomorphisme en relation avec la notion de produit vectoriel.

Si v est un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E et x un vecteur non nul de E , on dira que x est un vecteur propre de v si et seulement si il existe λ ∈ R tel que v(x) = λx . On dira alors que λ est la valeur propre associée.

On dira aussi que λ est valeur propre de v si et seulement si il existe un vecteur non nul x tel que v(x) = λx .

On appelle polynôme caractéristique de v le polynôme associé à la fonction polynomiale λ → det(v − λ Id

)

Un plan P de E (sous-espace vectoriel de dimension 2 ) est dit stable par u si et seulement si, pour tous les x de P , u(x) ∈ P .

Soit E un R espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois muni d'une base ortho- normée directe B = (e

, e

, e

) xée.

Soit u ∈ L(E) , on dénit un endomorphisme noté e u ∈ L(E) par l'image de B :



 

 

u(e e

) = u(e

) ∧ u(e

) u(e e

) = u(e

) ∧ u(e

) u(e e

) = u(e

) ∧ u(e

)

Soit U la matrice de u dans la base B . On dénit l'adjoint de u (noté u

) comme l'endo- morphisme de E dont la matrice dans B est

U .

Question préliminaire.

Montrer que λ ∈ R est valeur propre de v ∈ L(E) si et seulement si λ est une racine du polynôme caractéristique de v .

Partie I.

1. On considère ici des endomorphismes u

et u

dans L(E) de matrices dans la base B respectivement U

et U

avec

U

=





0 0 −1 1 0 −3 0 1 −3



 U

=





0 1 1

0 1 −1

0 1 1





Calculer les matrices dans B de f u

et f u

. On les notera U f

et U f

.

1d'après Centrale-Supelec 2002 PC maths II

2. Montrer que (u

(x)/y) = (x/u(y)) pour tous x et y dans E . En déduire ker u

= (Im u)

et Im u

= (ker u)

.

3. a. Montrer que e u(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y) pour tous les (x, y) ∈ E

.

b. Soit v ∈ L(E) . Montrer que v(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y) pour tous les (x, y) ∈ E

entraine v = u e .

4. a. Déterminer Id g

et exprimer λu f en fonction de λ et u e pour un λ réel.

b. Soit v dans L(E) . Montrer que u ] ◦ v = u e ◦ e v .

c. Montrer que u bijectif entraine e u est bijectif et exprimer la bijection réciproque.

d. Montrer que e

e u = det(u) u .

5. a. Exprimer la matrice (notée U e ) de u e dans B en fonction de la comatrice de U (notée com(U ) ).

b. Montrer que u

◦ u e = e u ◦ u

= det(u) Id

. c. Montrer que f u

= ( e u)

.

6. On suppose que u n'est pas bijectif. Préciser le rang de e u ainsi que ker e u et Im u e selon le rang de u .

7. L'application de L(E) dans lui même qui à u associe u e est-elle linéaire ? injective ? surjective ?

Partie II.

1. Soit P = Vect(x, y) un plan stable par u .

Montrer que x ∧ y est un vecteur propre de u e . Exprimer la valeur propre associée à l'aide de la restriction de u à P .

2. Soit z un vecteur propre de norme 1 de u e et de valeur propre non nulle.

a. Montrer qu'il existe une base orthonormée directe (x, y, z) . b. Montrer que P = Vect(x, y) est stable par u .

3. a. Montrer que 0 est valeur propre de u si et seulement si 0 est valeur propre de u e . b. Soit v ∈ L(E) . Montrer que, pour tout réel λ , les plans stables par v sont les

plans stables par v − λ Id

.

c. Comment peut-on obtenir les plans stables par u bijectif ? Généraliser au cas non bijectif.

4. a. Calculer les polynômes caractéristiques des endomorphismes u f

et f u

de la ques- tion I.1..

b. Déterminer les plans stables de u

et u

.

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Problème II.

L'objet de ce problème est l'étude d'une certaine intégale curviligne le long d'une portion d'ellipse qui est obtenue par projection d'un demi grand cercle tracé sur la sphère unité.

On se place dans un espace ane euclidien muni d'un repère orthonormé R = (O, B) avec B = ( − →

i , − → j , − →

k ) . On note S la demi-sphère unité formée par les points dont les coordonnées (x, y, z) vérient x

+ y

+ z

= 1 avec z > 0 .

Dans tout le problème ϕ appartient à ]0,

[ .

Fig. 1: Un demi grand cercle sur la shpère unité.

Partie I. Projection d'un demi grand cercle

Soit − → u

le vecteur de coordonnées (0, − sin ϕ, cos ϕ) dans B . On note C

l'intersection du plan orthogonal à − → u

passant par O et de S . On note E

la projection orthogonale de C

sur le plan (O, − →

i , − → j ) .

1. a. Soit M un point du plan (O, − → i , − →

j ) de coordonnées (x, y) . Sous quelle condition portant sur x et y le point M est-il dans E

?

b. En déduire que E

est une conique dont on précisera le genre, l'axe focal et les foyers.

2. Soit B

une base orthonormée directe ( − → i , − →

j

, − → u

) et θ un nombre réel.

Fig. 2: Projection d'un demi grand cercle.

a. Former la matrice dans B

de la rotation d'angle θ autour de − → u

. On note r

cette rotation.

b. Calculer les coordonnées de − →

j

dans B puis la matrice de r

dans B . c. On note M

le point O + r

( − →

i ) . Pour quels θ le point M

est-il dans C

? En déduire une paramétrisation de E

θ → P

Partie II. Intégrale curviligne.

Dans cette partie, x et y désignent les fonctions coordonnées associées au repère (O, − →

i , − →

j ) dans le plan (O, − → i , − →

j ) .

On considère la forme diérentielle ω dénie dans la plan (privé de O ) par ω =

p 1 − x

− y

3(x

+ y

) (y dx − x dy) On considère la demi ellipse d'équation

x

+ 1

cos

ϕ y

= 1 y > 0

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y

x P

P

cos θ

cos θ

Fig. 3: Arc d'ellipse

On note Γ l'arc orienté sur cette demi ellipse de P

à P

respectivement de coordonnées cos θ

et cos θ

avec θ

> 0 et θ

> 0 .

1. Calculer l'intégrale

Z

θ0

sin θ

cos

ϕ + sin

ϕ cos

θ dθ 2. Calculer l'intégrale curviligne de ω le long de Γ .

Partie III. Expression vectorielle.

On se donne deux vecteurs unitaires − → m

et − → m

respectivement de coordonnées (a

, b

, c

) et (a

, b

, c

) tels que c

> 0 et c

> 0 .

Soit − → u le vecteur unitaire orthogonal à − → m

et − → m

dont le produit scalaire avec − → k est strictement positif et ϕ l'écart angulaire entre − →

k et − → u . Soit − →

I le vecteur unitaire orthogonal à − → u et − →

k tel que ( − → k , − → u , − →

I ) soit directe.

Soit − →

J le vecteur unitaire tel que ( − → I , − →

J , − →

k ) soit une base orthonormée directe.

1. a. Montrer qu'il existe ε ∈ {−1, +1} tel que

−

→ u = ε k−→ m

∧ −→ m

k

−→ m

∧ −→ m

b. Exprimer cos ϕ et sin ϕ à l'aide de produits vectoriels et scalaire. En déduire que ϕ ∈]0,

[ .

Fig. 4: Deux vecteurs dans la demi sphère 2. Montrer qu'il existe un réel λ > 0 tel que − →

J = −ελp( −→ m

∧ −→ m

) où p désigne la projection orthogonale sur Vect( − →

i , − → j ) . 3. a. Montrer que

( − →

J / −→ m

) = ελ ( −→ m

∧ −→ m

/ − →

k ) ( −→ m

/ − → k ) b. Montrer qu'il existe des réels θ

et θ

dans ]0, π[ tels que

−

→ m

= r

( − →

I ) − → m

= r

( − → I ) (la notation r

désigne la rotation d'angle θ autour de − → u )

4. En exprimant cos θ

et cos ϕ en fonction de ε , sin(θ

−θ

) , sin ϕ et de produits scalaires et vectoriels, montrer que

cos θ

tan ϕ = ( −→ m

∧ − →

k / −→ m

∧ −→ m

) ( − →

k / −→ m

∧ −→ m

)

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