Section européenne Géométrie plane 4
Équations de droites
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable :
• tracer une droite dans le plan repéré ;
• interpréter graphiquement le coefficient directeur d’une droite ;
• caractériser analytiquement une droite ;
• établir que trois points sont alignés, non alignés.
10.1 Soient A(1; 4) et B(2; 6) deux points du plan. On considère un point M(x;y) du plan. Le but de cette activité est de trouver une condition portant sur xet y telle que :
• si la condition est vérifiée parx et y alors le pointM est sur la droite (AB) ;
• si la condition n’est pas vérifiée parxetyalors le pointM n’est pas sur la droite (AB).
Partie A – Établissement de la propriété
1. Déterminer les coordonnées de −AB, puis celle de−−−−→ −AM−−−−−→en fonction de x et de y.
2. Recopier et compléter la phrase :
Le point M est sur (AB) si et seulement si −AM−−−−−−→ · · ·
· · ·
!
et −AB−−−−→ · · ·
· · ·
!
sont . . . 3. En déduire une équation que doivent vérifier x et y.
4. Vérifier que cette équation est équivalente à 2x−y+ 2 = 0 Partie B : Utilisation de l’équation
Dans la première partie, nous avons établi une équation. Le raisonnement conduit aboutit à l’équivalence :
Le point M(x;y) est sur (AB) si et seulement si le couple (x;y) est une solution de l’équation 2x−y+ 2 = 0.
Pour mieux comprendre cette équivalence, nous allons étudier quelques exemples.
1. a. Dans un repère, placer les points A etB puis tracer la droite (AB).
b. Placer un point M sur cette droite et lire ses coordonnées (xM;yM).
c. Calculer 2xM −yM + 2.
d. Les coordonnées du point M vérifient-elles l’équation de la droite ? 2. a. Placer un point N non situé sur (AB) et lire ses coordonnées (xN;yN).
b. Calculer 2xN −yN + 2.
c. Les coordonnées du point N vérifient-elles l’équation de la droite ? 3. a. Choisir une valeur quelconque de x.
b. Déterminer la valeur dey telle que 2x−y+ 2 = 0.
c. Placer le point dont l’abscisse estx et l’ordonnée y.
Ce point est-il sur la droite (AB) ?
4. a. Choisir une autre valeur quelconque de x.
b. Déterminer une valeur de y telle que 2x−y+ 26= 0.
Forme générale
10.2 Déterminer à l’aide de la méthode vue dans l’activité préparatoire (partie A), une équation de chacune des droites suivantes :
1. (D1) passant par A(0; 1) et B(2; 3) ; 2. (D2) passant par A(1;−1) et B(3;−7) ; 3. (D3) passant par A(1; 4) et B(1; 7) ; 4. (D4) passant par A(2; 3) et B(5; 3).
10.3
Í
Let’s look at the algorithm below.begin
Input: a, b, c, ordered coefficients of a line equation;
(xM, yM) the coordinates of a pointM ; axM +byM +c→r ;
if r= 0then
Output: “The point is on the line.”
; else
Output: “The point is not on the line.” ; end if
end
Apply the algorithm in each of the following situations.
1. a=−3, b= 2, c=−7, (xM, yM) = (−1,2) ; 2. a=−3, b= 2, c=−7, (xM, yM) = (30,48) ; 3. a= 5, b= 11, c=−19, (xM, yM) = (−3,3) ; 4. a= 5, b= 11, c=−19, (xM, yM) = (−16,9) ; 5. a=−1, b= 4, c= 0, (xM, yM) = (12,3) ; 6. a=−1, b= 4, c= 0, (xM, yM) = (−3,−6) ; 7. a= 1, b = 0, c=−7, (xM, yM) = (7,9) ; 8. a= 1, b = 0, c=−7, (xM, yM) = (9,7).
10.4 Dans le tableau ci-dessous, indiquer quels points appartiennent à quelle(s) droite(s).
A(−6; 4) B(1; 4) C(2;52) D(2; 0) E(−72;52) F(−3;−2)
∆1 : 3x−2y+ 5 = 0
∆2 :y =−12x+ 1
∆3 :x= 2
∆4 :y = 4
10.5
Í
In this exercise, we will look at two different ways to use the equation of a line to draw it. In each case, we must find the coordinates of two points on the line.Part A – Method 1
1. The algorithm below gives a method to draw a line whose equation is known.
begin
Input: ax+by+c= 0, a line equation ; Find the value y1 when x= 0 ;
Plot the pointP1(0, y1) ; Find the value x2 when y= 0 ; Plot the pointP2(x2,0) ; Draw the line (P1P2) ; end
Apply the algorithm to the line equation 2x+ 3y−6 = 0.
2. Apply the algorithm to draw the line whose equations are given below.
3x+ 2y−6 = 0 ; y= 2x+ 1 ; y =−x+ 3.2 ; y=−4x.
Part B – Method 2 A new figure will be done for this part.
1. Consider again the line of equation 2x+ 3y−6 = 0.
a. What is y when x= 0 ? Deduce the coordinates of a point on the line.
b. Choose another value of x, not too close to x = 0, and compute the corre- sponding value of y. Deduce the coordinates of another point on the line.
c. Draw the line
2. Use this method to draw the line whose equations are given below.
3x+ 2y−6 = 0. y= 2x+ 1 y =−x+ 3.2 y=−4x 3. Check that the lines drawn with the two methods are the same.
10.6 Tracer chacune des droites suivantes.
1. D1 d’équation x−2y+ 4 = 0 ; 2. D2 d’équation 2x−2y−6 = 0 ; 3. D3 d’équation −2y+ 4 = 0 ; 4. D4 d’équation x
5 +y 3 = 1 ;
5. D5 d’équation x+y= 0 ; 6. D6 d’équation 2x+ 4 = 0 ; 7. D7 d’équation 6x+ 2y+ 1 = 0 ; 8. D8 d’équation 5x−y−7 = 0.
Équations réduites
10.7 Associer chacune des droites tracées ci-dessous avec son équation.
1. y= 0,5x+ 1.8 ; 2. y=−0,5x+ 1.8 ;
3. y= 0,5 ;
4. y= 0,5x+ 0.9 ;
5. x= 0,5 ;
6. y=−0,5x−1.8.
d4
d5 d3
d1
d2
d6
10.8 Déterminer graphiquement l’ordonnée à l’origine, le coefficient directeur et l’équa- tion réduite de chacune des droites tracées dans le repère ci-dessous.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
d1
d2
d5
d4
d3
10.9 On donne ci-dessous les équations réduites de six droites du plan.
y = 2x+ 1 y =−x+ 3,2 y= 4,7 y= 2−113x y=−4x x= 2,9 1. Pour chaque équation, donner l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur.
2. Sans faire de calcul, tracer les droites dans un même repère orthonormé (O;I, J).
10.10 Consider the lines whose equations are given below.
D1 : −2x+y+ 1 = 0 D2 : x+y=−5 D3 : 3x+ 3y+ 15 = 0
D4 : 2x−6 = 0 D5 : 6x= 3y+ 3 D6 : 1− 13x= 0
D7 : −y−x−5 = 0 D8 : 4x−2y=−2 D9 : 3y−6x=−3 1. Give the slope-intercept equation of each line.
2. Find out what equations represent the same line.
3. For each group of equations found in the previous questions, give the slope and the intercept of the line.
10.11 Déterminer une équation réduite de chacune des droites définies ci-dessous. Dans chaque cas, A et B sont des points de la droite, m est son coefficient directeur et p son ordonnée.
1. A(2; 7) et B(−1;−2) 2. A(4;−1) et B(−6.2;−6.1) 3. A(11;−3) etB(11; 5) 4. A(1;−2) et B(7;−2) 5. A(72;172) et B(−4; 1)
6. m=−5 et A(−1; 10) ; 7. m= 23 etA(2; 3) ; 8. p=−8 et A(23; 0) ; 9. p=−57 etA(−3;−207) ;
Homework #7 – Odd and even functions
Part A – Some definitions
In mathematics, anevenfunction ofxis one which is unaltered whenxchanges sign. For example,x4+x2+2 is an even function. More generally any algebraical expression which contains only even powers ofx defines an even function.
Algebraically, f(x) is an even function of x if and only iff(−x) =f(x).
An odd function of x is one which merely changes sign when x changes sign, for example x3+ 3x, and any algebraical expression which consists entirely of odd powers of x.
Algebraically, f(x) is an even function of x if and only iff(−x) =−f(x).
Functions such as x3 + 3x+ 10, in which some of the terms change sign and some are unchanged when xis replaced by −x, are neither even nor odd.
Adapted fromIntroduction to Infinitesimal Calculus, G.W. Caunt, 1931
3. Explain why any polynomial function of x that contains only even powers of x is even.
4. Check that the function k(x) =3 +3x+ 10 is neither even nor odd.
Part B – A construction of odd and even functions
Let f be any function defined over R. Consider the two functions, denoted respectively by fe and fo, such that :
fe(x) = f(x) +f(−x)
2 and fo(x) = f(x)−f(−x) 2 1. Let f be defined by f(x) = 5x3 +x2+ 4x+ 2.
a. Is f an even function, an odd function, or neither ? b. Give the formula for the functionfe, as defined above.
c. Is fe an even function, an odd function, or neither ? d. Give the formula for the functionfo, as defined above.
e. Is fo an even function, an odd function, or neither ? f. Simplify fe(x) +fo(x). What do you notice ?
2. Now, consider any function f defined over R, whose formula we don’t know. In the following questions, it will be impossible to simplify or expand f(x) or f(−x).
a. Prove thatfe(−x) =fe(x). What can you deduce for the functionfe? b. Prove thatfo(−x) =−fo(x). What can you deduce for the function fo? c. Simplify as much as you canfe(x) +fo(x). What do you notice ?
3. Use the method introduced in the previous questions to decompose each of the functions below into the sum of two functions, one even and one odd. In each case, check the results by carrying out the addition.
a. g(x) = 2 x+ 1. b. h(x) =x2+ 2 x
