Énoncé
Ce problème
1aborde l'étude des matrices à coecients dans {0, 1} à travers plusieurs thématiques indépendantes. Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :
M
n= M
n( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL
n( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M
n( R ) ,
O
nl'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R orthogonales c'est à dire les matrices M ∈ M
ntelles que
tM M = I
n.
X
nl'ensemble des éléments de M
n( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y
nl'ensemble des éléments de M
n( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] , P
nl'ensemble des éléments de X
nne contenant qu'un seul élément non nul par ligne
et par colonne.
On dira que λ ∈ C est une valeur propre complexe de M ∈ M
nsi et seulement si
∃X ∈ M
n,1( C ), X 6= 0
Mn,1(C)tq M X = λX
I. Généralités
1. Justier que X
nest un ensemble ni et préciser son cardinal.
2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y
n. 3. Démontrer que Y
nest une partie convexe de M
n( R ) .
4. Soit M ∈ Y
net λ une valeur propre complexe de M c'est à dire λ ∈ C , ∃X ∈ M
n,1( C ), X 6= 0
Mn,1(C)tq M X = λX Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.
5. Étude de X
n0= X
n∩ GL
n( R ) .
a. Faire la liste des éléments de X
20.
b. Montrer que X
20engendre M
2. La propriété Vect(X
n0) = M
nest-elle vraie pour n ≥ 2 ?
II. Maximisation du déterminant
1. Justier l'existence de
x
n= max {det(M ), M ∈ X
n} y
n= sup {det(M ), M ∈ Y
n}
1d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016
2. Montrer que la suite (y
k)
k≥2est croissante.
3. Soit J ∈ X
nla matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I
n. calculer det(M ) et en déduire que (y
k)
k≥2tend vers +∞ .
4. Soit N ∈ Y
n. Pour (i, j) ∈ J 1, n K
2
, on note n
i,jles coecients de N et supposons que pour un (i
0, j
0) xé on ait 0 < n
i0,j0< 1 .
a. Montrer qu'en remplaçant n
i0,j0soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N
0∈ Y
ntelle que det(N) ≤ det(N
0) .
b. Montrer que x
n= y
n.
III. Matrices de permutations
On note (e
1, · · · , e
n) la base canonique de R
net S
nl'ensemble des bijections de J 1, n K dans lui même (permutations). Pour tout σ ∈ S
n, on note P
σla matrice dont le coecient i, j vaut 1 si i = σ(j) et 0 sinon. On dit que P
σest la matrice de permutation associée à σ . On note u
σl'endomorphisme de R
ndont la matrice dans la base canonique est P
σ.
1. Soit σ et σ
0deux permutations, exprimer P
σP
σ0et
tP
σcomme des matrices de permu- tation.
2. Montrer que si M ∈ O
nson déterminant vaut +1 ou −1 . 3. Montrer que P
n= X
n∩ O
net déterminer son cardinal.
4. Valeurs et vecteurs propres pour une matrice de permutation.
a. Soit c la permutation dénie par
c(1) = n, c(2) = 1, · · · , · · · c(n − 1) = n − 2, c(n) = n − 1
On note ω = e
2iπn. Montrer que ω est une valeur propre complexe de P
cet préciser la colonne non nulle associée. Montrer que toutes les racines n -ième de l'unité ( u ∈ U
n) sont des valeurs propres complexes de P
c.
b. Déterminer des valeurs propres (et les colonnes propres associées) pour une per- mutation σ quelconque.
5. Une caractérisation des éléments de P
n.
On se donne une matrice M ∈ GL
n( R ) dont tous les coecients sont des entiers naturels et telle que l'ensemble formé par tous les coecients de toutes les puissances successives de M (dans N) soit ni.
Montrer que M
−1est à coecients dans N et en déduire que M est une matrice de
permutation. Que dire de la réciproque ?
IV. Matrices aléatoires
A. Génération par une colonne aléatoire
Soit p ∈]0, 1[ et X
1, . . . , X
ndes variables aléatoires mutuellement indépendantes, dénies sur un espace probabilisé (Ω, P ) et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p .
1. Calculer la probabilité de l'événement (X
1= X
2= · · · = X
n) .
2. Quelle est la loi de S = X
1+ · · · + X
n? On attend une démonstration du résultat annoncé.
3. Soient (i, j) ∈ J 1, n K
2
. Donner la loi de la variable aléatoire X
i,j= X
i× X
j. 4. Pour ω ∈ Ω , on introduit les matrices
U (ω) =
X
1(ω)
...
X
n(ω)
∈ M
n,1( R ), M (ω) = U (ω)
tU (ω) ∈ M
nL'application M : ω ∈ Ω 7→ M (ω) est ainsi une variable aléatoire.
a. Pour ω ∈ Ω , justier que M (ω) ∈ X
n.
b. Pour ω ∈ Ω , justier que tr(M (ω)) ∈ J 0, n K et que rg(M (ω)) ≤ 1 . c. Pour ω ∈ Ω , justier que
M (ω)
2= M (ω) et
tM (ω) = M (ω)
⇔ S(ω) ∈ {0, 1}
5. Donner la loi, l'espérance et la variance des variables aléatoires tr(M ) et rg(M ) . 6. Exprimer M
ken fonction de S et M . Quelle est la probabilité pour que la suite de
matrices (M
k)
k∈Nsoit convergente ?
B. Génération par remplissage aléatoire
Soit p ∈]0, 1[ . On part de la matrice nulle de M
n( R ) , notée M
0. Pour tout k ∈ N, on construit la matrice M
k+1à partir de M
kde la manière suivante
- on parcourt la matrice en une vague et chaque coecient nul est changé en 1 avec la probabilité p ;
- chaque action sur un coecient est indépendante de ce qui se passe sur les autres et des vagues précédentes.
Les M
ksont donc des variables aléatoires à valeurs dans X
net l'on considère qu'elles sont dénies sur un espace probabilisé commun (Ω, P ) . Voici un exemple de réalisation de cette évolution pour n = 2
M
0= 0 0
0 0
→ M
1= 1 0
1 0
→ M
2= 1 0
1 0
→ M
3= 1 1
1 0
→ M
4= 1 1
1 1
→ M
5= 1 1
1 1
Pour k ≥ 1 , le nombre de modications réalisées lors de la k -ième vague est noté N
k. Dans l'exemple ci-dessus : N
1= 2 , N
2= 0 , N
3= 1 , N
4= 1 , N
5= 0 .
On s'intéresse au plus petit indice k pour lequel la matrice M
kne comporte que des 1 ; on dit alors qu'elle est totalement remplie.
Dans l'exemple précédent, ce premier indice vaut 4 . On note q = 1 − p et m = n
2.
1. Donner la loi de N
1, puis la loi conditionnelle de N
2sachant (N
1= i) pour i dans un ensemble à préciser. N
1et N
2sont-elles indépendantes ?
2. Soient i, j ∈ {1, . . . , n} . Le plus petit entier k ≥ 1 tel que le coecient ligne i , colonne j de M
kvaut 1 est noté T
i,j(dans l'exemple ci-dessus, T
1,1= 1 et T
1,2= 3 ).
Pour k ∈ N
∗, préciser P (T
i,j= k) .
3. Pour un entier k ≥ 1 , donner la limite de la suite ( P (T
i,j∈ J k, s K ))
s∈N
. On admettra que cette limite est P (T
i,j≥ k) .
4. Soient r ≥ 1 un entier et S
r= N
1+ · · · + N
r. Que représente S
r? Donner sa loi.
(Utiliser la question précédente)
Corrigé
I. Généralités
1. L'ensemble X
ns'identie aux fonctions de J 1, n K
2
dans {0, 1} , il est donc ni et de cardinal
2
(n2)2. Exprimons le déterminant avec des permutations
|det(M )| =
X
σ∈Sn
ε(σ) Y
j∈J1,nK
m
σ(j)j≤ X
σ∈Sn
|ε(σ)| Y
j∈J1,nK
|m
σ(j)j|
Tous les facteurs sont entre 0 et 1 donc tous les n! termes de la somme sont plus petits que 1 d'où | det(M )| ≤ 1 .
3. Soient A et B dans Y
net λ entre 0 et 1 . Considérons M
λ= λA + (1 − λ)B . Ses coecients vérient
terme i, j de M
λ= λa
i,j+ (1 − λ)b
i,j∈ [0, 1]
Donc M
λ∈ Y
nce qui prouve que Y
nest convexe.
4. Comme la colonne propre X est non nulle, il existe un indice i tel que 0 < |x
i| ≥ |x
j| pour tous les autres j . On en déduit, en examinant la ligne i du produit M X :
|λ||x
i| ≤
n
X
j=1
|m
i,j|
| {z }
≤1
|x
j|
|{z}
≤|xi|
≤ n|x
i| ⇒ |λ| ≤ n
Si M est la matrice ne contenant que des 1 et X la colonne ne contenant que des 1 , on a M X = nX . Il est donc possible d'obtenir des valeurs propres de module n . 5. a. Parmi les 16 matrices d'ordre 2 formées de 0 et de 1, on liste d'abord celles qui ne
contiennent ni ligne ni colonne nulle en considérant les premières lignes possibles (il y en a 3) :
0 1 1 0
, 0 1
1 1
, 1 0
0 1
, 1 0
1 1
, 1 1
0 1
, 1 1
1 0
, 1 1
1 1
On élimine la dernière qui est de rang 1 . Il en reste donc 6 .
A = 0 1
1 0
, B = 0 1
1 1
, I = 1 0
0 1
, C = 1 0
1 1
, D = 1 1
0 1
, E =
1 1 1 0
, b. Elles engendrent les matrices élémentaires car
E
1,1= E − A, E
1,2= D − I, E
2,1= C − I, E
2,2= B − A
Dans le cas général de l'ordre n . Si i 6= j , la matrice I
n+ E
i,jest une matrice d'opérations élémentaire donc dans X
n0. Ceci montre que E
i,j∈ Vect(X
n0) . Pour les E
i,i, on utilise la matrice D avec des 1 sur mauvaise diagonale ( d
i,j= δ
n−j+1,i) car D +E
i,iest encore inversible. On engendre ainsi tous les E
i,isauf E
p,plorsque n = 2p + 1 . On pourra également l'obtenir comme combinaison mais avec plus de deux matrices. La propriété reste donc vraie à l'ordre n . Par exemple
0 0 0 0 1 0 0 0 0
= D + 2I −
1 0 0 0 1 0 1 0 1
−
1 0 1 0 1 0 0 0 1
II. Maximisation du déterminant
1. Comme X
nest ni, l'ensemble des déterminants l'est aussi donc il admet un plus grand élément.
L'ensemble Y
nest inni donc on ne peut armer que l'ensemble des déterminants soit ni. En revanche, on sait d'après I.2. qu'il est majoré. Comme toute partie de R non vide et majorée il admet une borne supérieure y
n.
2. Le nombre y
n+1est un majorant de {det(M ), M ∈ Y
n} . En eet, pour toute M ∈ Y
n, on peut former une matrice M
0∈ Y
n+1de même déterminant en la bordant par des 0 avec seulement un 1 en position 1, 1 . Comme y
nest le plus petit des majorants, on en déduit y
n≤ y
n+1.
3. Notons X
1, · · · , X
nles colonnes de la base canoniques des matrices colonnes et C la colonne qui ne contient que des 1 . On peut alors écrire
C
j(J) = C − X
jDéveloppons le déterminant de M par multilinéarité par rapport aux colonnes. Seuls contribuent les distributions où C gure au plus une fois. On en déduit
det(M ) = (−1)
ndet(I) + (−1)
n−1n
X
j=1
det(X
1, · · · , X
j−1, C, X
j+1, · · · , X
n)
= (−1)
n−1(n − 1) Ces matrices montrent que la suite des y
ndiverge vers +∞ pour les n impairs. Pour les n pairs, il sut de modier la matrice en permutant deux lignes ou colonnes.
4. a. On suppose n
i0,j0∈ ]0, 1[ , considérons le développement du déterminant selon la colonne j
0. Dans ce développement, le coecient n
i0,j0intervient seulement dans le terme
n
i0,j0C
i0,j0où C
i0,j0désigne le cofacteur. Si ce cofacteur est positif ou nul, en remplaçant n
i0,j0par 1 , on augmente le déterminant. Si le cofacteur est strictement négatif, en remplaçant cette fois n
i0,j0par 0 on l'augmente aussi. On peut donc former une matrice N
0comme le demande l'énoncé.
b. Pour une matrice M quelconque dans Y
n, en procédant systématiquement comme dans la question précédente, on peut remplacer tous les coecients dans l'inter- valle ouvert par des 0 ou des 1 et obtenir nalement une matrice M
0∈ X
ntelle que det(M ) ≤ det(M
0) . On en déduit que x
nest un majorant de y
ndonc que x
n= y
n.
III. Matrices de permutations
1. Voir exercice sur les matrices de permutation. On trouve P
σP
σ0= P
σ◦σ0 tP
σ= (P
σ)
−1= P
σ−12. On utilise la dénition de O
net les propriétés du déterminant.
t
A A = I
n⇒ det(
tA A) = det(I
n) ⇒ (det(A))
2= 1
3. Une matrice de permutation ne contient que des 0 et des 1 donc elle est dans X
n. Elle est aussi orthogonale car
P
σtP
σ= P
σP
σ−1= P
Id= I
nRéciproquement, soit M une matrice orthogonale ne contenant que des 0 et des 1 . Comme elle est othogonale, chaque ligne i
0contient au moins un 1 . Soit j
0tel que m
i0,j0= 1 .
Pour tous les j 6= j
0, le terme j, j
0de
tM M est nul :
∀j 6= j
0,
n
X
k=1
m
k,jm
k,j0= 0 ⇒ m
i0,j= 0
si les 1 se trouvaient la somme ne pourrait pas être nulle. On en déduit que m
i0,j0est le seul terme non nul de la ligne i
0.
Cela permet de dénir une fonction ϕ de J 1, n K dans lui même telle que m
i,ϕ(i)soit le seul terme égal à 1 de la ligne i . Si cette application n'était pas injective, une même ligne se trouverait deux fois ce qui est en contradiction avec le fait que la matrice est inversible. On en déduit que chaque colonne contient un seul 1 et que M = P
ϕ−1. 4. a. Introduisons la colonne
X
ω=
1 ω ω
2...
ω
n−1
On vérie facilement que
P
cX
ω= ωX
ωCe qui montre que ω est une valeur propre complexe de P
cde vecteur propre X
ω. De même, pour tout u ∈ U
n,
X
u=
1 u u
2...
u
n−1
⇒ P
cX
u= uX
ub. Une permutation quelconque se décompose en cycles disjoints. Pour chaque cycle (disons de longueur r ), on peut trouver r vecteurs propres formés comme au dessus avec des éléments de U
r(chacun étant attaché à une valeur propre élément de U
r) mais seulement pour les indices du support du cycle et des 0 pour les autres.
5. On se donne une matrice M à coecients dans N telle que l'ensemble des coecients de toutes les M
kavec k ∈ N
∗soit ni. On en déduit que l'ensemble
M
k, k ∈ N est
ni. L'application k 7→ M
kne peut pas être injective car N
∗est inni. Il existe donc k < k
0tels que
M
k= M
k0⇒ M
k0−k= I
nOn en déduit que M est inversible et que son inverse M
0est une puissance de M donc il est aussi à coecients dans N. On peut alors raisonner comme pour les matrices orthogonales à partir de M
0M .
Pour tout j
0, il existe i
0tel que m
0i0,j0
6= 0 car M
0est inversible. Pour tout i 6= i
0, le terme i
0, i de M
0M est nul d'où :
n
X
k=1
m
0i0,km
k,i= 0 et m
0i0,j06= 0 ⇒ m
j0,i= 0
Autrement dit la ligne j
0de M contient au plus un coecient égal à 1 . Comme elle doit en contenir un pour être inversible elle en contient un seul et c'est une matrice de permutation.
IV. Matrices aléatoires
A. Génération par une colonne aléatoire
1. Lorsque toutes les lois prennent la même valeur, celle ci peut être 0 ou 1 les deux événements sont incompatibles et les variables sont indépendantes donc
P (X
1= X
2= · · · = X
n) = p
n+ (1 − p)
n2. La variable S suit une loi binomiale de paramètres n et p . Voir cours sur une variable binomiale comme somme de variables de Bernoulli indépendantes.
3. Pour tous les couples (i, j) , les variables X
i,j= X
iX
jne prennent que les valeurs 0 et 1 . Comme elles sont mutuellement indépendantes, si i 6= j , la variable X
i,jsuit une loi de Bernoulli de paramètre p
2. En revanche X
i,i= X
i2= X
isuit une loi de Bernoulli de paramètre p .
4. a. Le terme i, j de M (ω) est X
i(ω)X
j(ω) = X
i,j(ω) ∈ {0, 1} . Donc M (ω) appartient à X
n. La variable aléatoire M est à valeurs dans X
n.
b. La diagonale de M contient n coecients tous dans {0, 1} donc tr(M ) ∈ J 0, n K.
Les colonnes de M (ω) sont X
1(ω)U (ω), · · · , X
n(ω)U (ω) . Elle sont toutes dans Vect(U(ω)) donc le rang est inférieur ou égal à 1 .
c. On utilise l'associativité du produit matriciel et le fait qu'un produit ligne × colonne est un élément du corps donc peut se factoriser. De plus, ici
t
U (ω) U(ω) =
n
X
k=1
X
k(ω)
2=
n
X
k=1
X
k(ω) = S(ω)
En transposant l'expression de M , on s'aperçoit que M est symétrique et M
2= U
tU U
tU = S U
tU = SM On en déduit la caractrisation proposée.
5. D'après l'expression de M , tr(M ) = S qui est suit une loi binomiale de paramètres n et p donc son espérance est np et sa variance np(1 − p) .
Comme le rang est 0 ou 1 , il s'agit d'une variable de Bernoulli. Son paramètre est la probabilité que la colonne U ne soit pas nulle c'est à dire 1 − (1 − p)
npuisque la probabilité de l'événement contraire (la colonne est nulle) est (1 − p)
n.
6. On a déjà vu que M
2= SM . On en déduit par récurrence que
∀k ≥ 2, M
k= S
k−1M
Pour une issue ω , S(ω) ∈ J 0, n K donc la suite géométrique S(ω)
kk∈N
est convergente si et seulement si S(ω) ∈ {0, 1} . La probabilité de cet événement est
(1 − p)
n+ np(1 − p)
n−1= (1 − p)
n−1(1 + (n − 1)p) B. Génération par remplissage aléatoire
1. La matrice départ ne contient que des 0 donc N
1est une somme de m = n
2variables de Bernoulli de paramètre p . On en déduit que N
1suit une loi binomiale de paramètres m et p .
Pour la deuxième vague, si i coecients ont pris la valeur 1 , il en reste m−i modiables donc la loi conditionnelle de N
2sachant N
1= i est binomiale de paramètres m − i , p . Les variables N
1et N
2ne sont pas indépendantes. En eet,
P ((N
1= m) ∩ (N
2= 1)) = 0 6= P ((N
1= 3)) P ((N
2= 1))
car si toutes les valeurs ont été passées à 1 lors de la première vague, aucune ne peut
l'être lors de la seconde alors que P ((N
1= 3)) et P ((N
2= 1)) sont non nulles.
2. Comme les passages de 0 à 1 pour les coecients sont indépendants, P (T
i,j= k) = q
k−1p
Le coecient n'a pas été changé lors des k −1 premiers passage puis il l'a été au k -ème.
3. D'après la question précédente
P (k ≤ T
i,j≤ s) = q
k−1p + q
kp + · · · + q
s−1p = q
k−1p 1 + q + · · · + q
s−kPour s en +∞ , elle converge vers
P (T
i,j≥ k) = q
k−1p 1
1 − q = q
k−14. La variable S
rreprésente le nombre de 1 dans la matrice aléatoire après r passages.
Elle prend ses valeurs dans J 0, m K. Pour un k ∈ J 0, m K, évaluons P (S
r= l) . Classons les issues suivant l'ensemble des l places de la matrice contenant un 1 à la n. On obtient ainsi
mlévénements qui ont la même probabilité.
Quelle est cette probabilité ? Fixons un ensemble d'indices I ⊂ J 1, n K
2
à l éléments.
On cherche la probabilité de l'événement
\
(i,j)∈I
(T
i,j≤ r)
∩
\
(i,j)/∈I
(T
i,j> r)
Par hypothèse, les T
i,jsont indépendants et suivent la même loi d'où
P (S
r= l) = m
l
p + qp + · · · + q
r−1p
| {z }
avecp=1−q
l