ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 11 octobre 2004
Programme de colles S6
NB : Le programme de colle porte sur celui de la semaine pr´ec´edente : ensembles finis, d´enombrement, analyse combinatoire, propi´et´es des coefficients du binˆomeplus ce qui suit :
Espaces probabilis´ es finis
D´efinition : SoitΩun ensemble fini, non vide. On appelle probabilit´esur Ωtoute applicationP :P(Ω)→[0,1]qui v´erifie :
pp1 P(Ω) = 1, et
pp2 Si A et B sont des ´ev´enementsincompatibles alors P(A∪B) =P(A) +P(B).
Th´eor`eme?.— Soit Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e fini. Pour tous ´ev´enements A et B de P(Ω), les assertions suivantes sont vraies :
1. P( ¯A) = 1−P(A) 2. P(A\B) =P(A)−P(A∩B) 3. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) 4. A⊂B⇒P(A)≤P(B)
Th´eor`eme.— Formule de Poincar´e pour les probabilit´es finies Soient Ω,P(Ω, P
un espace probabilis´e fini, (Ai)1≤i≤n unefamille finie quelconqued’´ev´enements. Alors :
P
n
[
i=1
Ai
=
n
X
k=1
(−1)k+1 X
1≤i1<···<ik≤n
P(Ai1∩ · · · ∩Aik)
En particulier, siles ´ev´enements (Ai) sontdeux `a deux incompatiblesnous obtenons :
P
n
[
i=1
Ai
=
n
X
i=1
P(Ai)
Th´eor`eme.— Soient Ω = {w1, . . . , ωn} un ensemble fini de cardinal n ∈N?, et (p1, . . . , pn) un p-uplet de nombres r´eels positifs.
Il existe une probabilit´eP telle que pour touti∈[[1, n]], P({ωi}) =pi. ssi p1+p2+· · ·+pn= 1.
Exercice? : Une urne contientnboules num´erot´ees : U ={b1, . . . , bn}. On effectue un tirage d’une boule dans cette urne. On note le num´ero de la boule obtenue. Montrez qu’il existe une unique probabilit´e P telle que pour tout k∈[[1, n]], la probabilit´e de tirer la boulebk soit proportionnelle `a 2k−1.
Proposition?.— Le cas d’´equiprobabilit´e dans laTh´eor`emepr´ec´edent.
Probabilit´ es conditionnelles
D´efinition : Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e etB⊂Ωun ´ev´enement non n´egligeable1. Pour tout ´ev´enement A∈P(Ω), on d´efinit la probabilit´e conditionnelle de A sachant B par :
PB(A) =P(A∩B) P(B)
Proposition?.— Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et B ⊂Ω un ´ev´enement non n´egligeable. L’application PB :P(Ω) →[0,1] qui `a tout ´ev´enement A∈P(Ω) associe PB(A) d´efinie comme ci-dessus, est une probabilit´e sur Ω.
1i.e.P(B)>0
1
Corollaire.— Soit Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e. Pour tous ´ev´enements AetB tels que P(B)>0,
P(A∩B) =P(B)×PB(A)
Proposition.— Formule des probabilit´es compos´ees Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et (Ai)1≤i≤n une famille d’´ev´enements tels que P(A1∩ · · · ∩An−1)6= 0. Alors
P
n
\
i=1
Ai
=P(A1)×P(A2|A1)× · · · ×P(An|A1∩ · · · ∩An−1)
Exercice? : On dispose de trois urnes contenant des boules blanches et noires. L’urneU1 contient 2 boules blanches et 3 boules noires,U2contient 4 boules blanches et 2 boules noires enfin l’urneU3contient 6 boules blanches et 1 boule noire. On effectue trois tirages successifs la boule tir´ee dans une urne ´etant remise dans la suivante.
Quelle est la probabilit´e pour que les trois boules tir´ees soient de la mˆeme couleur ?
Proposition?.— Formule des probabilit´es totales Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et (Ai)1≤i≤n un syst`eme complet d’´ev´enements non n´egligeables.
Pour tout ´ev´enement B∈P(Ω),
P(B) =
n
X
i=1
P(B∩Ai) =
n
X
i=1
P(Ai)×PAi(B)
Proposition?.— Formule de Bayes Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et (Ai)1≤i≤n un syst`eme complet d’´ev´enements non n´egligeables.
Pour tout ´ev´enement B non n´egligeable, et pour tout j∈[[1, n]],
P(Aj|B) = P(Aj)×P(B|Aj) Pn
i=1P(Ai)×P(B|Ai)
Ind´ ependance en probabilit´ e
D´efinition : Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e. Deux ´ev´enementsA et B sont dits ind´ependants pour la probabilit´e P si
P(A∩B) =P(A)×P(B)
Proposition?.— Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e etA, B deux ´ev´enements.
Si AetB sont ind´ependants, alorsAet ¯B, ¯A etB, ¯A et ¯B sont ind´ependants.
D´efinition : Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et (A1, . . . , An) ∈ P(Ω)n une famille d’´ev´enements. On dit que les ´ev´enements sont mutuellement ind´ependants si : . . .
Proposition.— Soient Ω,P(Ω), P
un espace probabilis´e et (A1, . . . , An) ∈P(Ω)n une famille d’´ev´enements mu- tuellement ind´ependants.
Toutesous-famille(Ai1, . . . , Aik) (k≤n) est form´ee d’´ev´enementsmutuellement ind´ependants.
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