est la recherche des plans stables par un endomorphisme en relation avec la notion de produit vectoriel.

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème

¹

est la recherche des plans stables par un endomorphisme en relation avec la notion de produit vectoriel.

Si v est un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E et x un vecteur non nul de E , on dira que x est un vecteur propre de v si et seulement si il existe λ ∈ R tel que v(x) = λx . On dira alors que λ est la valeur propre associée.

On dira aussi que λ est valeur propre de v si et seulement si il existe un vecteur non nul x tel que v(x) = λx .

On appelle polynôme caractéristique de v le polynôme associé à la fonction polynomiale λ → det(v − λ Id

E

)

Un plan P de E (sous-espace vectoriel de dimension 2 ) est dit stable par u si et seulement si, pour tous les x de P , u(x) ∈ P .

Soit E un R espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois muni d'une base ortho- normée directe B = (e

1

, e

2

, e

3

) xée.

Soit u ∈ L(E) , on dénit un endomorphisme noté e u ∈ L(E) par l'image de B :



 

 

u(e e

₁

) = u(e

₂

) ∧ u(e

₃

) u(e e

2

) = u(e

3

) ∧ u(e

1

) u(e e

3

) = u(e

1

) ∧ u(e

2

)

Soit U la matrice de u dans la base B . On dénit l'adjoint de u (noté u

^∗

) comme l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est

^t

U .

Question préliminaire.

Montrer que λ ∈ R est valeur propre de v ∈ L(E) si et seulement si λ est une racine du polynôme caractéristique de v .

Partie I.

1. On considère ici des endomorphismes u

1

et u

2

dans L(E) de matrices dans la base B respectivement U

1

et U

2

avec

U

1

=





0 0 −1 1 0 −3 0 1 −3



 U

2

=





0 1 1

0 1 −1

0 1 1





Calculer les matrices dans B de f u

₁

et f u

₂

. On les notera U f

₁

et U f

₂

.

1d'après Centrale-Supelec 2002 PC maths II

2. Montrer que (u

^∗

(x)/y) = (x/u(y)) pour tous x et y dans E . En déduire ker u

^∗

= (Im u)

^⊥

et Im u

^∗

= (ker u)

^⊥

.

3. a. Montrer que e u(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y) pour tous les (x, y) ∈ E

²

.

b. Soit v ∈ L(E) . Montrer que v(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y) pour tous les (x, y) ∈ E

²

entraine v = u e .

4. a. Déterminer Id g

E

et exprimer λu f en fonction de λ et u e pour un λ réel.

b. Soit v dans L(E) . Montrer que u ] ◦ v = u e ◦ e v .

c. Montrer que u bijectif entraine e u est bijectif et exprimer la bijection réciproque.

d. Montrer que e e u = det(u) u .

5. a. Exprimer la matrice (notée U e ) de u e dans B en fonction de la comatrice de U (notée com(U ) ).

b. Montrer que u

^∗

◦ u e = e u ◦ u

^∗

= det(u) Id

E

. c. Montrer que f u

^∗

= ( e u)

^∗

.

6. On suppose que u n'est pas bijectif. Préciser le rang de e u ainsi que ker e u et Im u e selon le rang de u .

7. L'application de L(E) dans lui même qui à u associe u e est-elle linéaire ? injective ? surjective ?

Partie II.

1. Soit P = Vect(x, y) un plan stable par u .

Montrer que x ∧ y est un vecteur propre de u e . Exprimer la valeur propre associée à l'aide de la restriction de u à P .

2. Soit z un vecteur propre de norme 1 de u e et de valeur propre non nulle.

a. Montrer qu'il existe une base orthonormée directe (x, y, z) . b. Montrer que P = Vect(x, y) est stable par u .

3. a. Montrer que 0 est valeur propre de u si et seulement si 0 est valeur propre de u e . b. Soit v ∈ L(E) . Montrer que, pour tout réel λ , les plans stables par v sont les

plans stables par v − λ Id

_E

.

c. Comment peut-on obtenir les plans stables par u bijectif ? Généraliser au cas non bijectif.

4. a. Calculer les polynômes caractéristiques des endomorphismes u f

1

et f u

2

de la question I.1..

b. Déterminer les plans stables de u

1

et u

2

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aplanstab

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

Question préliminaire.

Le réel λ est valeur propre de v si et seulement si il existe un vecteur non nul tel que v(x) = λx ce qui est la même chose que x ∈ ker(v − λ Id

_E

) . Ainsi, λ est valeur propre si et seulement si λ est une racine du polynôme caractéristique.

Partie I.

1. Il s'agit d'un simple calcul de produits vectoriels en coordonnées. On obtient

U e

₁

=





3 3 1

−1 0 0 0 −1 0



 U e

₂

=





2 0 0

0 0 0

−2 0 0





2. Soit x et y des vecteurs quelconques de E et X , Y les matrices colonnes de leurs coordonnées. On peut traduire matriciellement le produit scalaire

(u(x)/y) =

^t

(U X ) Y =

^t

X

^t

U Y

= (x/u

^∗

(y))

Un vecteur x est dans ker u

^∗

si et seulement si, pour tous les y ∈ E , (u

^∗

(x)/y) = 0 . On en déduit

x ∈ ker u

^∗

⇔ ∀y ∈ E, (x/u(y)) = 0 ⇔ x ∈ (Im u)

^⊥

De même,

x ∈ ker u ⇔ ∀y ∈ E, (u(x)/y) = 0 ⇔ ∀y ∈ E, (x/u

^∗

(y)) = 0 ⇔ x ∈ (Im u

^∗

)

^⊥

Donc ker u = (Im u

^∗

)

^⊥

ce qui entraine (ker u)

^⊥

= Im u

^∗

en orthogonalisant.

3. a. Comme la base B est orthonormée directe, e

₃

= e

₁

∧ e

₂

donc

e u(e

1

∧ e

2

) = e u(e

3

) = u(e

1

) ∧ u(e

2

)

On raisonne de même avec e

1

= e

2

∧ e

3

et e

2

= e

3

∧ e

1

. En utilisant le caractère bilinéaire antisymétrique du produit vectoriel et la linéarité de u , on déduit la formule e u(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y) pour tous les vecteurs x et y .

b. En utilisant la propriété que doit vérier v pour les couples (x, y) égaux respectivement à (e

2

, e

3

) , (e

3

, e

1

) et (e

1

, e

2

) on montre que v et e u coïncident sur la base B . Comme les applications sont linéaires, elles sont égales.

4. a. Toujours avec le même type d'argument e

3

= e

1

∧e

2

· · · , on montre que Id g

E

= Id

E

. À cause de la bilinéarité du produit vectoriel, λu f = λ

²

u e .

b. On considère u e ◦ e v(x ∧ y) pour x et y quelconques dans E . Utilisons deux fois la propriété de I.2.a,

u e ◦ e v(x ∧ y) = u( e e v(x ∧ y) = u(v(x) e ∧ v(y)) = u ◦ v(x) ∧ u ◦ v(y) On conclut alors par I.2.b. que e u ◦ v e = u ] ◦ v .

c. Lorsque u est inversible, notons v sa bijection réciproque et u ◦ v = Id

_E

entraine u ] ◦ v = Id g

E

d'où u e ◦ e v = Id

E

ce qui entraine (on est en dimension nie) que u e est inversible d'inverse u g

⁻¹

.

d. Dans cette question, on utilise la formule du double produit vectoriel e e

u(e

1

) = u(e e

2

) ∧ e u(e

3

) = (u(e

3

) ∧ u(e

1

)) ∧ (u(e

1

) ∧ u(e

2

))

= (u(e

₃

)/ (u(e

₁

) ∧ u(e

₂

)))u(e

₁

) − (u(e

₁

)/ (u(e

₁

) ∧ u(e

₂

))

| {z }

=0

u(e

₃

)

= det(u(e

1

), u(e

2

), u(e

3

))u(e

1

) = det(u) u(e

1

) Les calculs sont analogues pour les deux autres vecteurs de base ce qui entraine la formule demandée.

5. a. On trouve par le calcul que U e = com(U) . On peut le montrer sans calcul en considérant la matrice U de u . Le développement de son déterminant le long de la troisième colonne peut s'interpréter comme le produit scalaire de e

₁

∧ e

₂

contre e

₃

. C'est la dénition même du produit vectoriel e

₁

∧ e

₂

. On en déduit que les coordonnées de e

₁

∧ e

₂

sont les trois cofacteurs (1, 3) , (2, 3) , (3, 3) de la matrice.

Cela prouve que la troisième colonne de U e est la troisième colonne de com(U ) . On raisonne de même pour les autres colonnes.

b. La formule de cours

t

U com(U ) = det(U ) I

montre, d'après la question précédente que u

^∗

◦ u e = det(u) Id

E

car cela en est la traduction matricielle dans la base B .

Dans la cours, la deuxième formule : U

^t

com(U ) = det(U ) I gure également.

On en déduit com(U )

^t

U = det(U ) I en transposant. Ces relations constituent la traduction matricielle dans la base B de

u

^∗

◦ u e = e u ◦ u

^∗

= det(u) Id

E

qui montre que e u et u

^∗

commutent.

2

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MPSI B 29 juin 2019

c. Soit i et j entre 1 et 3 , à cause de la conservation du déterminant par transposi- tion :

terme i , j de u f

^∗

= terme i , j de com(

^t

U ) = terme j , i de com(U )

= terme i , j de

^t

com(U ) = terme i , j de e u

^∗

On en déduit f u

^∗

= u e

^∗

.

6. Si rg(u) = 1 , toutes les images par u sont colinéaires donc

e u(e

3

) = u(e

1

) ∧ u(e

2

) = 0

E

et de même pour les autres vecteurs de base. Dans ce cas u e = 0

_L(E)

.

Si rg(u) = 2 , l'image de u est un plan vectoriel et les images par u e des vecteurs de bases sont, par construction avec le produit vectoriel, dans la droite orthogonale à ce plan image. Le rang de u e est donc 1 et Im u e = (Im u)

^⊥

.

D'après le théorème du rang, le noyau de e u est de dimension 2 . De plus, d'après la question 5.b., e u◦ u

^∗

= O

_L(E)

donc Im u

^∗

⊂ ker e u . D'après 2., Im u

^∗

= (ker u)

^⊥

. Comme dim(ker u)

^⊥

= 3 − dim(ker u) = rg(u) = 2 , on en déduit

ker u e = (ker u)

^⊥

7. L'application u → u e n'est pas linéaire car λu f = λ

²

u e .

Elle n'est pas non plus injective car tous les endomorphismes de rang 1 ont la même image à savoir l'endomorphisme nul.

Elle n'est pas plus surjective car aucun endomorphisme de rang 2 ne peut être un u e d'après la discussion du rang de la question précédente.

Partie II.

1. Soit P = Vect(x, y) un plan stable par u . Son orthogonal est la droite Vect(x ∧ y) . Le produit vectoriel de deux éléments de P est dans cette droite vectorielle orthogonale.

On a donc :

u(x e ∧ y) = u(x)

∈P

∧ u(y)

∈P

∈ Vect(x ∧ y) ce qui montre que x ∧ y est un vecteur propre de e u .

Considérons une base orthonormée A = (a, b, c) de E telle que P = Vect(a, b) . Comme les vecteurs a ∧ b et x ∧ y sont colinéaires. Ils sont donc tous les deux vecteurs propres

et pour la même valeur propre. Considérons la matrice de u dans A .

Mat

_A

u =





α

1

β

1

γ

1

α

2

β

2

γ

2

0 0 γ

3





et eectuons les calculs dans cette base :

Mat

_A

u(a) =



 α

1

α

2

0 

 Mat

_A

u(b) =



 β

1

β

2

0 

 Mat

_A

u(a) ∧ u(b) =



 0 0 α

1

β

2

− α

2

β

1





On en déduit que la valeur propre est α

₁

β

₂

− α

₂

β

₁

qui est aussi le déterminant de la restriction de u à P .

2. Dans cette question, z est un vecteur propre unitaire de u e . On note λ 6= 0 la valeur propre associée soit e u(x) = λx .

a. Soit x un vecteur unitaire orthogonal à z . La famille (z, x, z ∧x) est alors une base orthonormée directe. Il en est de même pour (x, z ∧ x, z) . On peut donc choisir y = z ∧ x et on aura bien (x, y, z) orthonormée directe ce qui entraine z = x ∧ y . b. On va montrer que P = Vect(x, y) = Vect(z)

^⊥

est stable par u . Considérons pour

cela (u(x)/z) :

(u(x)/z) = 1

λ (u(x)/ u(z)) = e 1

λ (u(x)/ u(x e ∧ y)) = 1

λ (u(x)/u(x) ∧ u(y))

= 1

λ det(u(x), u(y), u(x)) = 0 ce qui entraine u(x) ⊥ z donc u(x) ∈ P . On démontre de manière analogue que u(y) ∈ P . Le plan P orthogonal à z est donc stable par u .

3. a. D'après la dénition, 0 est une valeur propre si et seulement si il existe un vecteur non nul x dont l'image est 0x c'est à dire 0

E

. Ainsi, 0 est une valeur propre d'un endomorphisme si et seulement si l'endomorphisme n'est pas bijectif. On a montrer dans la première partie que u est bijectif si et seulement si e u est bijectif.

L'équivalence est valable aussi pour les négations ce qui traduit que 0 est valeur propre de u si et seulement si 0 est valeur propre de e u .

b. Supposons que P est stable par v et vérions qu'il est aussi stable par v − λ Id

E

.

∀x ∈ P, (v − λ Id

_E

)(x) = v(x)

∈P

− x

∈P

∈ P

3

(4)

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car P est un sous-espace vectoriel.

Réciproquement, si P est stable par v − λ Id

E

, comme v = (v − λ Id

E

) + λ Id

E

, le même raisonnement montre que P est stable par v .

c. D'après la question 2., lorsque 0 n'est pas valeur propre de u (c'est à dire lorsque u est bijectif) la recherche des plans propres de u est équivalente à la recherche des vecteurs propres de u e .

Lorsque u n'est pas bijectif, il existe des réels λ tels que u − λ Id

E

soit bijectif. Il sut en eet de choisir un λ qui n'est pas une racine du polynôme caractéristique.

On sait alors que u et u − λ Id

E

ont les mêmes plans stables. On les trouve en cherchant les vecteurs propres de u − ^ λ Id

_E

.

4. a. Avec l'expressions des matrices U f

1

et f U

2

, on peut calculer les polynômes caracté- ristiques puis les factoriser :

P

1

(λ) = −λ

³

+ 3λ

²

− 3λ + 1 = −(λ − 1)

³

P

2

(λ) = −λ

³

+ 2λ

²

= −λ

²

(λ − 2)

b. D'après la question précédente, u

1

et f u

1

sont bijectifs et la seule valeur propre de f u

1

est 1 . Les plans stables pour u

1

sont les plans orthogonaux aux vecteurs propres de f u

1

. Ces vecteurs propres sont les éléments du noyau de f u

1

− Id

E

. Pour les trouver, on résoud le système :



 

 

2x + 3y + z = 0

−x − y = 0

−y − z = 0

⇔



 x y z



 = −y



 1

−1 1





Les vecteurs propres de f u

₁

sont les vecteurs non nuls colinéaires à e

₁

− e

₂

+ e

₃

. On en déduit que u

₁

admet un unique plan stable :

Vect(e

1

− e

2

+ e

3

)

^⊥

Les endomorphismes u

2

et f u

2

ne sont pas bijectifs. Ils sont respectivement de rang 2 et 1 . Pour trouver les plans stables, on doit commencer par trouver un λ tel que u

2

− λ Id

E

soit bijectif. Il sut de choisir un nombre qui n'est pas racine du polynôme caractéristique de u

2

.

Comme il n'y a que trois racines au plus, il est plus économique d'essayer un nombre au hasard et vérier qu'il convient plutot que de calculer et factoriser le polynôme caractéristique.

Par exemple pour λ = 1 , la matrice de u

2

− Id

E

est de rang 3 donc u

2

− Id

E

est bijectif et admet les mêmes plans stables que u

2

.

U

2

− I =





−1 1 1 0 0 −1

0 1 0



 U ^

2

− I =





1 0 0

1 0 1

−1 −1 0





Le polynôme caractéristique de u

2

^ − Id

E

se factorise en −(λ − 1)(λ + 2 + 1) . Il existe donc une unique valeur propre. On résoud le système associé :