Terminales option maths expertes − 2020 / 21 Mercredi 19 mai 2021
Exer Exer Exer
Exercice 1 cice 1 cice 1 cice 1 − − − 20 − 20 20 20 pts pts pts pts
On se place dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (O ; Åu , Åv) situé au verso.
1) On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
zA = 3+i zB = -1+i 3 et zC = -1−3i.
a) Calculer
| |
zA et| |
zB .Placer les points A et B dans le repère situé au verso, par exemple à l’aide d’une construction utilisant les deux calculs précédents.
b) Vérifier par le calcul que izA = zB.
c) Justifier que le triangle OAB est isocèle puis prouver qu'il est rectangle grâce à un produit scalaire après avoir calculé les affixes des vecteurs OAÄ et OBÄ.
d) Soit D le points tels que zD = izC
Déterminer l’affixe zD de D et placer D sur la figure.
Démontrer que OCD est rectangle et isocèle en O en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
e) De façon générale, on considère un point M d’affixe z ≠ 0, et le point N d’affixe z' = iz. Montrer que le triangle OMN est rectangle et isocèle en O.
2) Soit E le point tels que OCEB est un parallélogramme.
a) Déterminer l’affixe zE de E puis placer E sur la figure.
b) Les points E, O et A sont-ils alignés ? Justifiez.
c) Calculer
zD−zA
zE . Que peut-on en déduire géométriquement ?
3) On considère la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe : z' = f(z) = z2+2z+4
a) Démontrer que le point B a pour image le point O par la fonction f.
b) Déterminer, grâce à une équation, l'affixe du point S, autre antécédent de O par la fonction f.
c) On constate que les antécédents du point O par la fonction f sont deux points dont les affixes sont conjuguées l’une de l’autre.
Est-ce le cas pour tout point situé sur l’axe des réels ?
Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2
Exercice 2 − − − 2222pt − pt ptssss hors barème pt hors barème hors barème hors barème
On considère la suite de complexes (zn) définie de la façon suivante :
• z0 est un nombre complexe différent de 0 et de 1
• pour tout naturel n on a : zn+1 = 1−1 zn
Montrer que pour tout entier naturel n : z3n = z0 et en déduire la valeur de z2021 lorsque z0 = 1+i.
O Åv
Åu
