Intégration – Aspect géométrique

(1)

Terminale S Thème 9

Intégration – Aspect géométrique

Définition 1 : Intégrale d’une fonction positive

Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle deR etC sa courbe repré- sentative dans un repère cartésien du plan.

Pour tous réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on note ^Ra^bf(x)dx l’aire, expri- mée en unités d’aire, de la région du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=aet x=b.

Illustration : Aire et intégrale

1 2 3 4 5

1 2 3

−1

−2

−3 a b

C

R^b

af(x)dx=A

Exercice résolu 1 :

Calculer^R₋⁴₂ ¹₂x+ 3dx.

Solution :

On trace la représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f(x) =

1 2x+ 3.

Par définition, le nombre^R−⁴2f(x)dxest l’aire de la zone colorée.

Cette région est un trapèze d’aire ⁶^×⁽²⁺⁵⁾₂ = 21. Par conséquent, ^R−⁴2f(x)dx = 21 unités d’aire.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

Définition 2 : Valeur moyenne d’une fonction

Pour toute fonction continue et positive sur un intervalle I de R et pour tous réels aet b et I tels que a < b, la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a, b] est le réel m défini par

m= 1

b−a Z b

a

f(x)dx.

Illustration : valeur moyenne

1 2 3 4 5

1 2 3

−1

−2

−3 a b

C

1 b−a

Z ^b

a

f(x)dx=A_Rectangle =m×(b−a)

Remarque : Ci-dessous, deux versions intuitives de cette définition :

• On aplati la courbe pour la rendre constante. On obtient un rectangle de de hauteur m (qui est la valeur moyenne de f) et de largeurb−a. Or son aire vaut^Ra^bf(x)dx, d’où la formule.

• Intuitivement, cette définition généralise la notion de moyenne au cas où il y a un nombre infini de valeurs. L’intégrale ^Ra^bf(x)dxest en fait la somme de toutes les images f(x) sur l’intervalle, d’où la notation ^R qui est uns étiré. Après avoir fait cette somme, on divise par le “nombre” de valeurs, qui est ici la longueur de l’intervalle [a, b], b−a.

(2)

Pour une fonction continue quelconque, une intégrale peut être approchée en l’encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement. On a appliqué ci-dessous cette méthode pour la fonction carré. Dans chaque cas on a encadré la courbe par deux histogrammes, obtenant ainsi un deux encadrements de l’intégrale ^R₀³x²dx.

Illustration : Encadrement d’une intégrale par la méthode des rectangles

1 2 3 4 5 6 7 8

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1 2 3 4 5 6 7 8

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

5<^R₀³x²dx <14 6,875<^R₀³x²dx <11,375

Définition 3 : Intégrale et valeur moyenne d’une fonction négative

Si f est une fonction continue et négative sur un intervalle[a, b]deR, l’intégrale ^Ra^bf(x)dx est par convention égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=aet x=b.

On définit la valeur moyenne d’une fonction négative sur un intervalle [a, b] comme dans le cas d’une fonction positive.

Proposition 1 : Relation de Chasles pour les intégrales

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b] de R et c est un élément de cet intervalle alors

Z ^c

a

f(x)dx+ Z ^b

c

f(x)dx= Z ^b

a

f(x)dx.

Illustration : Relation de Chasles

0 1 2 3

0

−1

−2

−3 a b

C

R^b

af(x)dx=A

Remarque :

• Cette propriété est conforme à l’intuition pour une fonction positive : pour calculer l’aire d’une région, on peut découper cette région et additionner les aires des “morceaux”.

• Cette relation permet de définir l’intégrale d’une fonction de signe quelconque : il suffit de découper l’intervalle afin que la fonction soit du même signe sur chaque morceau, puis d’additionner ou de soustraire les différentes aires.

(3)

Exercice résolu 2 :

Calculer^R−⁶3(−¹₃x+ 1)dx.

Solution :

La fonction affine définie par f(x) = −¹₃x+ 1 n’étant pas de signe constant sur l’intervalle [−3; 6], on décompose l’in- tégrale :

Z 6

−3

(−1

3x+ 1)dx = Z 3

−3

(−1

3x+ 1)dx+ Z 6

3

(−1

3x+ 1)dx

= 6×2

2 + (−3×1 2 )

= 4,5unités d’aire.

1 2

−1

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

Proposition 2 : Linéarité de l’intégrale

Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] de R et m et n sont deux nombres réels quelconques, alors

Z ^b

a

mf(x) +ng(x)dx=m Z ^b

a

f(x)dx+n Z ^b

a

g(x)dx.

Proposition 3 : Relation d’ordre

Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b]de R telles que pour tout x de [a, b], f(x)< g(x), alors

Z ^b

a

f(x)dx <

Z ^b

a

g(x)dx.