Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚4
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition de eiθ, o`u θ ∈ R; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ, o`u θ ∈ R (´enonc´e, admise) ; formule d’addition pour cosinus et sinus (´enonc´e et preuve `a partir du r´esultat pr´ec´edent) ; transformation d’un produit en somme de cosinus et sinus (´enonc´e et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction f: R→R; x7→sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 2
Param´etrisation de U `a l’aide de cosinus et sinus (´enonc´e) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ, o`u θ ∈ R (´enonc´e, r´esultat admis) ; angle moiti´e i.e.
factorisation de 1 +eitet de 1−eit, o`ut∈R(heuris- tique g´eom´etrique pour le premier nombre, ´enonc´e et preuve) ; r´esolution de l’´equation|1 +z|= 1, d’incon- nuez∈U.
Question n˚ 3
D´efinition de la factorielle d’un entier naturel, d´efinition des coefficients binomiaux, relation de sym´etrie et relation de Pascal pour les coefficients binomiaux (´enonc´e et preuve), formule du binˆome de Newton (´enonc´e), calcul d’une primitive de la fonction f: R→R; x7→sin5(x).
Question n˚ 4
Formule de Moivre (´enonc´e et preuve par r´ecurrence) ; valeur de
n
X
k=0
qk, o`u (n, q)∈N×C(´enonc´e et preuve) ;
calcul de
n
X
k=0
sin(kt), o`u (n, t)∈N×R.
Question n˚ 5
D´efinition d’une forme exponentielle d’un nombre com- plexe non nul, d´efinition d’un argument d’un nombre complexe non nul, cas d’´egalit´e de deux formes trigo- nom´etriques (´enonc´e et preuve), propri´et´es des argu- ments (´enonc´e et preuve), calcul de√3−i
i−1
144 .
Chap. 1 − Nombres complexes et trigonom´ etrie
• Revˆetement du cercle unit´e par la droite r´eelle, d´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´eel.
• Relation de Pythagore.
• D´efinition des fonctions cosinus et sinus et pro- pri´et´es d’icelles (parit´e et p´eriodicit´e).
• Effets de quelques transformations affines sur co- sinus et sinus (e.g.x7→ π2 −x).
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Cas d’´egalit´e de deux cosinus (resp. de deux si- nus).
• D´efinition de l’ensemble U des nombres com- plexes de module 1.
• Propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de module 1.
• Param´etrisation deU`a l’aide de cosinus et sinus.
• D´efinition des nombreseiθ, avecθ∈R.
• Cas d’´egalit´e de deux nombres de la forme eiθ (θ∈R).
• Propri´et´es ´el´ementaires des nombreseiθ (θ∈R).
• Equation fonctionnelle v´erifi´ee par les nombres´ eiθ (θ∈R).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition pour cosinus et sinus, for- mules de duplication pour cosinus et sinus.
• Transformation d’un produit en somme pour co- sinus et sinus.
• Angle moiti´e : pour toutt ∈ R, on a 1 +eit = 2 cos(2t)eit2 et 1−eit=−2isin(t2)ei2t.
• Transformation d’une somme en produit de cosi- nus et sinus.
• D´efinition de la fonction tangente, plusieurs
´ecritures du domaine de d´efinition de la fonction tangente.
• Valeurs remarquables de la fonction tangente.
• La fonction tangente est impaire etπ-p´eriodique.
• Formule d’addition pour tangente.
• D´efinition de la factorielle d’un entier naturel, relation de r´ecurrence pour les factorielles.
• D´efinition des coefficients binomiaux (`a l’aide des factorielles), propri´et´es des coefficients bino- miaux (e.g. relation de sym´etrie et relation de Pascal).
• Triangle de Pascal.
• Formule du binˆome de Newton.
• Exemples de lin´earisations de polynˆomes en cos(θ), sin(θ), o`uθ∈R.
• Formule de Moivre.
• Valeur de
n
X
k=0
qk, o`u (n, q)∈N×C.
• Exemples de calculs de sommes trigo- nom´etriques.
• D´efinition d’une forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.
• Une m´ethode pour rechercher une forme expo- nentielle d’un nombre complexe non nul.
• D´efinition d’un argument d’un nombre complexe non nul, d´efaut d’unicit´e d’un argument d’un nombre complexe non nul.
• D´efinition du symbole arg(z), o`u z∈C∗.
• Utilisation du symbole arg(z) (z ∈ C∗) et rela- tion de congruence modulo 2πsurR.
• Cas d’´egalit´e de deux formes trigonom´etriques.
• Propri´et´es des arguments.
