Terminale ES Probabilit´es conditionnelles
Probabilit´ es Conditionnelles
I Exemple Introductif
On s’int´eresse `a la r´epartition des fumeurs et des non-fumeurs dans une entreprise de 300 personnes. Les
2
3 des personnes de l’entreprise sont des hommes. 70 % des hommes sont des fumeurs. 40 % des personnes
de cette entreprise ne fument pas. On interroge au hasard une personne de cette entreprise.
On noteA :«la personne est un homme»;
B :«la personne fume».
CalculerP(A), P(B) et P(A∩B).
avec un tableau
hommesA femmesA Total
fumeurs B
non fumeurs B
Total
avec un arbre pond´er´e
. . . A
. . . B . . . B
A
. . . . . . B
. . . B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Probabilit´ es conditionnelles
D´efinition :
Soit A un ´ev`enement de probabilit´e non nulle.
La probabilit´e de B sachant que A est r´ealis´e, not´ee PA(B), est d´efinie par PA(B) = P(A∩B) P(A) .
Cons´equence :P(A∩B) =PA(B)×P(A) . P(A) A PA(B) B ←
. . . . . .
. . . . . . . . Propri´et´e :
PA B
= 1−PA(B)
. . . . . . . .
-1- 6 novembre 2017
Terminale ES Probabilit´es conditionnelles
III Formule des probabilit´ es totales
A1 A2 A3 . . . An
Ω
A1, A2, . . . , An forment une partition de l’universΩ.
Propri´et´e :
Soit A1, A2, . . . , An une partition de l’univers Ω(par des ´ev`enements de probabilit´e non nulle).
Alors pour tout ´ev`enement B,
P(B) =P(B∩A1) +P(B∩A2) +· · ·+P(B∩An)
et P(B∩Ak) =PAk(B)×P(Ak) pour tout entierk, 16k6n . Exemple :
Dans une usine de fabrication d’automobiles, il y a 3 chaˆınes de montage.
chaˆıne 1 (C1) : fabrication de 35 % de la production totale dont 5 % d’automobiles d´efectueuses.
chaˆıne 2 (C2) : fabrication de 40 % de la production totale dont 4 % d’automobiles d´efectueuses.
chaˆıne 3 (C3) : fabrication de 25 % de la production totale dont 2 % d’automobiles d´efectueuses.
1. Mr X ach`ete une voiture provenant de cette usine. Quelle est la probabilit´e pour qu’elle soit d´efectueuse ?
2. Mr X a achet´e une voiture d´efectueuse provenant de cette usine. Quelle est la probabilit´e pour qu’elle provienne de la chaine 1 ?
C1
0,35
. . . D . . . D
C2
. . . 0,04 D
. . . D
C3
. . .
. . . D
. . . D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propri´et´e : (partition de l’univers parAetA)
Soit A et B deux ´ev`enements tels que P(A)6= 0 et P A 6= 0 .
Puisque A et A forment une partition de l’universΩ :P(B) =P(B∩A) +P B∩A .
A
B ← B
A
B ← B
P(B) =P(B∩A) +P B∩A
-2- 6 novembre 2017
Terminale ES Probabilit´es conditionnelles
IV Variables al´ eatoires (rappels)
Exemple :
Un jeu consiste `a tirer au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes. On suppose les ´eventualit´es ´equiprobables. L’ensemble des tirages possibles d’une carte parmi 52 a pour cardinal : Card(Ω) = 52. A chaque tirage, on associe un gain ou une perte d´efinis de la fa¸con suivante :
☞ si on tire un as, on gagne 5e;
☞ si on tire un roi, une dame ou un valet, on gagne 1e;
☞ Dans tous les autres cas on perd 1e.
On noteX le gain alg´ebrique associ´e `a chaque tirage. . . . . . . . . . . .
xi . . . . . . . . .
P(X =xi)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D´efinition :
Soit Ω un univers fini. On appelle variable al´eatoire r´eelle et on note (v.a.r), toute applica- tion X : Ω 7−→ R. On note{X =xi} = {wi ∈ Ω | X(wi) =xi}. SiΩest muni d’une probabilit´eP et siX(Ω) = {x1 ; x2 ; . . . ; xm}, on appelle loi de probabilit´e de la v.a.rX l’application qui `a tout ´el´ement xi fait correspondre P(X =xi).
D´efinition :
Soit Ω un univers, P une probabilit´e sur Ωet X une variable al´eatoire.
X(Ω) = {x1 ; x2 ; · · · ; xm}
✻ l’esp´erance math´ematique de X est le nombre r´eel :E(X) =
m
X
i=1
xi×P(X=xi)
✻ lavariance (non exigible) de X est le nombre r´eel positif : V(X) =
m
X
i=1
(xi−E(X))2×P(X =xi)
✻ l’´ecart type (non exigible) de X est le nombre r´eel positif : σ(X) =p V(X)
Remarque : l’´ecart-type«mesure»la dispersion des valeurs prises parX, autour de l’esp´erance de X.
Propri´et´e : non exigible V(X) =
m
X
i=1
x2i ×P(X =xi)
!
− E(X)
!2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3- 6 novembre 2017
