TD 11 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
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Exercice 1 - Corrigé
On a le vecteur V1(2,4,−3) et le vecteur V2(−1,2,2)dans la base b (xr,yr,zr) Remarque 1 : les 3 notations suivantes pour un vecteur peuvent être utilisées :
Base de projection du vecteur
b 1(2,4, 3)
V −
3 4 2 V
b 1
−
= V1 2xr 4yr 3zr
− +
=
La notation en ligne : V1 2xr 4yr 3zr
− +
= , que l’on nomme notation ingénieur, est la notation à privilégier car elle n’impose pas de base de projection (ici il n’y en a qu’une seule : b donc c’est facile à gérer sur cet exemple mais en mécanique on est amené à manipuler de nombreuses bases et par conséquent la notation ingénieur est la plus commode)
On utilisera donc par la suite les notations : V1 2xr 4yr 3zr
− +
= et V2 xr 2yr 2zr + +
−
=
Remarque 2 : Produit scalaire entre les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe b(xr,yr,zr)
Dans une base orthonormée directe, tous produit scalaire entre 2 vecteurs unitaires orthogonaux est nul, par conséquent on a : xr.yr=0
, xr.zr=0
etyr.zr=0 (Le produit scalaire étant commutatif on a aussi :yr.xr=0
, zr.xr=0
etzr.yr=0 )
Seul les produits scalairesxr.xr=1
, yr.yr=1
et zr.zr=1
sont non nuls et égaux à 1.
zr
yr xr
Remarque 3 : Produit vectoriel entre les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe b(xr,yr,zr)
Dans une base orthonormée directe, on a toujours xr yr zr
=
∧ ,yr zr xr
=
∧ et zr xr yr
=
∧ Le produit vectoriel étant anticommutatif on a : yr xr zr
−
=
∧ , zr yr xr
−
=
∧ et
y z
x r r
r∧ =−
zr
yr xr
Calcul de V1.V2 :
0 2 3 2 4 ) 1 ( 2 ) z 2 y 2 x ).(
z 3 y 4 x 2 ( V .
V1 2 = r+ r− r −r+ r+ r = × − + × − × = (ces 2 vecteurs sont donc orthogonaux)
Calcul de V1.xr :
2 x ).
z 3 y 4 x 2 ( x .
V1 r= r+ r− r r=
zr
xr
V1
V2
yr x . V1 r Interprétation graphique
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Calcul de V1∧V2 :
On exploite ici la propriété de distribution avec l’addition )
z 2 y 2 x ( ) z 3 y 4 x 2 ( V
V1 2 r r r r r r
+ +
−
∧
− +
=
∧
z 2 z 3 y 2 z 3 x z 3 z 2 y 4 y 2 y 4 x y 4 z 2 x 2 y 2 x 2 x x 2 V
V1 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r
∧
−
∧
−
−
∧
−
∧ +
∧ +
−
∧ +
∧ +
∧ +
−
∧
=
∧
On effectue ensuite des produits vectoriels uniquement entre les vecteurs unitaires ) z z ( 6 ) y z ( 6 ) x z ( 3 ) z y ( 8 ) y y ( 8 ) x y ( 4 ) z x ( 4 ) y x ( 4 ) x x ( 2 V
V1 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r
∧
−
∧
−
∧ +
∧ +
∧ +
∧
−
∧ +
∧ +
∧
−
=
∧
) 0 ( 6 ) x ( 6 ) y ( 3 ) x ( 8 ) 0 ( 8 ) z ( 4 ) y ( 4 z 4 ) 0 ( 2 V
V1 2 r r r r r r r r r
−
−
− + + +
−
−
− + +
−
=
∧
x 6 y 3 x 8 z 4 y 4 z 4 V
V1 2 r r r r r r
+ + + +
− +
=
∧
z 8 y x 14 V
V1 2 r r r
+
−
=
∧
Calcul de V1 xr
∧ :
x ) z 3 y 4 x 2 ( x
V1 r r r r r
∧
− +
=
∧
x z 3 x y 4 x x 2 x
V1 r r r r r r r
∧
−
∧ +
∧
=
∧
y 3 z 4 x
V1 r r r
−
−
=
∧
Calcul de V : 1
29 9 16 4
) z 3 y 4 x 2 ).(
z 3 y 4 x 2 (
V . V
V1 1 1
=
+ +
=
− +
− +
=
=
r r r r r r
zr
xr
V1
V2
yr
2
1 V
V ∧
Interprétation graphique
V1
yr zr
xr
xr
x V1 r
∧
Exercice 2 - Corrigé
Graphiquement on lit : V1 2yr
= V2 xr 4yr +
= V3 2xr
= V4 3xr 2yr
−
= 8
) y 4 x .(
y 2 V .
V1 2 = r r+ r = 0 ) x 2 ).(
y 2 ( V .
V1 3= r r = 4 ) y 2 x 3 .(
y 2 V .
V1 4 = r r− r =− z 2 ) y 4 x ( y 2 V
V1 2 r r r r
−
= +
∧
=
∧
z 4 x 2 y 2 V
V1 3 r r r
−
=
∧
=
∧
z 6 ) y 2 x 3 ( y 2 V
V1 4 r r r r
−
=
−
∧
=
∧
y 4 x 2 z 2 x 2 ) y 2 ) y 4 x ((
V ) V V (
V5 2 1 3 r r r r r r r
=
∧
=
∧
∧ +
=
∧
∧
=
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Exercice 3 - Corrigé
θ x1
r y1
r
x0
r y0
r
z1
r = zr0
φ x1
r
2
1 y
y r
r = zr1
z2
r xr2
0 0
1 cos x sin y
x r r
r = θ + θ
0 0
1 sin x cos y
y r r
r =− θ + θ
1 1
0 cos x sin y
x r r
r = θ − θ
1 1
0 sin x cos y
y r r
r = θ + θ
0 0
0 0
0 0
1 1
2 cos z sin x cos z sin (cos x sin y ) sin cos x sin sin y cos z
z r r r r r r r r
r = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ θ + θ = ϕ θ + ϕ θ + ϕ
0 0
0 0
0
1 x (cos x sin y ) x sin z
x r r r r r
r ∧ = θ + θ ∧ =− θ
0 0
0 0
1
0 x y (cos x sin y ) cos z
y r r r r r
r ∧ = ∧ θ + θ =− θ
0 0
1 x cos z
y r r
r ∧ =− θ
0 0
0 1 1
0
2 x (cos z sin x ) x cos y sin sin z
z r r r r r r
r ∧ = ϕ + ϕ ∧ = ϕ − ϕ θ
θ ϕ ϕ
ϕz sin x ).x sin cos (cos
x .
z2 r0 = r1+ r1 r0= r
Exercice 4 - Corrigé
θ z1
r
y1 0 r
zr
y0
r x1
r = xr0
β x1
r
2
1 y
y r
r = zr1
z2
r xr2
0 0
0 2
0 0
0 0
0 2
1 1
1 2
1 1
1 1 1
2
2 2 2 2
z )) sin cos 3 ( cos sin 2 ( y )) sin cos 3 ( sin cos 2 ( x ) cos sin 3 ( V
) z cos y sin )(
sin cos 3 ( ) z sin y cos ( 2 x ) cos sin 3 ( V
z ) sin cos 3 ( y 2 x ) cos sin 3 ( V
) x sin z (cos 3 y 2 x cos z sin V
z 3 y 2 x V
r r
r
r r
r r
r
r r
r
r r
r r r
r r r
β β α α β
β α α β
β
α α
β β α
α β
β
β β β
β
β β
β β
− +
+
−
− +
+
=
+
−
− +
+ +
+
=
− +
+ +
=
+ +
+ +
−
=
+ +
=
