aborde l'étude des matrices à coecients dans {0, 1} à travers plusieurs thématiques indépendantes. Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

(1)

Énoncé

Ce problème

¹

aborde l'étude des matrices à coecients dans {0, 1} à travers plusieurs thématiques indépendantes. Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

M

n

= M

n

( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL

_n

( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M

_n

( R ) ,

O

_n

l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R orthogonales c'est à dire les matrices M ∈ M

_n

telles que

^t

M M = I

_n

.

X

n

l'ensemble des éléments de M

n

( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y

n

l'ensemble des éléments de M

n

( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] , P

n

l'ensemble des éléments de X

n

ne contenant qu'un seul élément non nul par ligne

et par colonne.

On dira que λ ∈ C est une valeur propre complexe de M ∈ M

n

si et seulement si

∃X ∈ M

n,1

( C ), X 6= 0

_M_n,1₍_C₎

tq M X = λX

I. Généralités

1. Justier que X

n

est un ensemble ni et préciser son cardinal.

2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y

n

. 3. Démontrer que Y

n

est une partie convexe de M

n

( R ) .

4. Soit M ∈ Y

n

et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire λ ∈ C , ∃X ∈ M

n,1

( C ), X 6= 0

_M_n,1₍_C₎

tq M X = λX Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

5. Étude de X

_n⁰

= X

_n

∩ GL

_n

( R ) .

a. Faire la liste des éléments de X

₂⁰

.

b. Montrer que X

₂⁰

engendre M

2

. La propriété Vect(X

_n⁰

) = M

n

est-elle vraie pour n ≥ 2 ?

II. Maximisation du déterminant

1. Justier l'existence de

x

n

= max {det(M ), M ∈ X

n

} y

n

= sup {det(M ), M ∈ Y

n

}

1d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016

2. Montrer que la suite (y

k

)

_k≥2

est croissante.

3. Soit J ∈ X

_n

la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I

_n

. calculer det(M ) et en déduire que (y

k

)

_k≥2

tend vers +∞ .

4. Soit N ∈ Y

n

. Pour (i, j) ∈ J 1, n K

2

, on note n

i,j

les coecients de N et supposons que pour un (i

0

, j

0

) xé on ait 0 < n

i₀,j₀

< 1 .

a. Montrer qu'en remplaçant n

_i₀_,j₀

soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N

⁰

∈ Y

n

telle que det(N) ≤ det(N

⁰

) .

b. Montrer que x

n

= y

n

.

III. Matrices de permutations

On note (e

₁

, · · · , e

_n

) la base canonique de R

ⁿ

et S

_n

l'ensemble des bijections de J 1, n K dans lui même (permutations). Pour tout σ ∈ S

_n

, on note P

_σ

la matrice dont le coecient i, j vaut 1 si i = σ(j) et 0 sinon. On dit que P

_σ

est la matrice de permutation associée à σ . On note u

σ

l'endomorphisme de R

ⁿ

dont la matrice dans la base canonique est P

σ

.

1. Soit σ et σ

⁰

deux permutations, exprimer P

σ

P

σ⁰

et

^t

P

σ

comme des matrices de permutation.

2. Montrer que si M ∈ O

n

son déterminant vaut +1 ou −1 . 3. Montrer que P

n

= X

n

∩ O

n

et déterminer son cardinal.

4. Valeurs et vecteurs propres pour une matrice de permutation.

a. Soit c la permutation dénie par

c(1) = n, c(2) = 1, · · · , · · · c(n − 1) = n − 2, c(n) = n − 1

On note ω = e

^2iπⁿ

. Montrer que ω est une valeur propre complexe de P

c

et préciser la colonne non nulle associée. Montrer que toutes les racines n -ième de l'unité ( u ∈ U

n

) sont des valeurs propres complexes de P

c

.

b. Déterminer des valeurs propres (et les colonnes propres associées) pour une permutation σ quelconque.

5. Une caractérisation des éléments de P

n

.

On se donne une matrice M ∈ GL

n

( R ) dont tous les coecients sont des entiers naturels et telle que l'ensemble formé par tous les coecients de toutes les puissances successives de M (dans N) soit ni.

Montrer que M

⁻¹

est à coecients dans N et en déduire que M est une matrice de

permutation. Que dire de la réciproque ?

(2)

IV. Matrices aléatoires

A. Génération par une colonne aléatoire

Soit p ∈]0, 1[ et X

1

, . . . , X

n

des variables aléatoires mutuellement indépendantes, dénies sur un espace probabilisé (Ω, P ) et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p .

1. Calculer la probabilité de l'événement (X

₁

= X

₂

= · · · = X

_n

) .

2. Quelle est la loi de S = X

₁

+ · · · + X

_n

? On attend une démonstration du résultat annoncé.

3. Soient (i, j) ∈ J 1, n K

2

. Donner la loi de la variable aléatoire X

_i,j

= X

_i

× X

_j

. 4. Pour ω ∈ Ω , on introduit les matrices

U (ω) =





 X

1

(ω)

...

X

_n

(ω)





 ∈ M

n,1

( R ), M (ω) = U (ω)

^t

U (ω) ∈ M

n

L'application M : ω ∈ Ω 7→ M (ω) est ainsi une variable aléatoire.

a. Pour ω ∈ Ω , justier que M (ω) ∈ X

n

.

b. Pour ω ∈ Ω , justier que tr(M (ω)) ∈ J 0, n K et que rg(M (ω)) ≤ 1 . c. Pour ω ∈ Ω , justier que

M (ω)

²

= M (ω) et

^t

M (ω) = M (ω)

⇔ S(ω) ∈ {0, 1}

5. Donner la loi, l'espérance et la variance des variables aléatoires tr(M ) et rg(M ) . 6. Exprimer M

^k

en fonction de S et M . Quelle est la probabilité pour que la suite de

matrices (M

^k

)

_k∈N

soit convergente ?

B. Génération par remplissage aléatoire

Soit p ∈]0, 1[ . On part de la matrice nulle de M

n

( R ) , notée M

0

. Pour tout k ∈ N, on construit la matrice M

k+1

à partir de M

k

de la manière suivante

- on parcourt la matrice en une vague et chaque coecient nul est changé en 1 avec la probabilité p ;

- chaque action sur un coecient est indépendante de ce qui se passe sur les autres et des vagues précédentes.

Les M

k

sont donc des variables aléatoires à valeurs dans X

n

et l'on considère qu'elles sont dénies sur un espace probabilisé commun (Ω, P ) . Voici un exemple de réalisation de cette évolution pour n = 2

M

0

= 0 0

0 0

→ M

1

= 1 0

1 0

→ M

2

= 1 0

1 0

→ M

3

= 1 1

1 0

→ M

4

= 1 1

1 1

→ M

5

= 1 1

1 1

Pour k ≥ 1 , le nombre de modications réalisées lors de la k -ième vague est noté N

k

. Dans l'exemple ci-dessus : N

1

= 2 , N

2

= 0 , N

3

= 1 , N

4

= 1 , N

5

= 0 .

On s'intéresse au plus petit indice k pour lequel la matrice M

k

ne comporte que des 1 ; on dit alors qu'elle est totalement remplie.

Dans l'exemple précédent, ce premier indice vaut 4 . On note q = 1 − p et m = n

²

.

1. Donner la loi de N

1

, puis la loi conditionnelle de N

2

sachant (N

1

= i) pour i dans un ensemble à préciser. N

1

et N

2

sont-elles indépendantes ?

2. Soient i, j ∈ {1, . . . , n} . Le plus petit entier k ≥ 1 tel que le coecient ligne i , colonne j de M

k

vaut 1 est noté T

i,j

(dans l'exemple ci-dessus, T

1,1

= 1 et T

1,2

= 3 ).

Pour k ∈ N

^∗

, préciser P (T

i,j

= k) .

3. Pour un entier k ≥ 1 , donner la limite de la suite ( P (T

i,j

∈ J k, s K ))

_s∈

N

. On admettra que cette limite est P (T

i,j

≥ k) .

4. Soient r ≥ 1 un entier et S

r

= N

1

+ · · · + N

r

. Que représente S

r

? Donner sa loi.

(Utiliser la question précédente)

(3)

Corrigé

I. Généralités

1. L'ensemble X

n

s'identie aux fonctions de J 1, n K

2

dans {0, 1} , il est donc ni et de cardinal

2

⁽ⁿ²⁾

2. Exprimons le déterminant avec des permutations

|det(M )| =

X

σ∈Sn

ε(σ) Y

j∈J1,nK

m

_σ(j)j

≤ X

σ∈Sn

|ε(σ)| Y

j∈J1,nK

|m

_σ(j)j

|

Tous les facteurs sont entre 0 et 1 donc tous les n! termes de la somme sont plus petits que 1 d'où | det(M )| ≤ 1 .

3. Soient A et B dans Y

n

et λ entre 0 et 1 . Considérons M

λ

= λA + (1 − λ)B . Ses coecients vérient

terme i, j de M

_λ

= λa

_i,j

+ (1 − λ)b

_i,j

∈ [0, 1]

Donc M

λ

∈ Y

n

ce qui prouve que Y

n

est convexe.

4. Comme la colonne propre X est non nulle, il existe un indice i tel que 0 < |x

i

| ≥ |x

j

| pour tous les autres j . On en déduit, en examinant la ligne i du produit M X :

|λ||x

i

| ≤

n

X

j=1

|m

i,j

|

| {z }

≤1

|x

j

|

|{z}

≤|x_i|

≤ n|x

i

| ⇒ |λ| ≤ n

Si M est la matrice ne contenant que des 1 et X la colonne ne contenant que des 1 , on a M X = nX . Il est donc possible d'obtenir des valeurs propres de module n . 5. a. Parmi les 16 matrices d'ordre 2 formées de 0 et de 1, on liste d'abord celles qui ne

contiennent ni ligne ni colonne nulle en considérant les premières lignes possibles (il y en a 3) :

0 1 1 0

, 0 1

1 1

, 1 0

0 1

, 1 0

1 1

, 1 1

0 1

, 1 1

1 0

, 1 1

1 1

On élimine la dernière qui est de rang 1 . Il en reste donc 6 .

A = 0 1

1 0

, B = 0 1

1 1

, I = 1 0

0 1

, C = 1 0

1 1

, D = 1 1

0 1

, E =

1 1 1 0

, b. Elles engendrent les matrices élémentaires car

E

1,1

= E − A, E

1,2

= D − I, E

2,1

= C − I, E

2,2

= B − A

Dans le cas général de l'ordre n . Si i 6= j , la matrice I

_n

+ E

_i,j

est une matrice d'opérations élémentaire donc dans X

_n⁰

. Ceci montre que E

_i,j

∈ Vect(X

_n⁰

) . Pour les E

_i,i

, on utilise la matrice D avec des 1 sur mauvaise diagonale ( d

_i,j

= δ

_n−j+1,i

) car D +E

_i,i

est encore inversible. On engendre ainsi tous les E

_i,i

sauf E

_p,p

lorsque n = 2p + 1 . On pourra également l'obtenir comme combinaison mais avec plus de deux matrices. La propriété reste donc vraie à l'ordre n . Par exemple





0 0 0 0 1 0 0 0 0



 = D + 2I −





1 0 0 0 1 0 1 0 1



 −





1 0 1 0 1 0 0 0 1





II. Maximisation du déterminant

1. Comme X

n

est ni, l'ensemble des déterminants l'est aussi donc il admet un plus grand élément.

L'ensemble Y

n

est inni donc on ne peut armer que l'ensemble des déterminants soit ni. En revanche, on sait d'après I.2. qu'il est majoré. Comme toute partie de R non vide et majorée il admet une borne supérieure y

n

.

2. Le nombre y

n+1

est un majorant de {det(M ), M ∈ Y

n

} . En eet, pour toute M ∈ Y

n

, on peut former une matrice M

⁰

∈ Y

n+1

de même déterminant en la bordant par des 0 avec seulement un 1 en position 1, 1 . Comme y

n

est le plus petit des majorants, on en déduit y

n

≤ y

n+1

.

3. Notons X

₁

, · · · , X

_n

les colonnes de la base canoniques des matrices colonnes et C la colonne qui ne contient que des 1 . On peut alors écrire

C

_j

(J) = C − X

_j

(4)

Développons le déterminant de M par multilinéarité par rapport aux colonnes. Seuls contribuent les distributions où C gure au plus une fois. On en déduit

det(M ) = (−1)

ⁿ

det(I) + (−1)

ⁿ⁻¹

n

X

j=1

det(X

1

, · · · , X

j−1

, C, X

j+1

, · · · , X

n

)

= (−1)

ⁿ⁻¹

(n − 1) Ces matrices montrent que la suite des y

n

diverge vers +∞ pour les n impairs. Pour les n pairs, il sut de modier la matrice en permutant deux lignes ou colonnes.

4. a. On suppose n

_i₀_,j₀

∈ ]0, 1[ , considérons le développement du déterminant selon la colonne j

₀

. Dans ce développement, le coecient n

_i₀_,j₀

intervient seulement dans le terme

n

i₀,j₀

C

i₀,j₀

où C

_i₀_,j₀

désigne le cofacteur. Si ce cofacteur est positif ou nul, en remplaçant n

_i₀_,j₀

par 1 , on augmente le déterminant. Si le cofacteur est strictement négatif, en remplaçant cette fois n

_i₀_,j₀

par 0 on l'augmente aussi. On peut donc former une matrice N

⁰

comme le demande l'énoncé.

b. Pour une matrice M quelconque dans Y

n

, en procédant systématiquement comme dans la question précédente, on peut remplacer tous les coecients dans l'inter- valle ouvert par des 0 ou des 1 et obtenir nalement une matrice M

⁰

∈ X

n

telle que det(M ) ≤ det(M

⁰

) . On en déduit que x

_n

est un majorant de y

_n

donc que x

_n

= y

_n

.

III. Matrices de permutations

1. Voir exercice sur les matrices de permutation. On trouve P

σ

P

σ⁰

= P

σ◦σ⁰ t

P

σ

= (P

σ

)

⁻¹

= P

_σ⁻¹

2. On utilise la dénition de O

n

et les propriétés du déterminant.

t

A A = I

n

⇒ det(

^t

A A) = det(I

n

) ⇒ (det(A))

²

= 1

3. Une matrice de permutation ne contient que des 0 et des 1 donc elle est dans X

_n

. Elle est aussi orthogonale car

P

_σ^t

P

_σ

= P

_σ

P

_σ−1

= P

_Id

= I

_n

Réciproquement, soit M une matrice orthogonale ne contenant que des 0 et des 1 . Comme elle est othogonale, chaque ligne i

0

contient au moins un 1 . Soit j

0

tel que m

_i₀_,j₀

= 1 .

Pour tous les j 6= j

₀

, le terme j, j

₀

de

^t

M M est nul :

∀j 6= j

₀

,

n

X

k=1

m

_k,j

m

_k,j₀

= 0 ⇒ m

_i₀_,j

= 0

si les 1 se trouvaient la somme ne pourrait pas être nulle. On en déduit que m

i₀,j₀

est le seul terme non nul de la ligne i

0

.

Cela permet de dénir une fonction ϕ de J 1, n K dans lui même telle que m

i,ϕ(i)

soit le seul terme égal à 1 de la ligne i . Si cette application n'était pas injective, une même ligne se trouverait deux fois ce qui est en contradiction avec le fait que la matrice est inversible. On en déduit que chaque colonne contient un seul 1 et que M = P

_ϕ−1

. 4. a. Introduisons la colonne

X

ω

=





 1 ω ω

²

...

ω

ⁿ⁻¹







On vérie facilement que

P

_c

X

_ω

= ωX

_ω

Ce qui montre que ω est une valeur propre complexe de P

_c

de vecteur propre X

_ω

. De même, pour tout u ∈ U

n

,

X

_u

=





 1 u u

²

...

u

ⁿ⁻¹







⇒ P

_c

X

_u

= uX

_u

b. Une permutation quelconque se décompose en cycles disjoints. Pour chaque cycle (disons de longueur r ), on peut trouver r vecteurs propres formés comme au dessus avec des éléments de U

r

(chacun étant attaché à une valeur propre élément de U

^r

) mais seulement pour les indices du support du cycle et des 0 pour les autres.

5. On se donne une matrice M à coecients dans N telle que l'ensemble des coecients de toutes les M

^k

avec k ∈ N

^∗

soit ni. On en déduit que l'ensemble

M

^k

, k ∈ N est

(5)

ni. L'application k 7→ M

^k

ne peut pas être injective car N

^∗

est inni. Il existe donc k < k

⁰

tels que

M

^k

= M

^k⁰

⇒ M

^k⁰^−k

= I

n

On en déduit que M est inversible et que son inverse M

⁰

est une puissance de M donc il est aussi à coecients dans N. On peut alors raisonner comme pour les matrices orthogonales à partir de M

⁰

M .

Pour tout j

₀

, il existe i

₀

tel que m

⁰_i

0,j₀

6= 0 car M

⁰

est inversible. Pour tout i 6= i

₀

, le terme i

₀

, i de M

⁰

M est nul d'où :

n

X

k=1

m

⁰_i₀_,k

m

k,i

= 0 et m

⁰_i₀_,j₀

6= 0 ⇒ m

j₀,i

= 0

Autrement dit la ligne j

₀

de M contient au plus un coecient égal à 1 . Comme elle doit en contenir un pour être inversible elle en contient un seul et c'est une matrice de permutation.

IV. Matrices aléatoires

A. Génération par une colonne aléatoire

1. Lorsque toutes les lois prennent la même valeur, celle ci peut être 0 ou 1 les deux événements sont incompatibles et les variables sont indépendantes donc

P (X

1

= X

2

= · · · = X

n

) = p

ⁿ

+ (1 − p)

ⁿ

2. La variable S suit une loi binomiale de paramètres n et p . Voir cours sur une variable binomiale comme somme de variables de Bernoulli indépendantes.

3. Pour tous les couples (i, j) , les variables X

i,j

= X

i

X

j

ne prennent que les valeurs 0 et 1 . Comme elles sont mutuellement indépendantes, si i 6= j , la variable X

_i,j

suit une loi de Bernoulli de paramètre p

²

. En revanche X

_i,i

= X

_i²

= X

_i

suit une loi de Bernoulli de paramètre p .

4. a. Le terme i, j de M (ω) est X

i

(ω)X

j

(ω) = X

i,j

(ω) ∈ {0, 1} . Donc M (ω) appartient à X

n

. La variable aléatoire M est à valeurs dans X

n

.

b. La diagonale de M contient n coecients tous dans {0, 1} donc tr(M ) ∈ J 0, n K.

Les colonnes de M (ω) sont X

1

(ω)U (ω), · · · , X

n

(ω)U (ω) . Elle sont toutes dans Vect(U(ω)) donc le rang est inférieur ou égal à 1 .

c. On utilise l'associativité du produit matriciel et le fait qu'un produit ligne × colonne est un élément du corps donc peut se factoriser. De plus, ici

t

U (ω) U(ω) =

n

X

k=1

X

_k

(ω)

²

=

n

X

k=1

X

_k

(ω) = S(ω)

En transposant l'expression de M , on s'aperçoit que M est symétrique et M

²

= U

^t

U U

_t

U = S U

^t

U = SM On en déduit la caractrisation proposée.

5. D'après l'expression de M , tr(M ) = S qui est suit une loi binomiale de paramètres n et p donc son espérance est np et sa variance np(1 − p) .

Comme le rang est 0 ou 1 , il s'agit d'une variable de Bernoulli. Son paramètre est la probabilité que la colonne U ne soit pas nulle c'est à dire 1 − (1 − p)

ⁿ

puisque la probabilité de l'événement contraire (la colonne est nulle) est (1 − p)

ⁿ

.

6. On a déjà vu que M

²

= SM . On en déduit par récurrence que

∀k ≥ 2, M

^k

= S

^k−1

M

Pour une issue ω , S(ω) ∈ J 0, n K donc la suite géométrique S(ω)

^k

k∈N

est convergente si et seulement si S(ω) ∈ {0, 1} . La probabilité de cet événement est

(1 − p)

ⁿ

+ np(1 − p)

ⁿ⁻¹

= (1 − p)

ⁿ⁻¹

(1 + (n − 1)p) B. Génération par remplissage aléatoire

1. La matrice départ ne contient que des 0 donc N

1

est une somme de m = n

²

variables de Bernoulli de paramètre p . On en déduit que N

1

suit une loi binomiale de paramètres m et p .

Pour la deuxième vague, si i coecients ont pris la valeur 1 , il en reste m−i modiables donc la loi conditionnelle de N

₂

sachant N

₁

= i est binomiale de paramètres m − i , p . Les variables N

₁

et N

₂

ne sont pas indépendantes. En eet,

P ((N

1

= m) ∩ (N

2

= 1)) = 0 6= P ((N

1

= 3)) P ((N

2

= 1))

car si toutes les valeurs ont été passées à 1 lors de la première vague, aucune ne peut

l'être lors de la seconde alors que P ((N

₁

= 3)) et P ((N

₂

= 1)) sont non nulles.

(6)

2. Comme les passages de 0 à 1 pour les coecients sont indépendants, P (T

_i,j

= k) = q

^k−1

p

Le coecient n'a pas été changé lors des k −1 premiers passage puis il l'a été au k -ème.

3. D'après la question précédente

P (k ≤ T

_i,j

≤ s) = q

^k−1

p + q

^k

p + · · · + q

^s−1

p = q

^k−1

p 1 + q + · · · + q

^s−k

Pour s en +∞ , elle converge vers

P (T

_i,j

≥ k) = q

^k−1

p 1

1 − q = q

^k−1

4. La variable S

r

représente le nombre de 1 dans la matrice aléatoire après r passages.

Elle prend ses valeurs dans J 0, m K. Pour un k ∈ J 0, m K, évaluons P (S

r

= l) . Classons les issues suivant l'ensemble des l places de la matrice contenant un 1 à la n. On obtient ainsi