Suites de fonctions

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Rattrapage analyse S3

Suites de fonctions.

Exercice 1 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinies sur R par

fn(x) =      nt2 1 + nt si t > 0 nt3 1 + nt2 si t 6 0

1. ´Etudier la convergence simple de la suite (fn).

2. ´Etudier la convergence uniforme de (fn) sur R.

******************** Exercice 2 Soit (fn)n∈N∗ la suite de fonctions d´efinies sur [0, 1] par

∀ x ∈ [0, 1], fn(x) =    n2_{x si} 0 6 x 6 1/n −n2_{(x − 2/n) si} 1/n 6 x 6 2/n 0 si _{2/n 6 x 6 1}

1. Tracer le graphe de fn pour quelques valeurs de n.

2. La suite (fn) converge-t-elle simplement sur [0, 1] ? Si oui, quelle est sa limite f ?

3. La suite (fn) converge-t-elle uniform´ement vers f sur [0, 1] ?

******************** Exercice 3 Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈]0, +∞[, on note

fn(x) =

(log x)2n_{− 1}

(log x)2n_{+ 1}.

1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur ]0, +∞[. On note f sa limite.

2. La suite (fn) converge-t-elle uniform´ement sur ]0, +∞[ ?

3. Sur quels intervalles ferm´es de ]0, +∞[ a-t-on convergence uniforme ? (Justifer votre r´eponse) ********************

Exercice 4 Pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0, 1], on note

fn(x) = 1 + sin x x + 1/n et Jn= Z 1 0 fn(t) dt.

1. Montrer que la suite lim

n∈+∞Jn= +∞. (On pourra tenter de minorer (Jn) par une suite convenable.)

2. Soit (gn) la suite de fonctions d´efinie sur [0, 1] par

gn(x) =

sin x x + 1/n.

(a) Montrer que (gn) converge simplement sur [0, 1] et calculer sa limite g.

(b) La suite (gn) converge-t-elle uniform´ement vers g sur [0, 1] ?

(c) Montrer que pour tout 0 < a < 1, la suite (gn) converge uniform´ement vers g sur [a, 1]. (d) En d´eduire que lim n→+∞ Z 1 0 gn(t) dt = Z 1 0 g(t) dt. 3. Donner un ´equivalent de Jn en +∞. ******************** Exercice 5 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie sur [0, 1] par

fn(x) = xnlog(cos(x)).

1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur [0, 1]. On notera f sa limite.

2. `A-t-on convergence uniforme sur [0, 1] ?

3. Montrer que pour tout a ∈]0, 1[, la suite (fn) converge uniform´ement vers f sur [a, 1].

4. En d´eduire lim n→+∞ Z a 0 fn(t) dt. 5. Montrer que Z 1 0 fn(t) dt −→ n→+∞0. ******************** Exercice 6 Soit (fn) la suite de fonctions d´efinie sur R+∗ par

fn(x) = (  1 − x n n si 0 6 x 6 n 0 sinon.

1. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur R+. On notera f sa limite.

2. Soit (gn) la suite de fonctions d´efinie sur R+ par

gn(x) = e−x− fn(x).

(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, n], on a g0_n(x) = e−xhn(x) o`u hn(x) = −1 + ex

 1 − x

n n−1

. (b) ´Etudier rapidement la fonctions hn. En d´eduire qu’il existe αn∈ [1, n] tel que

g_n0(αn) = 0, ∀x ∈ [0, αn[, gn0(x) > 0, ∀x ∈]αn, n], gn0(x) < 0

(c) Montrer que gn(αn) =

αne−αn

n et donner le tableau de variation de gn. 3. En d´eduire que la suite (fn) converge uniform´ement vers f sur R+.

4. Calculer lim n→+∞ Z +∞ 0 fn(x) dx. 2