3.14 Processus de Galton-Watson
Références : W. Appel, Probabilités pour les non probabilistes, H & K, 2e édition. Plan de leçon Nassif-Garéneaux.
Leçons concernées : 223, 226, 260, 264, 229, 243, 253. Soit pXn
i qpi,nq une suite double de variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées de même loi qu’une variable aléatoire X à valeurs dans N. On note pk “ PpX “
kq pour k P N et on suppose 0 † p0 “ PpX “ 0q † 1. Soit Z0 “ 1 et pour tout n • 0,
Zn`1 “
Zn
ÿ
i“1
Xin.
La suite pZnq représente le nombre d’individus au temps n d’une population issue d’un seul
individu. On suppose que X est intégrable et on note m “ ErXs et G la série génératrice de X. Enfin, soit M l’évènement tDn • 1, Zn“ 0u d’extinction de la population.
Théorème 1. On distingue deux cas : (i) si m § 1, alors PpMq “ 1
(ii) si m ° 1, alors PpMq est l’unique point fixe de G sur s0, 1r. Lemme 2. Sur s0, 1r, G est
(i) strictement croissante (ii) convexe
(iii) strictement convexe si et seulement si p0` p1 “ 1.
Démonstration. On a, pour t Ps´1, 1r, Gptq “∞k•0pktk, G1ptq “∞k•1pkktk´1et G2ptq “
∞
k•2pkkpk ´ 1qtk´2.
(i) Puisque p0† 1, il existe k • 1 tel que pk ° 0 et ainsi, pour t Ps0, 1r, G1ptq • pkktk´1 °
0.
(ii) Il est clair que G2 • 0 sur s0, 1r.
(iii) Enfin, si p0 ` p1 † 1, alors il existe k • 2 tel que pk ° 0 et ainsi, pour t Ps0, 1r,
G2ptq • pkkpk ´ 1qtk´2 ° 0. Si p0` p1 “ 1, Gptq “ p0` p1t n’est pas strictement
convexe.
Lemme 3. On note Gn la série génératrice de Zn. Alors, pour tout n • 0,
Gn`1 “ Gn˝ G
et donc Gn“ Gn.
Démonstration. Soit n • 0. Pour l • 0, on note Sn l :“ ∞l i“1Xin. On a alors GSn l “ G l par indépendance. On a, pour k P N, PpZn`1“ kq “ `8ÿ l“0 PpZn`1“ k, Zn“ lq “ `8ÿ l“0 PpSn`1 l “ k, Zn“ lq “ `8ÿ l“0 PpSn`1 l “ kqPpZn“ lq par indépendance de Zn et Sln`1. Soit maintenant t P r´1, 1s, on a Gn`1ptq “ `8ÿ k“0 PpZn`1 “ kqtk “ `8ÿ k“0 `8ÿ l“0 PpSn`1 l “ kqPpZn“ lqtk “`8ÿ l“0 PpZn“ lq `8ÿ k“0 PpSn`1 l “ kqt k“`8ÿ l“0 PpZn“ lqGSn`1 l ptq “`8ÿ l“0 PpZn“ lqpGptqql“ Gn˝ Gptq
par Fubini. On conclut avec G0“ id.
Lemme 4. PpMq est le plus petit point fixe de G sur r0, 1s.
Démonstration. Soit xn“ PpZn “ 0q. Puisque les intervalles tZn “ 0u sont croissants, on
a PpMq “ Ppîn•0tZn “ 0uq “ limnÑ`8PpZn “ 0q “ limnÑ`8xn. Et de plus, pxnq est
croissante.
D’autre part, xn`1 “ PpZn`1 “ 0q “ Gn`1p0q “ Gn`1p0q “ GpGnp0qq “ Gpxnq.
Enfin, soit ↵ le plus petit point fixe de G sur r0, 1s qui existe puisque Gp1q “ 1. Alors, puisque G est croissante sur r0, 1s et vérifie Gp0q ° 0, la fonction G laisse stable l’intervalle r0, ↵s. Ainsi, puisque x0 “ 0, pxnqn est croissante majorée par ↵, donc elle converge et
d’après la relation de récurrence vérifiée, la limite est un point fixe de G sur r0, ↵s, c’est donc ↵.
Démonstration (Théorème). Si p0` p1 “ 1, alors G est affine, et donc, puisque p0 ° 0, G
admet au plus un point fixe sur r0, 1s, qui est donc 1. On remarque qu’alors m “ ErXs “ p1 † 1.
On suppose maintenant p0` p1 † 1 et donc G est strictement convexe.
(i) Si m § 1, alors pour tout u Ps0, 1r, G1puq † G1p1q “ m § 1 et donc pour t Ps0, 1r,
1´ Gptq “ ª1 t G1puq du † ª1 t du“ 1 ´ t donc Gptq ° t et 1 est l’unique point fixe de G.
(ii) Si m ° 1, pour t P r0, 1s, on pose F ptq “ Gptq´t, on a alors F1ptq “ G1ptq´1. Puisque
G1 est strictement croissante sur s0, 1r, F1 l’est aussi et puisque F1p0q “ G1p0q ´ 1 “ p1´ 1 † 0 et F1p1q “ G1p1q ´ 1 “ m ´ 1 ° 0, F1 s’annule en un unique point Ps0, 1r.
On en déduit que F est strictement décroissante sur s0, r, et strictement croissante sur s , 0r, avec F p0q “ p0 ° 0, et F p1q “ 0, on en déduit que F p q † 0 et donc F
s’annule en un unique point de s0, rÄs0, 1r.
t 0 1 p0 ° 0 0 Fptq Œ Õ Fp q † 0 p1´ 1 † 0 m´ 1 ° 0 F1ptq ´ 0 `
Commentaire :on fait la démonstration du lemme le plus adapté à la leçon, puis celle du théorème, et si il reste du temps on démontre les autres lemmes.
