MPSI B 29 juin 2019
Énoncé Exercice 1
Soita, b, ndes nombres entiers, on pose
Da ={(x, y)∈N2 tq x+y=a}
Tn ={(x, y)∈N2 tq x+y≤n}
Cn ={0,1,· · · , n}2
Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes Aa = X
(x,y)∈Da
x+y x
Bn= X
(x,y)∈Tn
x+y x
Gb,n =
n
X
x=0
x+b x
Dn= X
(x,y)∈Cn
x+y x
Exercice 2
Pourk entier naturel etxréel non congru à0moduloπ, linéariser 4 sin2xsin(2kx)
et l'exprimer comme la diérence de deux termes consécutifs d'une suite. En déduire, pour des entierspet qxés tels quep≤q, une autre expression de
q
X
k=p
4 sin2xsin(2kx)
Exercice 3
Soitnun entier strictement positif, exprimer, pourk∈ {0,2, . . . , n−1},
n k
2n k
−
n k+1
2n k+1
à l'aide d'un quotient de deux coecients du binôme.
En déduire une expression de
n
X
k=0 n k
2n−1 k
Corrigé Exercice 1
Remarquons queDa est formé par les couples(k, a−k) oùk décrit {0,· · ·, n}. On en déduit que
Aa=
a
X
k=0
a k
= 2a CommeTn est l'union disjointe desDa,
Bn=
n
X
a=0
Aa= 1 + 2 +· · ·+ 2n = 2n+1−1 La sommeGb,n se calcule par dominos
Gb,n= b
0
+(
b+ 2 1
− b+ 1
0
)+(
b+ 3 2
− b+ 2
1
)+· · ·+(
n+b+ 1 n
− n+b
n−1
)
= 1−1 +
n+b+ 1 n
=
n+b+ 1 n
Dn =
n
X
y=0 n
X
x=0
x+y x
!
=
n
X
y=0
Gy,n=
n
X
y=0
n+y+ 1 y
=
n+1
X
y=1
n+y y
=Gn,n+1−1 =
2n+ 2 n+ 1
−1
Exercice 2
On linéarise par les formules transformant les produits en sommes : 4 sin2xsin(2kx) = 2 sin(2kx)−sin(2(k+ 1)x)−sin(2(k−1)x)
= (sin(2kx)−sin(2(k+ 1)x))−(sin(2(k−1)x)−sin(2kx)) =uk−uk−1 avecuk = sin(2kx)−sin(2(k+ 1)x). On en déduit
q
X
k=p
4 sin2xsin(2kx) =uq−up−1
= sin(2qx)−sin(2(q+ 1)x)−sin(2(p−1)x) + sin(2px)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Aelem13
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Exercice 3
NotonsX la diérence des deux quotients, comme
n k
2n k
= n(n−1)· · ·(n−k+ 1) (2n)(2n−1)· · ·(2n−k+ 1) on a
X = n(n−1)· · ·(n−k+ 1)
(2n)(2n−1)· · ·(2n−k+ 1)− n(n−1)· · ·(n−k) (2n)(2n−1)· · ·(2n−k)
= n· · ·(n−k+ 1)
(2n)· · ·(2n−k)(2n−k−n+k) = 1 2
n· · ·(n−k+ 1) (2n−1)· · ·(2n−k)
=1 2
n· · ·(n−k+ 1) k!
k!
(2n−1)· · ·(2n−1−k+ 1) = 1 2
n k
2n−1 k
Comme cette décomposition n'est valable que pourk < n, on en déduit (par simplication télescopique)
n−1
X
k=0 n k
2n−1 k
= 2
n 0
2n 0
−
n n
2n n
!
= 2−2 1
2n n
Pour la somme complète, on ajoute le dernier terme
n
X
k=0 n k
2n−1 k
= 2−2 1
2n n
+ 1
2n−1 n
En fait cette somme est égale à2car
2n−1 n
=
nfacteurs
z }| { (2n−1)(2n−2)· · ·(2n−1−n)
n! = 1
2 2n
n−1facteurs
z }| { (2n−1)(2n−2)· · ·
n! =1
2 2n
n
.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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