Corrigé Exercice 1
= 500 + 50 − 30 = 520, = 520 + 52 − 30 = 542 (0,75 point)
La suite n’est pas arithmétique car il n’y a pas la même augmentation de à que de à . Elle n’est pas non plus géométrique car il n’y a pas non plus le même facteur (1 point)
= + − 30 = 1,1 − 30 (0,5 point)
= 200, = 220, = 242 (0,75 point)
= − 300 = 1,1 − 30 − 300 = 1,1 − 330 = 1,1( − 30) = 1,1 . La suite ( ) est géométrique de raison = 1,1 (1,25 point)
On a donc, pour tout : = × = 200 × 1,1 (0,5 point) On en déduit que = + 300 = 300 + 200 × 1,1 (0,5 point)
La suite ( ) est géométrique, sa raison est supérieure à 1 et son premier terme est positif.
Elle est donc croissante. Ajouter la constante 200 ne change pas le sens de variation, donc la suite ( ) est croissante. (0,75 point)
Exercice 2 Partie A
Pour un garçon, le fait d’être ou non daltonien est une épreuve de Bernoulli de probabilité 0,08. On répète 20 fois cette expérience, le nombre de garçons suit donc la loi binomiale de paramètres 0,08 et 20. (0,75 point)
L’espérance est égale à 20 × 0,08 = 1,6. Il y a en moyenne 1,6 garçon daltonien par classe.
(0,75 point) ( = 2) = 20
2 × 0,08 × 0,92 ≈ 0,27 (0,75 point) ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 0,92 ≈ 0,81 (0,75 point) Partie B
L’intervalle de fluctuation est donné par = 9, = 24 (1 point)
30 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, donc on ne peut pas considérer cette situation comme normale. On peut supposer que c’est dû à l’isolement, donc une consanguinité plus élevée. (1 point)
Exercice 3
⃗(8 ; 6), ⃗(4 ; −1) donc ⃗ ∙ ⃗ = 32 − 6 = 26 (0,5 point)
Comme ⃗ ∙ ⃗ = × × cos ⃗, ⃗ , on a cos ⃗, ⃗ = ⃗∙ ⃗× .
= 10, = √17 donc cos ⃗, ⃗ =
√ et ⃗, ⃗ ≈ 51° (1 point)
( , ) appartient à si et ssi ⃗ et ⃗ sont perpendiculaires, donc si et ssi ⃗ ∙ ⃗ = 0.
On obtient 8( − 2) + 6( − 0) = 0 soit 8 + 6 − 16 = 0 ou encore 4 + 3 − 8 = 0 (1,25 point)
( , ) appartient à Γ si et ssi = , soit ( + 2) + ( − 1) = 17, ce qui s’écrit + 4 + − 2 − 12 = 0 (0,5 point)
⃗ ∙ ⃗ = −9 s’écrit ( + 2)( − 6) + ( − 1)( − 7) = −9, soit en développant − 4 + − 8 + 4 = 0 (1,5 point)
Sous forme canonique, on a ( − 2) − 4 + ( − 4) − 16 + 4 = 0, ou encore ( − 2) + ( − 4) = 16 : c’est le cercle de centre , de rayon 4 (0,5 point)
⃗ ∙ ⃗ = −4 × 4 + 1 × 7 = −9 donc appartient à ℰ (0,5 point) Figure : 1 point
Les points d’intersection vérifient 4 + 3 − 8 = 0 + 4 + − 2 − 12 = 0
On substitue dans la deuxième équation par − + , on obtient + 4 +
− + − 2 − + + 12 = 0, ce qui s’écrit − − = 0 Les solutions de cette équation sont 2 et − , qui est l’abscisse du second point
d’intersection. On trouve l’ordonnée en remplaçant par sa valeur dans = − + , on obtient =
Exercice 4
+ = 2 + . Comme est le milieu de [ ], = et = , on
obtient bien + = + (1,5 point)
Comme les côtés opposés sont de même longueur, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. (0,5 point)
Cette fois, + = 2 + , + = 2 + , donc + + +
= 2 + + 2 + = + 2( + )
On applique encore le théorème de la médiane, + = 2 + .
On obtient donc + + + = + + 4 (2 point)
Exercice 4
La suite des nombres impairs est une suite arithmétique de raison 2, = 1 + 2 La somme des termes est donc ( )( ) = ( + 1)
