4 Fonctions de la variable r´ eelle

Formulaire de premi` ere ann´ ee

1 Trigonom´ etrie

Nombres complexes de module 1

e^iθ= cos(θ) + i sin(θ) e^iθ0 = e^iθ⇐⇒θ⁰ ≡θ[2π] e^iθ = e^−iθ U={z∈C/|z|= 1}={z∈C/ zz= 1}=

n

e^iθ, θ ∈R o

Un={z∈C/ zⁿ= 1}= n

e^i2kπn , k∈

0, n−1o

(racinesn-i`emes de l’unit´e) e^iθ×e^iθ0 = e^i(θ+θ0) e^iθ

e^iθ0 = e^i(θ−θ0) e^iθn

= e^i(nθ) [cos(θ) + i sin(θ)]ⁿ= cos(nθ) + i sin(nθ) (Moivre)

cos(θ) = e^iθ+ e^−iθ

2 sin(θ) = e^iθ−e^−iθ

2i (Euler) 1 + e^iθ= 2 cos

θ 2

e^iθ2 1−e^iθ =−2i sin θ

2

e^iθ2 (angle de moiti´e) Siz=x+ iy=ρe^iθ, ρ >0, alors on a :

x=ρcos(θ) y =ρsin(θ) ρ=p

x²+y² θ=

arctan _x^y

si x >0 π+ arctan _x^y

si x <0 Relations fondamentales

∀θ∈R, |cos(θ)| ≤1 |sin(θ)| ≤1 cos²(θ) + sin²(θ) = 1

∀θ∈R\nπ

2 +kπ, k∈Z o

, tan(θ) = sin(θ)

cos(θ) 1 + tan²(θ) = 1 cos²(θ) Angles associ´es

cos(θ+ 2π) = cos(θ) sin(θ+ 2π) = sin(θ)

cos(θ+π) =−cos(θ) sin(θ+π) =−sin(θ) tan(θ+π) = tan(θ) cos(−θ) = cos(θ) sin(−θ) =−sin(θ) tan(−θ) =−tan(θ) cos(π−θ) =−cos(θ) sin(π−θ) = sin(θ) tan(π−θ) =−tan(θ) cos(^π₂ −θ) = sin(θ) sin(^π₂ −θ) = cos(θ) tan(π

2 −θ) = 1

tan(θ) = cotan (θ) cos(θ+^π₂) =−sin(θ) sin(θ+^π₂) = cos(θ) tan(θ+π

2) =− 1

tan(θ) =−cotan (θ)

Valeurs particuli`eres

θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π cos(θ) 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

sin(θ) 0 ¹₂

√ 2 2

√ 3

2 1 0

tan(θ) 0 ^√1

3 1 √

3 – 0

R´esolution d’´equations trigonom´etriques

cos(x) = cos(a)⇐⇒[(x=a+ 2kπ, k∈Z) ou (x=−a+ 2kπ, k ∈Z)]

sin(x) = sin(a)⇐⇒[(x=a+ 2kπ, k ∈Z) ou (x=π−a+ 2kπ, k∈Z)]

tan(x) = tan(a)⇐⇒(x=a+kπ, k∈Z)

Formules d’addition et de duplication

cos(θ+θ⁰) = cos(θ) cos(θ⁰)−sin(θ) sin(θ⁰) cos(θ−θ⁰) = cos(θ) cos(θ⁰) + sin(θ) sin(θ⁰) sin(θ+θ⁰) = sin(θ) cos(θ⁰) + cos(θ) sin(θ⁰) sin(θ−θ⁰) = sin(θ) cos(θ⁰)−cos(θ) sin(θ⁰) tan(θ+θ⁰) = tan(θ) + tan(θ⁰)

1−tan(θ) tan(θ⁰) tan(θ−θ⁰) = tan(θ)−tan(θ⁰) 1 + tan(θ) tan(θ⁰)

cos(2θ) = cos²(θ)−sin²(θ) = 2 cos²(θ)−1 = 1−2 sin²(θ) sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

Formules de lin´earisation

cos(θ) cos(θ⁰) = 1 2

cos(θ+θ⁰) + cos(θ−θ⁰)

cos²(θ) = 1 + cos(2θ) 2 sin(θ) sin(θ⁰) = 1

2

cos(θ−θ⁰)−cos(θ+θ⁰)

sin²(θ) = 1−cos(2θ) 2 sin(θ) cos(θ⁰) = 1

2

sin(θ+θ⁰) + sin(θ−θ⁰)

2 Calcul alg´ ebrique

D´evelopper - factoriser

(a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³ (a−b)³ =a³−3a²b+ 3ab²−b³ a³−b³= (a−b)(a²+ab+b²) a³+b³= (a+b)(a²−ab+b²) aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+. . .+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

Coefficients binomiaux

n! = 1×2× · · · ×n=

n

Y

k=1

k sin∈N^∗ 0! = 1 (n+ 1)! = (n+ 1)×n!

n k

= n!

(n−k)!k! si 0≤k≤n

n k

= 0 si k <0 ouk > n

n 0

= n

n

= 1 n

1

= n

n−1

=n

n 2

= n

n−2

= n(n−1) 2

n k

= n

n−k

k n

k

=n n−1

k−1

n k

+ n

k+ 1

=

n+ 1 k+ 1

(Pascal)

Sommes finies usuelles

n

X

k=1

k= n(n+ 1) 2

n

X

k=1

k² = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

n

X

k=p

q^k=

( n−p+ 1 si q= 1 q^p_1−qn−p+1

1−q

si q6= 1

(x+y)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^ky^n−k=

n

X

k=0

n k

x^n−ky^k (binˆome de Newton)

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ

n

X

k=0

(−1)^k n

k

= 0

Somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique

n

X

k=p

u_k= (n−p+ 1)×u_p+u_n

2 = (nombre de termes)×

premier terme + dernier terme 2

3 Suites et s´ eries num´ eriques

Suite arithm´etico-g´eom´etrique

∀n∈N, un+1=aun+b (1) o`u a6= 1 etb6= 0.

On cherche`tel que `=a`+b(2). Par diff´erence (1) - (2) : u<sub>n+1</sub>−`=a(u_n−`).

(u_n−`)n∈N est g´eom´etrique de raisona et u<sub>n</sub>−`= (u₀−`)aⁿ.

Suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2

∀n∈N, aun+2+bun+1+cun= 0 o`u (a, b, c)∈R³ avec a6= 0 etc6= 0.

Equation caract´´ eristique (e) : ar²+br+c= 0 d’inconnue r, de discriminant ∆ =b²−4ac.

1. Si ∆>0, (e) admet deux racines simples r´eellesr1 etr2.

La solution est de la forme :∀n∈N, u_n=Arⁿ₁ +Br₂ⁿ o`u (A, B)∈R². 2. Si ∆ = 0, (e) admet une racine double r´eeller0.

La solution est de la forme :∀n∈N, u_n= (An+B)rⁿ₀ o`u (A, B) ∈R².

3. Si ∆<0, (e) admet deux racines complexes conjugu´eesr1 =ρe^iθ, r2 =ρe^−iθ, o`u ρ >0.

La solution est de la forme : ∀n∈N, u_n=ρⁿ[Acos(nθ) +Bsin(nθ)] o`u (A, B) ∈R².

S´eries usuelles

s´erie de Riemann: X

n≥1

1

n^α CV ssi α >1 s´erie g´eom´etrique: sib6= 0, X

bqⁿ CV ssi |q|<1

si |q|<1,

+∞

X

n=0

bqⁿ= b

1−q (somme)

+∞

X

n=N+1

bqⁿ= bq^N+1

1−q (reste d’ordre N)

4 Fonctions de la variable r´ eelle

Fonctions exp,ln, puissances, racines n-i`emes

∀x∈]0,+∞[,∀y ∈R, y= ln(x)⇐⇒x= e^y = exp (y) e^ln(x)=x ln(e^y) =y

∀α∈R,∀x∈]0,+∞[, x^α = e^αln(x) 0^α= 0 si α >0

∀n∈N^∗,∀(x, y)∈[0,+∞[², y=xⁿ⇐⇒x= √ⁿ

y=yⁿ¹ √ⁿ

xⁿ=x (√ⁿ

y)ⁿ=y e⁰ = 1 e¹ = e ln(1) = 0 ln(e) = 1 x⁰= 1 x¹ =x

∀(α, β)∈R²,∀(x, y)∈]0,+∞[², ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln

1 x

=−ln(x) ln x

y

= ln(x)−ln(y) ln (x^α) =αln(x) x^α+β =x^αx^β x^−α= 1

x^α x^α−β = x^α

x^β (x^α)^β =x^αβ (xy)^α=x^αy^α e^α+β = e^αe^β e^−α= 1

e^α e^α−β = e^α

e^β (e^α)^β = e^αβ

Fonctions ch etsh

∀x∈R, ch (x) = e^x+ e^−x

2 sh (x) = e^x−e^−x

2 ch²(x)−sh²(x) = 1

Fonctions coset arccos

∀x∈[0, π], ∀y∈[−1,1],

y= cos(x)⇐⇒x= arccos(y) arccos(cos(x)) =x cos(arccos(y)) =y

Fonctions sinet arcsin

∀x∈h

−π 2,π

2 i

,∀y∈[−1,1],

y= sin(x)⇐⇒x= arcsin(y) arcsin(sin(x)) =x sin(arcsin(y)) =y

Fonctions tanetarctan

∀x∈i

−π 2,π

2 h

,∀y∈R,

y= tan(x)⇐⇒x= arctan(y) arctan(tan(x)) =x tan(arctan(y)) =y

Croissances compar´ees

∀α, β, γ >0, lim

x→0⁺x^α|ln(x)|^β = 0 lim

x→−∞|x|^αe^βx= 0

x→+∞lim

[ln(x)]^γ

x^α = 0 lim

x→+∞

x^α

e^βx = 0 lim

x→+∞

[ln(x)]^γ e^βx = 0 qui s’´ecrit aussi : |ln(x)|^β =

x→0⁺ o 1

x^α

e^βx =

x→−∞o 1

|x|^α

[ln(x)]^γ =

x→+∞o(x^α) x^α =

x→+∞o

e^βx

[ln(x)]^γ =

x→+∞o

e^βx

Equivalents usuels´

e^x−1 ∼

x→0ln(1 +x) ∼

x→0sin(x) ∼

x→0tan(x) ∼

x→0arcsin(x) ∼

x→0arctan(x) ∼

x→0sh (x) ∼

x→0x 1−cos(x) ∼

x→0ch (x)−1 ∼

x→0

x²

2 ln(x) ∼

x→1x−1, (1 +x)^α−1 ∼

x→0αx,α∈R^∗ Sian, ap 6= 0 etp < n, anxⁿ+. . .+apx^p ∼

x→0apx^p anxⁿ+. . .+apx^p ∼

x→±∞anxⁿ

D´eriv´ees usuelles

f(x) f⁰(x) d´erivable,C¹, . . . ,C^∞sur

λ∈R 0 R

e^x e^x R

ln(x) 1

x R^∗+

x^α αx^α−1







R si α∈N R^∗₊ouR^∗− si α∈Z^∗−

R^∗+ si α∈R\{Z}

ch (x) sh (x) R

sh (x) ch (x) R

cos(x) −sin(x) R

sin(x) cos(x) R

tan(x) 1 + tan²(x) = 1 cos²(x)

i−π

2 +kπ,π 2 +kπh

, k ∈Z

arccos(x) −1

√

1−x² ]−1,1[

arcsin(x) 1

√

1−x² ]−1,1[

arctan(x) 1

1 +x² R

Op´eration sur les d´eriv´ees

Sif etg sont d´erivables surI :

d´eriv´ee d´erivable sur I sous la condition (f +λg)⁰ =f⁰+λg⁰,λ∈R

(f g)⁰ =f⁰g+f g⁰ f

g 0

= f⁰g−f g⁰

g² g(x)6= 0 surI

Sif est d´erivable surI,g est d´erivable sur J etf(I)⊂J : g◦f est d´erivable sur I et (g◦f)⁰ =f⁰·(g⁰◦f)

Sif :I →J est bijective, d´erivable sur I etf⁰(x)6= 0 surI : f⁻¹ est d´erivable sur J et f⁻¹0

= 1

f⁰◦f⁻¹

d´eriv´ee d´erivable sur I sous la condition (e^f)⁰ =f⁰e^f

(ln|f|)⁰ = f⁰

f f(x)6= 0 sur I (f^α)⁰=αf⁰f^α−1

f(x)6= 0 surI si α∈Z^∗−

f(x)>0 surI si α∈R\{Z} (chf)⁰ =f⁰shf

(shf)⁰ =f⁰chf (cosf)⁰ =−f⁰sinf

(sinf)⁰ =f⁰cosf (tanf)⁰=f⁰(1 + tan²f) = f⁰

cos²f f(x)∈i

−π

2 +kπ,π 2 +kπ

h surI (arccosf)⁰= −f⁰

p1−f² f(x)∈]−1,1[ sur I (arcsinf)⁰ = f⁰

p1−f² f(x)∈]−1,1[ sur I (arctanf)⁰= f⁰

1 +f²

Si (f, g)∈(Cⁿ(I))² etλ∈R :

lin´earit´e: f+λg∈Cⁿ(I) et (f+λg)⁽ⁿ⁾ =f⁽ⁿ⁾+λg⁽ⁿ⁾ Leibniz: f g∈Cⁿ(I) et (f g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

n k

f^(k)g^(n−k)

Primitives usuelles

f(x) F(x) (primitive) intervalle I de validit´e

x^α x^α+1

α+ 1+C







R si α∈N R^∗₊ouR^∗− si α∈Z^∗−\{−1}

R^∗+ si α∈R\{Z} 1

x−a,a∈R ln(|x−a|) +C ]− ∞, a[ ou ]a,+∞[

e^ax,a∈C^∗ e^ax

a +C R

ln(x) xln(x)−x+C R^∗₊

ch (ωx), ω∈R^∗ sh (ωx)

ω +C R

sh (ωx),ω ∈R^∗ ch (ωx)

ω +C R

f(x) F(x) (primitive) intervalleI de validit´e

sin(ωx),ω∈R^∗ −cos(ωx)

ω +C R

cos(ωx),ω∈R^∗ sin(ωx)

ω +C R

tan(x) −ln(|cos(x)|) +C i

−π

2 +kπ,π 2 +kπ

h ,k∈Z 1 + tan²(x) = 1

cos²(x) tan(x) +C i

−π

2 +kπ,π 2 +kπh

,k∈Z 1

a²+x²,a∈R^∗ 1

aarctanx a

+C R

√ 1

1−x² arcsin(x) +C ]−1,1[

Reconnaˆıtre la d´eriv´ee d’une fonction compos´ee Siu⁰ continue sur I :

f(x) F(x) (primitive) conditions de validit´e

u⁰(x)(u(x))^α (u(x))^α+1 α+ 1 +C

u(x)6= 0 surI si α∈Z^∗−\{−1}

u(x)>0 surI si α∈R\{Z} u⁰(x)

u(x) ln(|u(x)|) +C u(x)6= 0 surI

u⁰(x)e^u(x) e^u(x)+C u⁰(x) sin(u(x)) −cos(u(x)) +C u⁰(x) cos(u(x)) sin(u(x)) +C

u⁰(x) tan(u(x)) −ln(|cos(u(x))|) +C u(x)∈i

−π

2 +kπ,π 2 +kπh

surI u⁰(x)

1 + (u(x))² arctan(u(x)) +C u⁰(x)

p1−(u(x))² arcsin(u(x)) +C u(x)∈]−1,1[ surI

Sommes de Riemann

Sif ∈C⁰([a, b]) :

n→+∞lim b−a

n

n

X

k=1

f

a+kb−a n

= lim

n→+∞

b−a n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

= Z _b

a

f(t)dt

Formules de Taylor

Taylor-reste int´egral

Sif ∈Cⁿ⁺¹(I),a, x∈I : f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt Taylor-Young

Sif ∈Cⁿ(I),a∈I : f(x) =

x→a n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+o((x−a)ⁿ)

D´eveloppements limit´es usuels

e^x =

x→0 1 + x + x²

2! + . . . + xⁿ

n! +o(xⁿ) cos(x) =

x→01−x² 2! + x⁴

4! + . . . + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! +o(x²ⁿ) sin(x) =

x→0x−x³ 3! + x⁵

5! + . . . + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +o(x²ⁿ⁺¹) (1 +x)^α =

x→01 +αx+ α(α−1)

2! x² + . . . + α(α−1). . .(α−n+ 1)

n! xⁿ+o(xⁿ) 1

1 +x =

x→01−x+x²+. . .+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ) 1

1−x =

x→01 +x+x²+. . .+xⁿ+o(xⁿ) ln(1 +x) =

x→0x−x² 2 +x³

3 +. . .+ (−1)ⁿxⁿ⁺¹

n+ 1+o(xⁿ⁺¹) arctan(x) =

x→0x−x³ 3 +x⁵

5 +. . .+ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+ 1+o(x²ⁿ⁺¹) tan(x) =

x→0x+x³

3 +o(x³).

Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes du premier ordre

(H) :y⁰+a(x)y= 0. Soit A une primitive deasur I.

La solution g´en´erale de (H) sur I est :∀x∈I, y(x) =Ce^−A(x),C ∈R

Solution particuli`ere de (E) : y⁰+a(x)y =f(x)

M´ethode de variation de la constante : on cherche une solution particuli`ere sous la forme yp(x) =C(x)e<sup>−A(x)</sup>, o`u A est une primitive deasurI.

Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes du second ordre `a coefficients constants

(H) :ay⁰⁰+by⁰+cy= 0 (e) :ar²+br+c= 0 et ∆ =b²−4ac (´equation caract´eristique) Cas r´eel Soit (a, b, c)∈R³, a6= 0. Si on ne cherche que les solutions r´eelles de (H) :

1. Si ∆>0, (e) admet deux racines r´eelles distinctes r1 etr2.

La solution g´en´erale de (H) est : ∀x∈R,y(x) =λe^r1x+µe^r2x, (λ, µ)∈R². 2. Si ∆ = 0, (e) admet une racine doubler0.

La solution g´en´erale de (H) est : ∀x∈R,y(x) = (λx+µ)e^r0x , (λ, µ)∈R². 3. Si ∆<0, (e) admet deux racines complexes conjugu´ees r1 =α+iβ,r2=α−iβ.

La solution g´en´erale de (H) est :∀x∈R,y(x) =e^αx(Acos(βx)+Bsin(βx)),(A, B)∈R². Autre forme (non nulle) : y(x) =Ce^αxcos(βx−ϕ), C=|A+ iB|etϕ= arg(A+ iB).

Solution particuli`ere de (E) : ay<sup>00</sup>+by<sup>0</sup>+cy=Ae<sup>γx</sup>, o`u (A, γ)∈C²

1. Siγ n’est pas racine de (e), on cherche une solution particuli`ere sous la forme yp(x) =Ce^γx.

2. Siγ est racine simple de (e), on cherche une solution particuli`ere sous la forme y_p(x) =Cxe^γx.

3. Siγ est racine double de (e), on cherche une solution particuli`ere sous la forme yp(x) =Cx²e^γx.

Solution particuli`ere de (E) : ay<sup>00</sup>+by<sup>0</sup>+cy=ccos(ωx) ou csin(ωx), o`u(c, ω)∈R² 1. Si iω n’est pas racine de (e), on cherche une solution particuli`ere sous la forme

y_p(x) =αcos(ωx) +βsin(ωx).

2. Si iω est racine simple de (e), on cherche une solution particuli`ere sous la forme yp(x) =αxcos(ωx) +βxsin(ωx).

5 Probabilit´ es

Formules de Probabilit´e

P(Ω) = 1 P(∅) = 0 P(A) = 1−P(A) P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)

´

ev´enements incompatibles deux `a deux: P(A₁∪ · · · ∪A_k) = P(A₁) +· · ·+ P(A_k)

´

ev´enements mutuellement ind´ependants : P(A₁∩ · · · ∩A_k) = P(A₁)× · · · ×P(A_k) probabilit´es conditionnelles: si P(A)>0,

P(B|A) = P(A∩B)

P(A) P(A∩B) = P(A)P(B|A) probabilit´es compos´ees: si P(A1∩ · · · ∩Ak−1)>0,

P(A₁∩ · · · ∩A_k) = P(A₁)×P(A₂|A₁)×P(A₃|A₁∩A₂)× · · · ×P(A_k|A₁∩. . .∩Ak−1) probabilit´es totales : si (A₁, . . . , A_k) est un S.C.E.,

P(B) =

k

X

i=1

P(B∩A_i) =

k

X

i=1

P(A_i)×P(B|A_i)

Bayes : si P(A)P(B)>0, P(A|B) = P(A)×P(B|A) P(B)

si (A₁, . . . , A_k) est un S.C.E., P(A_j|B) = P(Aj)×P(B|A_j)

k

X

i=1

P(Ai)×P(B|A_i)

Esp´erance et variance

siX(Ω) ={x₁, . . . , xn} : E(u(X)) =

n

X

i=1

u(xi)P(X=xi) (transfert) V(X) = E

(X−E(X))²

V(X) = E(X²)−[E(X)]² (K¨onig-Huygens)

V(aX+b) =a²V(X) E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y) (lin´earit´e de l’esp´erance)

Loi uniforme

X ,→ U(n) si : X(Ω) =[[1, n]] P(X=k) = 1 n E(X) = n+ 1

2 V(X) = n²−1 12

Loi de Bernoulli

X ,→ B(p) si : X(Ω) ={0,1} P(X= 0) = 1−p P(X= 1) =p E(X) =p V(X) =p(1−p)

Loi binomiale

X ,→ B(n, p) si : X(Ω) =[[0, n]] P(X=k) = n

k

p^k(1−p)^n−k E(X) =np V(X) =np(1−p)

6 G´ eom´ etrie

Droite du plan

param´etrage : D:

x = x0+αt

y = y₀+βt , t∈R

siD passe parA(x0, y0) et a pour vecteur directeur −→u = (α, β) ;

´

equation cart´esienne : D: ax+by+c= 0

siD admet−→n = (a, b) pour vecteur normal ou −→u = (−b, a) pour vecteur directeur ;

´

equation de graphe: D: y=mx+p,

siD passe parA(0, p) et a pour vecteur directeur −→u = (1, m).

distance d’un point `a une droite: d(M,D) = |ax_M +byM +c|

√ a²+b²

Cercle du plan

siC a pour centre Ω(x0, y0) et pour rayon R >0, param´etrage : C:

x = x0+Rcos(t)

y = y₀+Rsin(t) , t∈R

´

equation cart´esienne : C: (x−x₀)²+ (y−y₀)² =R²

´

equation complexe : |z−ω₀|=R, o`uω₀ =x₀+ iy₀ est l’affixe de Ω

Aire orient´ee d’un triangle du plan

Aire(ABC) = det(−−→ AB,−→

AC)

2 = AB×AC×sin(−−→ AB,−→

AC) 2

Plan de l’espace

param´etrage : P :







x = x0+αt+α⁰t⁰ y = y0+βt+β⁰t⁰ z = z₀+γt+γ⁰t⁰

, (t, t⁰)∈R²

siP passe parA(x0, y0, z0) et a pour vecteurs directeurs−→u = (α, β, γ) et −→v = (α⁰, β⁰, γ⁰) ;

´

equation cart´esienne : P : ax+by+cz+d= 0 siP admet−→n = (a, b, c) pour vecteur normal ;

distance d’un point `a un plan: d(M,P) = |ax_M +by_M +cz_M +d|

√

a²+b²+c²

Droite de l’espace

param´etrage : D:







x = x₀+αt y = y0+βt z = z0+γt

, t∈R

siD passe parA(x0, y0, z0) et a pour vecteur directeur −→u = (α, β, γ) ;

´

equations cart´esiennes : D:

( ax+by+cz=d a⁰x+b⁰y+c⁰z=d⁰

siD est l’intersection des plansP :ax+by+cz=detP⁰ :a⁰x+b⁰y+c⁰z=d⁰; distance d’un point `a une droite: d(M,D) = k−−→

AM ∧ −→uk k−→uk

Sph`ere de l’espace

siS a pour centre Ω(x₀, y₀, z₀) et pour rayonR >0,

´

equation cart´esienne : S : (x−x0)²+ (y−y0)²+ (z−z0)² =R²