Corrigé : ATB 2010 - Exercice 3 1 1. Pour x dans un voisinage de 1; nous avons
f n (x) v
x= 1
+( 1) n ln (1 + x) ; avec 1 + x v
x= 1
+0 + : Nous en déduisons
lim
x ! 1
+f n (x) = + 1 si n est pair 1 si n est impair.
Dans tous les cas il y a une asymptote verticale.
Pour x ! + 1 ; nous utilisons l’inégalité classique ln (1 + x) > x; pour x 2 I f n (x) > x n+1 ;
nous en déduisons
x ! lim + 1 f n (x) = + 1 : Ce qui donne une branche parabolique.
La fonction f n est le produit de deux fonctions dérivables sur I donc dérivable sur I
f n 0 (x) = n x n 1 ln (1 + x) + x n
1 + x = x n 1 n ln (1 + x) + x
1 + x ; (0.1) où nous notons h n (x) = n ln (1 + x) + x
1 + x : La fonction h n est dérivable sur I
h 0 n (x) = n
1 + x + 1 1 + x
x
(1 + x) 2 = n (1 + x) + 1 (1 + x) 2 :
Il est clair que le numérateur de h 0 n est supérieur ou égal à 1 sur I ; donc h 0 n (x) > 0 sur I :
D’après (0:1) le signe de f n 0 (x) ne dépend que de x n 1 ; ce qui donne deux cas à examiner.
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x 1 0 + 1
f 1 0 + 2 +
f 1
+ 1 0
1
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x 1 0 + 1
f n 0 0 +
f n
+ 1
0 +
...1
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