3.20 Théorème de Riesz-Fischer
Références : H. Brézis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1999, W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 1998.
Leçons concernées : 201, 205, 208, 234, 241, 262.
Théorème 1. Soit pX, A, µq un espace mesuré. Pour 1 § p § `8, l’espace pLppµq, ||.|| pq
est complet.
Démonstration. Cas 1 : on commence par considérer le cas p “ `8 : soit pfnqn une suite
de Cauchy dans L8pµq. Soit k P N˚, par définition il existe N
k • 1 tel que pour tout
m, n• Nk,
||fn´ fm||8§ k1.
Ainsi, il existe un ensemble de mesure nulle Ek tel que pour tout m, n • Nk et pour tout
xP XzEk,
|fnpxq ´ fmpxq| § 1
k.
On pose alors E “îkPN˚Ekqui est de mesure nulle, et on obtient que pour tout x P XzE,
pour tout k P N˚, il existe N
k• 0 tel que pour tout m, n • Nk,
|fnpxq ´ fmpxq| §
1
k (1)
c’est-à-dire que pfnpxqqn est de Cauchy dans R. Par complétude de R, cette suite admet
une limite fpxq, et on peut donc construire la fonction f définie presque partout (on la prolonge par 0 sur E). En passant à la limite en m dans l’équation (1) on obtient que pour tout x P XzE, pour tout k P N˚, il existe N
k • 0 tel que pour tout n • Nk,
|fpxq ´ fnpxq| §
1 k, c’est-à-dire que pour tout k P N˚, il existe N
k• 0 tel que pour tout n • Nk,
||f ´ fn||8§ k1,
et donc f P L8 par inégalité triangulaire, et pfnqn converge vers f dans L8.
Cas 2 : soit maintenant 1 § p † `8 et pfnqn une suite de Cauchy dans Lppµq. Il existe
une suite extraite pfnkqk telle que
@k • 1, ||fnk`1´ fnk||p§
1 2k.
On pose alors gn“ n ÿ k“1 ˇ ˇfnk`1´ fnk ˇ ˇ et g “ ÿ k•1 ˇ ˇfnk`1´ fnk ˇ ˇ.
L’inégalité de Minkowski montre que pour n • 1, ||gn||p § 1 et le lemme de Fatou appliqué
à pgp
nqn nous donne ||g||p § 1. Ainsi, en particulier, |g| † `8 presque partout de sorte que
pour presque tout x P R, la série fn1pxq ` ÿ k•1 ` fnk`1pxq ´ fnkpxq ˘
converge absolument dans R complet, donc converge vers fpxq P R. On note f la fonction ainsi obtenue (prolongée par 0 sur un ensemble de mesure nulle). On remarque que fn1 `
∞n
k“1pfnk`1 ´ fnkq “ fn`1 et donc pfnkqk converge presque partout vers f. On montre
alors la convergence dans Lp. Soit " ° 0, par hypothèse il existe N • 0 tel que pour tout
n, m• N, ||fn´ fm||p § ". Alors, grâce au lemme de Fatou, pour tout m • N,
ª X|f ´ fm| pdµ“ª X lim inf kÑ`8|fnk´ fm| pdµ§ lim inf kÑ`8 ª X|fnk´ fm| pdµ§ "p
et donc f ´ fm P Lp de sorte que f P Lp et d’autre part ||f ´ fm||p § " et donc pfnqn
converge vers f dans Lp.
Corollaire 2. Soit 1 § p § `8, et soit pfnqn une suite convergente dans Lppµq vers f.
Alors il existe une sous-suite pfnkqk de pfnqn qui converge presque sûrement vers f.
Démonstration. Une suite convergente est de Cauchy, et dans la preuve précédente, dans chacun des deux cas, on obtient une sous-suite qui converge presque partout.
