Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Rattrapage analyse S3
Suites de fonctions.
Exercice 1 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinies sur R par
fn(x) = nt2 1 + nt si t > 0 nt3 1 + nt2 si t 6 0
1. ´Etudier la convergence simple de la suite (fn).
2. ´Etudier la convergence uniforme de (fn) sur R.
******************** Exercice 2 Soit (fn)n∈N∗ la suite de fonctions d´efinies sur [0, 1] par
∀ x ∈ [0, 1], fn(x) = n2x si 0 6 x 6 1/n −n2(x − 2/n) si 1/n 6 x 6 2/n 0 si 2/n 6 x 6 1
1. Tracer le graphe de fn pour quelques valeurs de n.
2. La suite (fn) converge-t-elle simplement sur [0, 1] ? Si oui, quelle est sa limite f ?
3. La suite (fn) converge-t-elle uniform´ement vers f sur [0, 1] ?
******************** Exercice 3 Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈]0, +∞[, on note
fn(x) =
(log x)2n− 1
(log x)2n+ 1.
1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur ]0, +∞[. On note f sa limite.
2. La suite (fn) converge-t-elle uniform´ement sur ]0, +∞[ ?
3. Sur quels intervalles ferm´es de ]0, +∞[ a-t-on convergence uniforme ? (Justifer votre r´eponse) ********************
Exercice 4 Pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0, 1], on note
fn(x) = 1 + sin x x + 1/n et Jn= Z 1 0 fn(t) dt.
1. Montrer que la suite lim
n∈+∞Jn= +∞. (On pourra tenter de minorer (Jn) par une suite convenable.)
2. Soit (gn) la suite de fonctions d´efinie sur [0, 1] par
gn(x) =
sin x x + 1/n.
(a) Montrer que (gn) converge simplement sur [0, 1] et calculer sa limite g.
(b) La suite (gn) converge-t-elle uniform´ement vers g sur [0, 1] ?
(c) Montrer que pour tout 0 < a < 1, la suite (gn) converge uniform´ement vers g sur [a, 1]. (d) En d´eduire que lim n→+∞ Z 1 0 gn(t) dt = Z 1 0 g(t) dt. 3. Donner un ´equivalent de Jn en +∞. ******************** Exercice 5 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie sur [0, 1] par
fn(x) = xnlog(cos(x)).
1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur [0, 1]. On notera f sa limite.
2. `A-t-on convergence uniforme sur [0, 1] ?
3. Montrer que pour tout a ∈]0, 1[, la suite (fn) converge uniform´ement vers f sur [a, 1].
4. En d´eduire lim n→+∞ Z a 0 fn(t) dt. 5. Montrer que Z 1 0 fn(t) dt −→ n→+∞0. ******************** Exercice 6 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie sur R+∗ par
fn(x) = ( 1 − x n n si 0 6 x 6 n 0 sinon.
1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur R+. On notera f sa limite.
2. Soit (gn) la suite de fonctions d´efinie sur R+ par
gn(x) = e−x− fn(x).
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, n], on a g0n(x) = e−xhn(x) o`u hn(x) = −1 + ex
1 − x
n n−1
. (b) ´Etudier rapidement la fonctions hn. En d´eduire qu’il existe αn∈ [1, n] tel que
gn0(αn) = 0, ∀x ∈ [0, αn[, gn0(x) > 0, ∀x ∈]αn, n], gn0(x) < 0
(c) Montrer que gn(αn) =
αne−αn
n et donner le tableau de variation de gn. 3. En d´eduire que la suite (fn) converge uniform´ement vers f sur R+.
4. Calculer lim n→+∞ Z +∞ 0 fn(x) dx. 2