Test n°1 : Dérivation et études de variations

Nom :

Prénom : Test n°1

Dérivation et variations de fonctions

le 06/11/2017

Classe : BTS 1

Avis du professeur

Compétences évaluées Acquis En cours

d'acquisition

Non Acquis Dériver une fonction

Etudier les variations d'une fonction

Exercice 1 :

1. Dériver les fonctions suivantes.

a) = + – 2

………

………

………

b) = –

………

………

………

2. est la fonction définie sur I = ]-∞; [ par = – . Justifier que, pour tout réel dans I, on a : = .

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 2 : Etudier les variations des fonctions suivantes, sur les intervalles I donnés.

a) = sur I = R

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

cos( )

e^-3x 6¡4p

x _x² ¼¡x

(4¡7x)³ f(x)

g(x)

h ³₂ h(x) 2x³¡4x²+ 3ln(6¡4x)

h⁰(x)

x 2 x

f(x) x³¡3x²¡9x+ 8

-48x³+136x²¡100x+30 4(3¡2x)

b) = sur I = ]2 ; +∞[

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

c) = sur I = R

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

g(x) ^4x_2¡^¡_x⁵

h(x) (4x¡9)e^-5x

Correction du Test n°1

Exercice 1 :

1. Dériver les fonctions suivantes.

a) = + – 2 = + 2 × – 2 Donc : ∀ ∈ ]0 ; +∞[, = × + 2 × + 2 × ( ) ×

= – – 2 = – – 2 b) = –

Donc : ∀ ∈ R, = – = +

2. est la fonction définie sur I = ]-∞; [ par = – . Justifier que, pour tout réel dans I, on a : = .

∀ ∈ I, = – = + – Donc : = + –

= + +

= – + +

= = =

Remarque : En simplifiant par 2 on obtient = = f(x) 6¡4p

x _x² cos(¼¡x)

g(x) (4¡7x)³ e^-3x

h ³₂ h(x) 2x³¡4x²+^x₂ 3ln(6¡4x)

x h⁰(x)

x f⁰(x) 0¡4 ₂p¹ ¼¡1x)

x

-1

x² -1 sin(

f⁰(x) ^-4 sin( )

2p x

2

x² ¼¡x

x g⁰(x) 3£(-7)£(4¡7x)² (-3)e^-3x -21 (4¡7x)² 3e^-3x

x

h⁰(x) 6x²¡8x ¹₂

h(x) 2x³ ¡4x²+^x₂ 3ln(6¡4x) 2x³¡4x^{2 1}₂x 3ln(6¡4x) 3£(-4)

6¡4x h⁰(x) 6x²¡8x ¹_{2 6}¹²

¡4x h⁰(x) ^6x

2£2(6¡4x) 2(6¡4x)

8x£2(6¡4x) 2(6¡4x)

6¡4x 2(6¡4x)

24 2(6¡4x) h⁰(x) ^6x

2(12¡8x)¡8x(12¡8x)+6¡4x+24 2£2(3¡2x)

h⁰(x) ^72x

2¡48x³¡96x+64x²+6¡4x+24 4(3¡2x)

-48x³+136x²¡100x+30 4(3¡2x)

-48x³+136x²¡100x+30 4(3¡2x)

6¡4p

x _x¹ cos(¼ ¡1x)

h⁰(x)

2

x² sin(¼¡x) p-2

x

h⁰(x) ^-24x

3+68x²¡50x+15 2(3¡2x)

-24x³+68x²¡50x+15 6¡4x

Exercice 2 : Etudier les variations des fonctions suivantes, sur les intervalles I donnés.

a) = sur I = R

∀ ∈ R, =

∆ = = = = > 0 On en déduit deux racines distinctes :

= = = = et : = = = = Le polynôme est du signe de = 3 à l'extérieur des racines.

On en déduit le tableau de variations suivant :

-∞ +∞

+ – +

-

b) ∀ ∈ ]2 ; +∞[, = = avec : = et = Donc : =

= = =

∀ ∈ ]2 ; +∞[, > 0 donc est strictement croissante sur ]2 ; +∞[.

c) ∀ ∈ R, = = avec : = et = Donc : =

=

= = =

∀ ∈ R, > 0

Donc est du même signe que sur R.

> 0 ⇔ > ⇔ <

On en déduit le tableau de variations suivant :

-∞ +∞

+ –

f(x) x³¡3x²¡9x+ 8

g(x) ^4x_2¡^¡_x⁵

h(x) (4x¡9)e^-5x x f⁰(x) 3x²¡6x¡9

b²¡4ac (-6)²+ 4£3£9 36 + 108 144

x1 -b¡p

¢ 2a

6¡12 6

-6

6 -1 x2 -b+p

¢ 2a

6+12 6

18 6 3

f⁰(x) a

f⁰(x) f(x)

x -1 3

19 13

u(x)

v(x) u(x) 4x¡5 v(x) 2¡x x

g⁰(x) ^u

0(x)v(x)¡v⁰(x)u(x) v²(x)

g⁰(x) ^4(2¡x)₍₂^¡_¡^(-1)(4x_x)2 ^{¡5) 8¡}₍₂^4x+4x_¡x)2^¡5 _(2¡³_x)2

x ₍₂ ³

¡x)² g

x u(x)v(x) u(x) 4x¡9 v(x) e^-5x

h⁰(x) u⁰(x)v(x) +v⁰(x)u(x) h⁰(x) 4e^-5x+ (-5)e^-5x£(4x¡9)

h⁰(x) 4e^-5x¡(20x¡45)e^-5x (4¡20x+ 45)e^-5x (49¡20x)e^-5x x e^-5x

h⁰(x) 49¡20x

49¡20x 49 20x x ⁴⁹₂₀

x h⁰(x) h(x)

49 20

0,8e^-12,25