Suites de fonctions

Suites de fonctions

1 Convergence de (f

.g

)

Soit (f_n) et (g_n) deux suites de fonctions de X dans R, ou C. On suppose que (f_n) converge uniformément surX versf et que (g_n)converge uniformément surX versg.

1. On suppose de plus que f et g sont bornées. Montrer que (fn.gn) converge uniformément surX versf.g.

2. Contre-exemple dans le cas contraire ? Indications

1. On rappelle que f et g étant bornées, f_n et g_n sont bornées à partir d'un certain rangn₀. En eet :

f_n=f+ (f_n−f) De plus :

∀n≥0, f_n.g_n−f.g= (f_n−f)g_n+f(g_n−g) Donc

∀n≥n0,kfn.gn−f.gk_∞≤ kfn−fk_∞.kgnk_∞+kfk_∞.kgn−gk_∞ 2.

X=R, fn(x) =gn(x) =x+1 n

2 arctannx

Soitf_n :x→arctannx; étudier la convergence simple et uniforme de(f_n) surI= [0,+∞[ et sur des parties deI.

Indications

C'est une suite de fonctions continues surIqui converge simplement vers une fonctionf discontinue en 0 ; donc la suite ne converge pas uniformément surI.

Soita >0et J= [a,+∞[ .

∀n≥1,sup

J

|fn−f|=Mn = π

2 −arctanna

La suite(M_n)tend vers 0, donc (f_n)converge uniformément versf surJ.

3 sinx.cos

x

Soitfn:x→sinx.cosⁿxetgn :x→n.sinx.cosⁿx.

1- Etudier la convergence simple et uniforme de (fn)surI= 0,^π₂ 2- Même question avec(g_n). .

Indications

1-(fn)converge simplement surI vers 0, uniformément surJ = a,^π₂

pour touta∈

0,^π₂ eet . En

sup

J

|fn| ≤cosⁿa suite qui tend vers 0.

1

Montrons que la suite converge uniformément surI On cherche le maximum

mn = max

I |fn|= max

I fn

On trouve que

m_n =f_n(u_n) avec

un= arctan 1

√n et

∀n≥1,0≤mn≤sin (un)≤un

qui tend vers 0.

Remarque : le théorème de Dini s'applique.

2- Cas de (gn):

(gn)converge simplement surI vers 0.

La convergence n'est pas uniforme, car ´

I gn

ne tend pas vers 0.

∀n≥0, ˆ 1

0

gn = n n+ 1 On peut aussi utiliser le maximum.

4 P

(x) = P

(x) +

x − P

(x)

On dénit une suite de fonctions polynomiales parP₀= 1 et

∀n∈N, P_n+1=P_n+1

2 X−P_n² On étudie la convergence de(P_n)surI= [0,1].

1- On xex∈I et on dénit(u_n)paru₀= 1et

∀n∈N, u_n+1=u_n+1

2 x−u²_n Etudier la convergence de(un).

On notera f la limite simple de (Pn)surI. 2- Montrer que

∀n∈N, P_n+1⁰ = (1−Pn).P_n⁰ +1 2 3- Montrer que P_n−f est décroissante surI pour toutn≥0. 4- Montrer que (P_n)converge uniformément surI.

5- Quel théorème est ainsi illustré ?

6- Est-ce-que(Pn)converge uniformément surR?

7- Trouver une suite(Qn)de fonctions polynômiales qui converge uniformément sur[−1,1]vers h:x→ |x|

8- Tracer (Pn)pour0≤n≤5 avec Python.

Indications 1- Soit

h_x:t→t+1

2 x−t² On vérie quehx a un unique point xe dansI : √

xet que[√

x,1]est stable parhx. On montre que(un)est décroissante et converge vers√

x. 3- Notons

gn=Pn−f

2

On montre par récurrence surnquegn est décroissante surI. On notera J=I\ {0}

∀x∈J, g⁰_n+1(x) = (1−Pn(x)).P_n⁰ (x) +1 2 − 1

2√ x

∀x∈J, g_n+1⁰ (x) = (1−Pn(x)).

g_n⁰ (x) + 1 2√ x

+1

2 − 1 2√ x

∀x∈J, g⁰_n+1(x) = (1−P_n(x)).(g_n⁰ (x))− 1 2√

x P_n(x)−√ x 4-

M_n= sup

I

|P_n−f|=P_n(0)−f(0)

Donc(Mn)tend vers 0, ce qui signie que la suite converge uniformément surI. 5- Le théorème de densité de Weierstrass.

6- Non, voir un exercice du cours.

7-

Qn=Pn X²

5 Densité de Z [X ]

SoitI= [a, b]un segment contenu dans]0,1[. On note E= C⁰(I,R),kk_∞ SoitA l'ensemble des fonctions polynomiales à coecients entiers.

1. Montrer queA est un sous-anneau deE. 2. Soitppremier. On note

Qp=1

p(1−X^p−(1−X)^p) Montrer queQpest dans A.

3. Majorer

1 p−Q_p

_∞.

4. Montrer queA est dense dansE.

5. Est-ce-queAest dense dans EsiI= [0,1]? Indications

2. pdivise ^p_ksi1≤k≤p−1. 3.

1 p −Qp

∞≤¹_p(b^p+ (1−a)^p).

4. D'après le théorème de Weierstrass, il sut de montrer que A contient les fonctions poly- nomiales. Comme c'est un anneau qui contient les monômes, il sut de montrer qu'il contient les constantes.

Soitλ∈R. On montre d'abord que limp

bλpc p =λ et ensuite

limp bλpc.Qp=λ

6 Le deuxième théorème de Dini

SoitS = [a, b]un segment. Soit(fn)une suite de fonctions à valeurs réelles, croissantes sur S, qui converge simplement vers une fonctionf continue surS.

Montrer que la convergence est uniforme.

Etudier le cas oùS est un intervalle quelconque.

3

7 g

(x) = f (ux + v)

Soitf ∈C^∞(R,R). SoitE le sous-espace engendré par lesgu,v. SoitS un segment non trivial.

Montrer quef n'est pas polynomiale si et seulement siE est dense dans C⁰(S,R),kk_∞.

8 kf

k

≤ M

SoitS un segment et(fn)une suite de fonctions de classeC² surS. On suppose que : -(fn)converge simplement sur S vers une fonctionf.

-∃M >0,∀n≥0,kf_n⁰⁰k_∞≤M. Que conclure ?

Indications

Soit(h_k)une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0. Soita∈S. f⁰(a) = lim

k

f(a+hk)−f(a) hk

= lim

k lim

n

fn(a+hk)−fn(a) hk

On applique le théorème de la double limite et on obtient que(f_n⁰ (a)) converge vers f⁰(a). On montre ensuite que cette convergence est uniforme surS.

Enn on montre que la convergence de(fn)est uniforme surS.

9 u

= 2

. P

k=0

(−1)

.f

SoitI= [0,1]etf ∈C⁰(I,R). Soitun = 2⁻ⁿ.Pn

k=0(−1)^{k n}_k .f ^k_n Montrer que(un)converge vers 0. .

Indications

Etudier le cas oùf est polynomiale.

10 Vers le théorème de convergence dominée

SoitS un segment, et(f_n)une suite décroissante de fonctions en escalier qui converge simplement vers 0 surS.

Montrer sans le théorème de convergence dominée que ´

Sfntend vers 0.

Indications

Fixerε >0, et montrer l'existence de g_n continue surS telle que -0≤g_n≤f_n

-´

Sf_n−g_n≤ ₂^εn

Ensuite appliquer le théorème de Dini à(h_n)où

h_n = min (g₀, ..., g_n)

11 Continuité de la limite

(f_n), (g_n)sont deux suites de fonctions continues de A dansR. hest une fonction de A dansR.

On suppose que

-(f_n)et (g_n)convergent simplement versh -∀n≥0, fn≤h≤gn

Montrer quehest continue.

4