Corrigé du D.S.2 de SPE

Corrigé du D.S.2 de SPE

Exercice I :

1. On a 3⁵=243=11×221 d'où 3⁵≡1[11].

2. On a de plus 3^5kr=3^5k×3^r, donc d'après la question précédentes on a 3^5kr≡1×3^r[11]. En conclusion 3^5kr≡3^r[11].

3. a . Dans la division euclidienne de n par 5, il existe k et r avec 0r5 tel que n=5kr. b . Si n=5k alors 3ⁿ≡3⁰[11] c'est à dire 3ⁿ≡1[11]

Si n=5k1 alors 3ⁿ≡3¹[11] c'est à dire 3ⁿ≡3[11] Si n=5k2 alors 3ⁿ≡3²[11] c'est à dire 3ⁿ≡9[11].

Si n=5k3 alors 3ⁿ≡3³[11] c'est à dire 3ⁿ≡5[11] (car 27=11×25 )

Si n=5k4 alors 3ⁿ≡5×3[11] c'est à dire 3ⁿ≡4[11] (car 3⁴=3³×3 et 3³≡5[11]).

Les restes possibles de la division euclidienne de 3ⁿ par 11 sont donc 1, 3, 4, 5 et 9.

4. 3ⁿ7 est divisible par 11 si et seulement si 3ⁿ7≡0 [11], or 3ⁿ7≡0 [11]⇔3ⁿ≡−7 [11]⇔3ⁿ≡4 [11]⇔n=5k4 . En conclusion : 3ⁿ7 est divisible par 11 si et seulement si n≡4[5]. Exercice II :

0n a 19≡5 [7] et 23≡2 [7]; De plus 5⁶=15625=7×22321 on en déduit que 5⁶≡1 [7] En raisonnant comme dans l'exercice 1 on obtient 5^6k≡1 [7], or 52=6×84 et

5^6k4≡2 [7] (car 5^6k4=5^6k×5⁴ et 5⁴≡2 [7]) On en déduit que : 19⁵²≡2 [7].

De même on démontre que 2^3k≡1 [7], donc que 2^3k2≡4 [7] et comme 41=3×132 on a 2⁴¹≡4 [7]

En conclusion : 19⁵²×23⁴¹≡2×4 [7] c'est-à-dire 19⁵²×23⁴¹≡1 [7]. Exercice III :

1. a . 7⁰≡1 [9], 7¹≡7 [9], 7²≡4 [9] et 7³≡1 [9].

On en déduit que 7^3k≡1^k [9] soit 7^3k≡1 [9] et donc que 7^3k1≡7 [9] et 7^3k2≡4 [9]. b . 2005=9×2227 , donc 2005≡7 [9], d'où 2005²⁰⁰⁵≡7²⁰⁰⁵ [9]

de plus 2005=3×6681 de la forme 3k1 , donc 7²⁰⁰⁵≡7 [9] En conclusion : 2005²⁰⁰⁵≡7 [9].

2. a . 10⁰≡1 [9], 10¹≡1 [9], donc 10ⁿ≡1ⁿ [9].On a donc pour tout n∈ℕ, 10ⁿ≡1ⁿ [9] b . Soit N=ana_{n −1}⋯a1a₀ un entier naturel écrit en base 10.

On sait que N=a_n×10ⁿa_{n −1}×10^{n −1}· ··a₁×10a₀ et donc que S=a_na_n−1⋯a₁a₀. D’après a ., a_p×10^p≡ a_p [9]. On a donc N≡a_na_n−1·· ·a₁a₀ [9].

En conclusion N ≡ S [9].

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c . Il en résulte que, pour que N soit divisible par 9, il faut et il suffit que son reste dans la division par 9, à savoir ici S, soit divisible par 9.

3. a . En appliquant c . on obtient successivement :

A≡ B [9], B ≡C [9] etC ≡ D [9] donc A≡ D [9].

b . 2 00510⁴ donc 2 005²00510^{4×2 005}. Or 4×2 005 = 8 020 et par suite 2005²⁰⁰⁵10⁸⁰²⁰. Donc A s’écrit en numération décimale avec au plus 8 020 chiffres. Le plus grand des nombres à 8 020 chiffres est 999···99 8 020 fois le chiffre 9 ; la somme de ses chiffres est alors égale à 8 020×9 = 72 180.

Sachant que A10⁸⁰²⁰ il en résulte donc que la somme des chiffres de A, soit B, est au plus égale à la somme des chiffres du plus grand nombre à 8 020 chiffres. D’où B72180 .

c . De la même façon 7218099 999 montre que la somme C des chiffres de B est inférieure à 9×5 = 45.

d . En examinant les entiers inférieurs à 45 on remarque que celui dont la somme des chiffres est la plus grande est 39, de somme de chiffres 12. Donc D12 .

e . On sait que A≡7 [9]et que A≡ D [9] d’où il résulte que D ≡7 [9]. Or le seul nombre inférieur à 12 vérifiant cette condition est 7. Donc D=7 .

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