Estimation haute-résolution de la position de cibles en mouvement à partir du suivi du sous-espace sources et d'un estimateur statistique de 2e ordre

Estimation haute-résolution de la position de cibles en

mouvement à partir du suivi du sous-espace sources et

d'un estimateur statistique de 2e ordre

Mémoire

Marc-André Isabel

Maîtrise en génie électrique - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Estimation haute-résolution de la position de

cibles en mouvement à partir du suivi du sous-espace

sources et d’un estimateur statistique de 2e ordre

Mémoire

Marc-André Isabel

Sous la direction de:

Résumé

En 1995, la technologie LIDAR fait émergence en télédétection et entraîne avec elle une nou-velle forme de concurrence dans un domaine jusqu'alors dominé par les systèmes RADAR. Contrairement à ces derniers, l'émetteur d'un LIDAR opère à des fréquences au-delà des ondes radios, habituellement dans l'infrarouge, ce qui fait qu'une détection non cohérente doit être employée et que seule l'enveloppe des signaux est récupérée, formant ainsi des signaux réels. Alors que de multiples algorithmes ont été développés au l des années pour faire le traitement des signaux captés par l'antenne-réseau d'un RADAR, aucun n'était reconnu jusqu'à présent comme étant particulièrement performant lorsque utilisé avec des signaux réels.

En 2015, dans le cadre d'un projet de recherche visant à améliorer la distance et la précision de la détection des objets à l'aide d'un LIDAR, une adaptation [1] du très populaire algorithme MUSIC développé par Schmidt fut réalisée an de pouvoir l'utiliser selon le principe du temps de vol plutôt que pour les directions d'arrivée. Cette adaptation ouvrit la voie à l'utilisation d'algorithmes statistiques, à l'origine conçus pour les signaux avec information de phase, pour des signaux réels. Malheureusement, l'application directe de ces algorithmes requiert un temps d'exécution considérable et ce, en particulier lors de la formation, du traitement et de la décomposition propre de la matrice Re_XX. Par conséquent, des optimisations doivent être considérées pour être en mesure d'en faire l'implantation dans du matériel à faible coût lorsqu'il est question d'opération en temps réel.

Parmi ces optimisations, c'est l'utilisation de méthodes de suivi fondées sur la notion de sous-espace qui fait l'objet de cet ouvrage. Ces algorithmes reposent sur l'idée qu'il est possible d'oublier, de façon graduelle, les données du passé au prot des nouvelles données sans avoir à passer par la formation de la matrice Re_XX à chaque fois. Ainsi, les résultats démontrent qu'une réduction de 25% à 95% du temps d'exécution est possible dans un contexte d'utilisation conjointe, mais moins fréquente, avec une méthode à complexité algorithmique plus élevée. Par ailleurs, les résultats des essais réalisés par [1] ne couvrent que les cibles stationnaires. Par conséquent, ce projet vise à étendre cette étude aux cibles en mouvement. Les résultats obtenus permettent de démontrer l'ecacité des méthodes de suivi du sous-espace pour de tels cas.

Abstract

In 1995, LIDAR systems emerged as a new alternative to the well-known RADAR systems for remote sensing applications. However, unlike RADAR, the operating frequency of LI-DAR systems is above the radio frequencies and usually in the infrared which means that a non-coherent detection has to be used to retrieve the signal's enveloppe. While several signal processing algorithms have been developped for RADAR phased arrays, none of these algorithms are known, to this day, to be ecient when dealing with real, phaseless signals. In 2015, as part of a research project to enhance the detection precision and maximal distance of a LIDAR system, an adaptation [1] of the so-called MUSIC algorithm developped by Schmidt was realised to be used with the time-of-ight principle instead of the direction of arrival principle. Unfortunately, the direct application of the adapted algorithm was time consuming, especially the creation, processing and eigendecomposition stages of the Re_XX matrix. As so, optimizations are required to allow its implementation into a low-cost system for real-time purposes.

Among those optimizations, the use of subspace tracking methods will be studied in this thesis. Subspace tracking algorithms are based on the idea that instead of having to create Re_XX at each data update, one can use the known data while adding the new data with a forgetting factor. The result of these optimizations is that a decrease of 25% to 95% in execution time is observed when subspace tracking is used together with a higher complexity method to initialize its parameters.

The study realised by [1] was mostly done for stationary objects. This thesis aims to extend that study to non stationary objects. Results show that using subspace tracking methods is even more ecient in these cases.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux viii

Liste des gures ix

Liste des acronymes xii

Notation mathématique xiii

Liste des symboles xiv

Remerciements xviii

Introduction 1

1 Modèle des signaux et schéma de détection 3

1.1 Notions mathématiques préliminaires . . . 3

1.2 Modèle des signaux . . . 7

1.2.1 Paramètres des signaux utilisés dans le cadre du mémoire . . . 8

1.3 Schéma de détection . . . 10

1.3.1 Paramètres du schéma de détection utilisés dans le cadre du mémoire 13 1.4 Conclusion . . . 14

2 État de l'art 15 2.1 Méthode directe . . . 15

2.1.1 Traitement de la corrélation . . . 16

2.1.2 Obtention de la première instance du sous-espace sources . . . 18

2.1.3 Fenêtrage des données . . . 20

2.1.4 Résumé de la méthode directe. . . 21

2.2 Un estimateur statistique de 2e ordre haute-résolution adapté pour le prin-cipe des délais d'arrivée . . . 22

2.3 Suivi du sous-espace sources . . . 25

2.3.1 Suivi complet de la structure propre . . . 26

2.3.1.2 PROTEUS . . . 29

2.3.1.3 Autres méthodes de suivi complet de la structure propre . 34 2.3.1.4 Récapitulatif des méthodes de suivi complet du sous-espace sources . . . 34

2.3.2 Suivi partiel de la structure propre . . . 35

2.3.2.1 Data Projection Method (DPM) et Fast-DPM (FDPM) . . 36

2.3.2.2 Projection Approximation Subspace Tracking (PAST) . . . 38

2.3.2.3 Approximated Power Iteration (API) et Fast-API (FAPI) . 39 2.3.2.4 Autres algorithmes de mise à jour partielle . . . 42

2.3.2.5 Récapitulatif des méthodes de suivi partiel du sous-espace sources . . . 42

2.4 Estimation des performances . . . 42

2.5 Conclusion . . . 45

3 Détection d'échos réels et non stationnaires 47 3.1 Suivi d'un écho en mouvement . . . 47

3.1.1 Étude de l'innovation . . . 47

3.1.2 Limitation de la méthode directe . . . 50

3.1.3 Méthodes dérivées . . . 51

3.1.3.1 Modication de la DPM pour changer le type d'innovation 52 3.1.3.2 Modication à l'algorithme PAST . . . 52

3.1.3.3 DPM traitée . . . 52

3.2 Orthogonalité et corrélation . . . 53

3.2.1 Injection graduelle de la corrélation dans le sous-espace sources initial 54 3.2.2 Utilisation du suivi du sous-espace sources sans tenir compte de la corrélation. . . 56

3.2.3 Traitements pour éliminer la corrélation . . . 58

3.2.3.1 Lissage spatial des données . . . 58

3.2.3.2 Fenêtrage du sous-espace sources . . . 61

3.2.3.3 Fenêtrage optimisé . . . 65

3.2.3.4 Modication du fenêtrage optimisé pour tenir compte des valeurs propres . . . 68

3.2.3.5 Résumé des algorithmes anti-corrélation . . . 69

3.2.4 Simulations et résultats . . . 70

3.2.5 Conclusion sur les méthodes de traitement de la corrélation . . . 78

3.3 Stratégies pour réduire les fausses détections . . . 78

3.3.1 Analyse de l'apparition des faux positifs . . . 79

3.3.1.1 Apparition de résidus dans les vecteurs propres . . . 80

3.3.2 Élimination des faux positifs lors du suivi du sous-espace sources . . 83

3.3.3 Conclusion sur l'analyse des fausses détections . . . 85

3.4 Conclusion . . . 86

4 Essais pour établir les performances 89 4.1 Critères de performance . . . 89

4.2 Essais préliminaires . . . 90

4.2.1 Performances en fonction de la vitesse et du SNR . . . 91

4.2.2 Performances lors d'un croisement . . . 94

4.2.4 Conclusion sur les essais préliminaires . . . 98

4.3 Essais sur des données provenant d'un système LIDAR . . . 99

4.3.1 Essais à diérentes vitesses . . . 100

4.3.2 Essais de croisement . . . 104

4.4 Conclusion . . . 106

Conclusion 108 Travaux futurs . . . 110

A Variation des facteurs d'oubli 112 A.1 Variation du facteur d'oubli µ . . . 112

A.2 Variation du facteur d'oubli du fenêtrage µF . . . 112

B Génération des signaux 116

C Analyse du traitement de la matrice de corrélation avec une forme

rectangulaire 119

D Résultats complets des essais préliminaires du chapitre 4 121

Liste des tableaux

1.1 Les diérentes valeurs des paramètres des signaux. . . 9

1.2 Eet de la variation de la fréquence ftramesur la vitesse relative (fs=400 MHz) 13 1.3 Les diérentes valeurs des paramètres du schéma de détection . . . 14

2.1 Algorithme de la modulation par matrice modèle . . . 18

2.2 Utilisation de la méthode directe pour toute une séquence . . . 22

2.3 Tableau récapitulatif de l'algorithme Karasalo . . . 34

2.4 Tableau récapitulatif des algorithmes PROTEUS et PROTEUS-2 . . . 35

2.5 Tableau récapitulatif des algorithmes DPM et FDPM. . . 42

2.6 Tableau récapitulatif des algorithmes PAST et PASTd . . . 43

2.7 Tableau récapitulatif des algorithmes API et FAPI . . . 43

3.1 Choix de la valeur de LRXX en fonction de la vitesse et du SNR d'un écho . . . 51

3.2 Algorithme de la DPM avec ajout de l'innovation de Karasalo . . . 52

3.3 Algorithme PAST modié . . . 53

3.4 Résumé de l'algorithme du lissage spatial adapté aux signaux sans information de phase . . . 62

3.5 Résumé de l'algorithme du fenêtrage rectangulaire . . . 65

3.6 Résumé de l'algorithme du fenêtrage optimisé . . . 68

3.7 Approximation d'une valeur propre lorsque le vecteur propre fenêtré est utilisé (M = 1) . . . 70

3.8 Résumé des méthodes anti-corrélation . . . 70

3.9 Code de couleurs associé à la mesure de l'erreur relative par rapport à la mé-thode directe sur la position estimée . . . 76

3.10 Les cinq premières valeurs propres déduites par la méthode à complexité élevée en début de séquence (M = 1) . . . 84

4.1 Indices de performance (voir tableau 3.9) pour toutes les combinaisons de mé-thodes . . . 99

Liste des gures

1.1 Ellipse formée par les vecteurs propres . . . 6

1.2 La même trame à diérents SNR (M = 4) . . . 9

1.3 Schéma de détection . . . 10

1.4 Caractéristiques du capteur . . . 11

1.5 Séquençage lié au schéma de détection . . . 12

2.1 Exemple de matrice Re_XX (N = 512) . . . 17

2.2 Traitement par matrice modèle de Re_XX . . . 18

2.3 Incidence d'un front d'onde plan sur une antenne-réseau (conguration linéaire) 22 2.4 Exemple de vecteurs d'analyse de la matrice Aτ (N = 512) . . . 24

2.5 Gabarit utilisé pour mesurer le temps d'exécution . . . 45

3.1 Innovation de type xk− xk−1 introduite par le mouvement de l'écho . . . 48

3.2 Mécanisme d'ajout de l'innovation associée à Karasalo . . . 49

3.3 Les deux types d'innovation . . . 50

3.4 Eet de l'orthogonalisation sur des sources corrélées . . . 55

3.5 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre sans traitement anti-corrélation 57 3.6 Essais de performance associés au critère de croisement. . . 58

3.7 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre sans traitement anti-corrélation pour un essai de croisement . . . 59

3.8 Transformation du sous-espace sources pour le lissage spatial (M = 2) . . . 61

3.9 Transformation requise par MUSIC pour le lissage spatial . . . 62

3.10 Illustration du processus de fenêtrage des vecteurs propres de Espar W (rouge) pour formerEe_s . . . 64

3.11 Perte d'information à l'instant k du au mauvais alignement de la fenêtre . . . . 65

3.12 Formation de Er à partir de Es (M = 2) . . . 67

3.13 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le lissage spatial. . . . 71

3.14 Eet de l'utilisation de l'algorithme de la DPM modiée . . . 71

3.15 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage rectangulaire 72 3.16 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage optimisé . 73 3.17 Eet de l'utilisation de la DPM modiée pour l'essai de chevauchement . . . . 74

3.18 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage rectangu-laire pour l'essai de chevauchement . . . 75

3.19 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage optimisé pour l'essai de chevauchement . . . 75

3.20 Résultats des essais de perturbation (erreur sur la position normalisée, en %, par rapport à la même méthode mais sans traitement de corrélation) . . . 76

3.21 Résultat des essais de variation du nombre d'échos (M) . . . 77

3.22 Les trois cas où l'estimation du nombre d'échos devient complexe . . . 79

3.23 Exemple de résultat de la décomposition propre d'une matrice Re_XX traitée . . 80

3.24 Exemple de résultat de la décomposition propre d'une matrice Re_XX sans trai-tement . . . 81

3.25 Diérence avec la décomposition en valeurs propres avec et sans traitement de e RXX (bleu = vecteur de Es, rouge = vecteurs de En) . . . 82

3.26 Comparaison des pseudospectres lorsque les vecteurs propres de Ensont utilisés ou non . . . 83

3.27 Les deux stratégies pour faire l'élimination des faux positifs . . . 85

3.28 Élimination des faux positifs (SNR = 20 dB) pour une séquence en utilisant la stratégie 1 (carré vert = position réelle, astérisque rouge = position estimée par méthode directe, point bleu = position estimée par Karasalo) . . . 86

3.29 Élimination des faux positifs (SNR = 5 dB) pour une séquence en utilisant la stratégie 2 (vert = position réelle, rouge = position estimée par méthode directe, bleu = position estimée par Karasalo) . . . 87

4.1 Résultats de l'essai en vitesse avec la méthode directe . . . 92

4.2 Essais préliminaires en vitesse des variantes de l'algorithme DPM (Erreur %) . 93 4.3 Erreur relative à la méthode directe (%) - Fenêtre optimisée . . . 93

4.4 Erreur relative à la méthode directe (%) . . . 94

4.5 Résultats de l'essai de croisement avec la méthode directe . . . 95

4.6 Erreur relative à la méthode directe (%) - Fenêtre optimisée . . . 96

4.7 Erreur relative à la méthode directe (%) - Fenêtre optimisée . . . 96

4.8 Erreur relative à la méthode directe (%) . . . 97

4.9 Erreur sur l'estimation de la position par MUSIC en pourcentage par rapport à celle obtenue avec la méthode directe. . . 98

4.10 Résultats de l'essai 1 avec la méthode directe . . . 101

4.11 Résultats de l'essai 2 avec la méthode directe . . . 101

4.12 Résultats de l'essai 1 . . . 102

4.13 Résultats de l'essai 2 . . . 103

4.14 Résultats de l'essai de croisement avec la méthode directe . . . 104

4.15 Résultats de l'essai de croisement . . . 105

A.1 Variation de µ à SNR de 15 dB . . . 113

A.2 Variation de µ à SNR de 5 dB. . . 114

A.3 Résultat des essais de vitesse . . . 115

B.1 Trame idéale suite à l'étape 1 . . . 117

B.2 Trame idéale suite à l'étape 2 (SNR = 5 dB) . . . 118

C.1 Pseudospectres pour une fenêtre rectangulaire de diérentes longueurs . . . 120

D.1 Résultats de l'essai en vitesse avec la méthode directe (Erreur cm) . . . 121

D.2 Fenêtre Rectangulaire et essais en vitesse (Erreur %) . . . 122

D.3 Fenêtre Optimisée et essais en vitesse (Erreur %) . . . 123

D.4 DPM traitée et essais en vitesse (Erreur %) . . . 124

D.5 Résultats de l'essai de croisement avec la méthode directe (Erreur cm) . . . 125

D.7 Fenêtre Optimisée et essais de croisement (Erreur %) . . . 127 D.8 DPM traitée et essais de croisement (Erreur %) . . . 128

Liste des acronymes

- API : Approximated Power Iterations - DPM : Data Projection Method

- FAPI : Fast Approximated Power Iterations - FDPM : Fast Data Projection Method - LIDAR : LIght Detection And Ranging - MAC : Multiply-ACcumulate

- MALASE : MAximum Likelihood Adaptive Subspace Estimation - MUSIC : MUltiple SIgnal Classication

- OPERA : OPEration Restriction Analysis

- PAST : Projection Approximation Subspace Tracking

- PASTd : Projection Approximation Subspace Tracking with deation - PROTEUS : Plane ROTation Eigendecomposition Update Scheme - RADAR : RAdio Direction And Ranging

- RLS : Recursive Least Squares - SNR : Signal-to-Noise Ratio

- SONAR : SOund Navigation And Ranging - SU : Subpace Update

Notation mathématique

- A : Matrice dont chaque colonne est un vecteur - a : Vecteur colonne

- AH _{: Hermitienne de A (transposée et conjugée)}

- AT _{: Matrice transposée de A}

- A−T _{: Matrice inverse puis transposée de A}

- |A| ou |a| : Valeur absolue de la matrice A ou du vecteur a - kAk ou kak : Norme euclidienne de la matrice A ou du vecteur a - det(A) : Déterminant de la matrice A

- diag(A) : Vecteur généré à partir de la diagonale principale de la matrice A

- diag(a0, a1, . . . , an) : Matrice diagonale dont les éléments de la diagonale sont entre les

parenthèses

- rg(A) : Rang de la matrice A - tr(A) : Trace de la matrice A

Liste des symboles

Symbole Dimension Unité Description

α - - Facteur d'oubli lié à la méthode PROTEUS

β - - Norme du vecteur associé au sous-espace bruit

δλ - - Mise à jour de la valeur propre λ entre les itérations

k − 1 et k

t - échantillon Erreur de position moyenne pour un essai

m (Q, 1) - Vecteur qui contient l'erreur de position moyenne à

chaque instant

γ (M, 1) - Vecteur contenant l'amplitude de chaque écho des

objets sur la scène

φ - rad Angle de rotation utilisé pour la matrice de Givens

Φ (M + 1, M + 1) - Matrice des angles de rotation pour PROTEUS

Λ (N, N ) - Valeurs propres complètes

Λr (M, M ) - Valeurs propres associées à la matrice Er pour le

fenêtrage optimisé

Λs (M, M ) - Valeurs propres associées aux sources

ΛM +1 (M + 1, M + 1) - Matrice des valeurs propres en dimension M + 1

Λn (N − M, N − M ) - Valeurs propres associées au bruit

µ - - Facteur d'oubli associé au fenêtrage exponentiel des

méthodes de suivi du sous-espace sources

ν - - Pas de la descente du gradient utilisé par

l'algo-rithme DPM

ν - - Vecteur de pas associé à la descente du gradient

τ - échantillon Délai d'arrivée

θ - rad Angle de balayage d'un réseau linéaire en traitement

d'antenne-réseau classique

σ2 - - Niveau du bruit

υ - rad Angle de rotation utilisé par l'algorithme

Symbole Dimension Unité Description

ω - rad Angle de rotation utilisé par l'algorithme

PROTEUS-2

Ω (M, M ) - Matrice d'orthogonalité entre Es,k−1 et Es,k

ξ (M, 1) - Projection du vecteur de données compressées y sur

la matrice Z

ψ - - Écart-type d'un écho de forme gaussienne

Aθ (N, nθ) - Matrice des vecteurs de balayage associés aux

direc-tions d'arrivée sur un réseau linéaire

Aτ (N, N ) - Matrice des vecteurs de balayage associés aux délais

d'arrivés du modèle du signal émis

b (N, 1) - Vecteur de bruit blanc

bRM S - - Valeur RMS du bruit

c - m_s Vitesse de la lumière dans le vide

da - m Distance entre les antennes dans un réseau linéaire

de - - Distance euclidienne entre le sous-espace sources et

un vecteur de balayage de la matrice Aθ

E (N, N ) - Espace vectoriel propre complet

Er (nF, M ) - Sous-espace sources fenêtré utilisé par la fenêtre

op-timisée

Es (N, M ) - Sous-espace vectoriel composé des vecteurs propres

associés aux sources (sous-espace sources)

Esl (mg, g) - Sous-espace sources lissé

e

Es (N, M ) - Sous-espace sources fenêtré utilisé par la fenêtre

rec-tangulaire

esi (N, 1) - Vecteur propre i du sous-espace sources

Ei (N, M + 1) - Sous-espace vectoriel composé des vecteurs propres

associés aux sources auquel on incrémente un vec-teur propre associé au sous-espace bruit

EM +1 (M + 1, M + 1) - Sous-espace sources en dimension réduite

incré-menté d'un vecteur propre associé au bruit

EN N (N, M ) - Sous-espace sources orthogonal non normalisé

En (N, N − M ) - Sous-espace vectoriel composé des vecteurs propres

associés au bruit

fseq - Hz Fréquence à laquelle la séquence du schéma de

dé-tection est répétée

fs - Hz Fréquence d'acquisition des échantillons lors de la

formation d'une trame

Symbole Dimension Unité Description

g - - Nombre de sous-groupes utilisés par la méthode du

lissage spatial

g (M, 1) - Vecteur utilisé par les algorithmes API/FAPI

Gij (M + 1, M + 1) - Matrice de rotation de Givens

H (N, N ) - Matrice de Householder

hmax - m Portée maximale du système

JDP M - - Fonction à minimiser de l'algorithme DPM

JP AST - - Fonction à minimiser de l'algorithme PAST

K - - Nombre de trames dans la matrice des signaux reçus

X

L - - Longueur eective de la fenêtre exponentielle ou

lon-gueur de la fenêtre rectangulaire

LRxx - - Nombre de trames utilisées pour la méthode directe

lors d'une séquence

LSU - - Nombre de trames utilisées pour le suivi du

sous-espace sources lors d'une séquence

mg - échantillon Taille de chaque sous-groupe lors de l'utilisation du

lissage spatial

mλ - - Multiplicité de la valeur propre λ

M - - Nombre d'échos distincts arrivant sur le capteur et

provenant de la scène c

M - - Estimation du nombre d'échos distincts arrivant sur

le capteur et provenant de la scène

N - échantillon Nombre d'échantillons dans une trame

nF - échantillon Taille de la fenêtre anti-corrélation

nmod - échantillon Quantité d'échantillon formant la largeur d'un écho

tronqué

nθ - - Nombre de vecteurs de balayage dans la matrice Aθ

OD (M, M ) - Matrice d'orthonormalisation formée à partir de la

matrice de Householder

OF (M, M ) - Matrice d'orthonormalisation utilisée pour

l'algo-rithme FAPI

p (M, 1) - Vecteur contenant les positions estimées grâce à l'al-gorithme MUSIC

p_s (Q, 1) - Vecteur pseudospectre formé suite à l'exécution de

MUSIC

p_F (M, 1) - Vecteur contenant la position de chaque fenêtre à

Symbole Dimension Unité Description

p_ideal (Q, 1) - Vecteur qui contient la position réelle des objets

dans la scène

Pn (N, N ) - Projecteur de l'espace bruit

Ps (N, N ) - Projecteur de l'espace source

Q - trame Nombre de trames utilisées pour un essai donné

rsys - m Résolution du système d'acquisition

Si - - Représentation d'un problème par l'approche de la

théorie des perturbations

RM +1 (M + 1, M + 1) - Matrice de corrélation approximée de dimensions

ré-duites

RXX (N, N ) - Matrice de corrélation idéale des signaux reçus

e

RXX (N, N ) - Matrice de corrélation approximée des signaux reçus

e

RXX,l (N, N ) - Matrice de corrélation approximée et lissée

RXY (N, M ) - Matrice de corrélation entre la trame x et le vecteur

des données compressées y

RY Y (N, M ) - Matrice de corrélation compressée

RM odele (N, N ) - Matrice avec le modèle des échos sur chaque

anti-diagonale

Ttrame - s Temps écoulé entre la réception de deux trames

u (N, 1) - Projection de la trame x dans le sous-espace bruit

Us (N, M ) - Sous-espace sources non-orthogonal

vcs - m_s Vitesse des cibles sur la scène

vct - echantillons_trame Vitesse des cibles dans une trame

VN −M (N − M, N − M ) - Matrice où seul le premier élément est non nul de

façon à sphéricalisé le sous-espace bruit

W (N, M ) - Matrice de fenêtrage

x (N, 1) - Une trame de données

X (N, K) - Matrice des signaux reçus

y (M, 1) - Vecteur de compression des données

z (N, 1) - Projection de la trame entrante sur l'espace propre

Z (M, M ) - Matrice intermédiaire utilisée pour les algorithmes

Remerciements

Je tiens d'abord à remercier chaleureusement mon directeur de recherche, le professeur Dominic Grenier, pour ses précieux conseils qui ont été vitaux à la réalisation de ce projet et sans lesquels cet ouvrage n'aurait jamais vu le jour. Merci pour votre dévouement et votre patience face à mes nombreuses questions. Je tiens également à remercier ma collègue Alexia pour tous ses conseils et son appui pendant toute la durée de ce projet. À cela, je tiens à ajouter ma gratitude envers tous les membres de mon groupe de recherche qui ont directement ou indirectement contribué à la réalisation de cet ouvrage. Je pense en particulier à Vincent qui a procédé à l'enregistrement des données provenant des essais avec le système LIDAR et à Éric pour ses précieux conseils sur le contexte d'utilisation des algorithmes.

J'aimerais ensuite remercier ma mère, envers qui j'ai énormément d'admiration, pour tout ce qu'elle me donne au quotidien sans jamais s'attendre à rien en retour. Également, un grand merci à mon père pour m'avoir apporté son soutien et pour m'avoir transmis le désir du savoir. J'ajoute à cela un grand merci à tous les membres de ma famille et de ma belle-famille qui ont su m'apporter leur soutien durant mon parcours universitaire. Je pense notamment à Mario, avec qui je prends continuellement plaisir à entretenir d'enrichissantes discussions sur la science et la science-ction, et à Hélène, pour son immanquable hospitalité et compagnie, l'un et l'autre toujours appréciés. Enn, je tiens à remercier mon ami de longue date David (ou plutôt Dav), pour son soutien inébranlable à la réalisation de ce projet et, plus généralement, à pratiquement tous mes projets. D'ailleurs, j'ai bien l'intention de continuer à remplir ton agenda avec bien des projets. Je veux également remercier pour leur soutien moral mes deux confrères du baccalauréat, Ludovic et Jasmin, avec qui j'ai traversé bien des épreuves. Finalement, mes plus sincères remerciements à la personne la plus intelligente du monde, ma belle Odélie, pour son soutien à tous les niveaux. Alors que la vie t'avait réservé bien des embûches cette année, tu as su les traverser la tête haute et en sortir vainqueur. Depuis que je te connais, tu as toujours su te poser pour moi comme un modèle de persévérance et d'excellence. Tu es unique et sache qu'une personne comme toi, c'est ce qu'il y a de plus précieux au monde.

Introduction

Les systèmes de type RADAR (de l'anglais RAdio Direction And Ranging) ont pendant long-temps été la seule option dans le domaine de la télédétection. Cette technologie repose sur le fait qu'une onde radio va subir une réexion1 _{lorsqu'elle rencontre un objet solide qui se trouve}

dans sa direction de propagation et qu'une portion de l'onde rééchie (ou écho) va revenir en direction de l'émetteur. Le temps écoulé entre l'émission du signal et le retour de l'écho (le délai d'arrivée) permet de déterminer la distance entre l'objet et l'émetteur. Contrairement au SONAR (de l'anglais SOund Navigation And Ranging) qui est davantage développé pour les applications maritimes2 _{et qui repose sur l'utilisation des ondes mécaniques, la portée à}

laquelle un RADAR peut détecter des objets dans l'atmosphère est très élevée de par son uti-lisation des ondes électromagnétiques (et en particulier les ondes radios). En 1995, l'utiuti-lisation de la portion du spectre électromagnétique au delà des ondes radios (dans l'infrarouge) fait une émergence commerciale3_{. Cette nouvelle technologie, baptisée LIDAR (de l'anglais LIght}

Detection And Ranging), repose sur les mêmes principes que le RADAR4 _{à l'exception que la}

porteuse est cette fois à très haute fréquence ce qui fait qu'une détection non cohérente doit être utilisée et que seule l'enveloppe des échos est récupérée, formant des signaux réels (sans information de phase).

Plusieurs algorithmes de traitement du signal ont été développé au l du temps pour traiter les signaux reçus par l'antenne-réseau d'un RADAR et déduire leur direction d'arrivée ainsi que la distance à laquelle la réexion a eu lieu. Parmi ces algorithmes, l'estimateur à haute-résolution MUSIC (de l'anglais MUltiple SIgnal Classication) développé par Schmidt est sans doute l'un des plus connus. Cette méthode repose sur l'emploi du concept d'orthogonalité entre deux sous-espaces vectoriels pour établir si un vecteur de données contient de l'information utile provenant d'une réexion ou s'il ne contient que du bruit. En 2015, une adaptation [1]

1. Une réexion diuse est souhaitable par rapport à une réexion spéculaire puisque, pour la première, le signal rééchi est pratiquement omnidirectionnel alors que, pour la seconde, le signal rééchi est très directionnel et pas forcément orienté dans la direction de l'émetteur. Il s'agit là de l'un des principes utilisés pour être invisible à la détection par un RADAR.

2. Le RADAR est aveugle dans l'eau de par l'eet d'atténuation des ondes électromagnétiques dans un conducteur.

3. Cette technologie existait bien avant mais était réservée pour le domaine militaire.

4. Les technologiques RADAR et LIDAR sont souvent considérées comme étant complémentaires, chacune ayant ses forces et ses faiblesses par rapport à l'autre.

de cet algorithme a été réalisée dans le cadre d'un projet de recherche qui visait à améliorer la portée et la précision de détection d'un système LIDAR. Cette adaptation s'est avérée un succès, procurant un gain considérable sur les algorithmes utilisés jusqu'à présent avec des signaux réels.

Malheureusement, bien que la précision soit au rendez-vous, les calculs requis pour y arriver sont lourds. De plus, bien que cette adaptation soit très fonctionnelle pour les cibles station-naires, les résultats deviennent moins précis pour les cibles en mouvement. Avec comme in-tention d'apporter réponse à ces problématiques, l'objectif principal de cet ouvrage est l'étude de méthodes de suivi du sous-espace sources dont le but est de diminuer le temps requis pour l'utilisation de l'algorithme MUSIC adapté. Ces méthodes reposent sur l'idée qu'il est possible de réduire le temps de traitement lors de l'ajout de nouvelles données en évitant le passage systématique par la matrice de corrélation des signaux Re_XX et en travaillant plutôt directe-ment avec le résultat de sa décomposition propre. Leur utilisation doit égaledirecte-ment permettre d'étendre les propriétés intéressantes de MUSIC pour des objets en mouvement alors que la méthode développée jusqu'à présent n'est pas adaptée pour ce genre de situations. En outre, les algorithmes développés doivent pouvoir fournir une bonne estimation de la position en pré-sence de bruit d'amplitude variable ou dans des contextes où les objets sont très rapprochés (ce qui rend plus complexe leur discernement). Enn, la présence de faux positifs étant inhérente à un système opérant dans le monde réel, les algorithmes doivent être en mesure d'y faire face sans que cela n'aecte l'estimation de la position des objets qui se trouvent véritablement devant le LIDAR.

Le chapitre 1 débute avec la révision de certaines notions mathématiques utiles à la bonne compréhension des algorithmes qui seront étudiés lors des chapitres suivants. Par la suite, le modèle utilisé pour les signaux et le schéma de détection sont présentés. Le chapitre 2se veut une revue de la littérature des diérents algorithmes qui ont été conçus jusqu'à présent. La méthode qui doit être utilisée à titre de référence pour l'ensemble de l'ouvrage est d'abord présentée ainsi que l'adaptation de l'algorithme MUSIC. Ensuite, une revue de la littérature des méthodes de suivi du sous-espace sources est présentée. Le chapitre 3contient la plupart des contributions développées au cours de ce projet. Une analyse est d'abord réalisée an de déterminer pourquoi les algorithmes initialement conçus pour du traitement avec des signaux contenant une information de phase fonctionnent néanmoins avec des signaux réels. Par la suite, quelques méthodes sont développées pour prévenir le phénomène de corrélation. Enn, une analyse sur l'eet des faux positifs et quelques stratégies pour en réduire le nombre sont présentées. Finalement, le chapitre 4contient diérents essais pour établir la performance des algorithmes étudiés dans cet ouvrage. Les premiers essais sont réalisés en simulation alors que les derniers essais sont réalisés sur les données provenant d'un système physique de type LIDAR.

Chapitre 1

Modèle des signaux et schéma de

détection

Ce chapitre a comme objectifs la familiarisation avec les notions mathématiques qui sont utili-sées aux chapitres suivants, la présentation du modèle utilisé pour les signaux et la présentation du schéma de détection.

1.1 Notions mathématiques préliminaires

Les notions mathématiques utiles à la bonne compréhension de ce mémoire sont présentées ci-dessous. À noter que les symboles mathématiques utilisés dans cette section ne sont pas énumérés dans la table des symboles puisqu'ils ne servent qu'à la révision de concepts mathé-matiques utiles pour le lecteur, ils n'ont donc aucun lien avec ceux dénis dans le restant de l'ouvrage.

Espace et sous-espace vectoriels euclidiens : Un espace vectoriel euclidien A est une famille de vecteurs réels de dimensions nies munie d'un produit scalaire et qui respecte les 8 axiomes des lois internes et externes. Le produit scalaire entre deux vecteurs membres de A est donné par

ha₁, a2i = ka1k ka2k cos (θ) (1.1)

où θ est l'angle entre les vecteurs a1 et a2. Lorsque le résultat du produit scalaire est nul, les

deux vecteurs a1 et a2 sont orthogonaux.

Il est possible de former un sous-espace vectoriel euclidien B à partir des vecteurs de l'espace euclidien A si et seulement si toutes les lois qui s'appliquent à A s'appliquent également à B.

Base orthogonale et rang d'une matrice : La base orthogonale d'un espace vectoriel euclidien est dénie comme étant le sous-ensemble des vecteurs orthogonaux deux à deux. Si en plus d'être orthogonaux les vecteurs sont normés, la base est alors orthonormale. Le rang d'une matrice A est déni comme étant égal au nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants. Lorsque l'ensemble des vecteurs de la matrice sont linéairement indépendants, la matrice est dite de rang complet. À l'inverse, lorsque seulement certaines colonnes d'une matrice sont linéairement indépendantes, la matrice est dite de rang partiel. Le rang d'une matrice quelconque A est noté rg(A). À noter que l'orthogonalité est une condition plus forte que l'indépendance linéaire, par conséquent, une matrice orthogonale ou orthonormée a forcément des vecteurs linéairement indépendants.

Matrice semi-dénie positive : Une matrice réelle symétrique A de dimensions n est dite semi-dénie positive si la condition

bTAb ≥ 0 (1.2)

est respectée pour tout vecteur colonne non-nul b membre de <n_.

Décomposition propre : La décomposition en valeurs propres d'une matrice carrée1_Ade

dimension n est, de façon générale, dénie par

Av = λv (1.3)

où (v, λ) est un couplet vecteur/valeur propre. D'après l'équation (1.3), un vecteur propre v est un vecteur dont la direction demeure inchangée suite à la multiplication par la matrice A. En eet, seule l'amplitude de v est changée d'un facteur λ, soit la valeur propre. L'ensemble des couplets (vi, λi), i = 1, 2, .., nau problème posé par (1.3) peut être déduit en procédant n

fois à

det(A − λiI) = 0

(A − λiI)vi = 0

(1.4)

où l'opérateur det(A) est le déterminant de la matrice A. En admettant que la matrice A soit de rang complet, les vecteurs propres obtenus sont linéairement indépendants et les valeurs propres distinctes. Les équations (1.4) permettent ainsi de former une base pour A, soit l'espace vectoriel propre (Λ, V ). La matrice décomposée A peut être retrouvée à partir de l'expression2 1. À noter que contrairement à la décomposition en valeurs singulières, la décomposition propre nécessite une matrice carrée.

A = V ΛV−1 (1.5) où les vecteurs propres sont disposés sur chaque colonne de la matrice V et les valeurs propres sont disposées sur la diagonale principale de la matrice Λ tels que

V = [v1 v2 ... vn]

Λ =diag (λ1, λ2, . . . , λn)

(1.6)

Un cas particulier survient lorsque la matrice A à décomposer est réelle, symétrique et semi-dénie positive. En eet, l'équation (1.5) devient

A = V ΛVT (1.7)

et les valeurs propres de A sont supérieures ou égales à 0. La décomposition propre d'un système quelconque peut être représentée de façon graphique. Cette approche est utile pour faciliter la visualisation de certaines manipulations algorithmiques3_{. Pour simplier, soit le}

système en dimension 2 A = " 2 4 4 2 # (1.8)

dont la décomposition propre est illustrée sur la gure1.1. Les vecteurs propres (en rouge sur la gure) forment une ellipse. Plus généralement, les vecteurs propres d'une matrice symétrique forment une hyperellipsoïde dans l'espace de dimensions n.

Dégénérescence des valeurs propres En présence d'une matrice dont la décomposition propre résulte en des valeurs propres de multiplicité mλ > 1, le sous-espace formé par ces mλ

valeurs peut généralement être réduit (de l'anglais deated) an de diminuer la complexité4

d'un problème. Pour en faire la démonstration, voici un exemple avec une matrice symétrique de dimension 4. Soit la matrice

A =       10 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2       (1.9)

3. On fait référence, par exemple, à la rotation du sous-espace bruit de Karasalo présentée au chapitre2. 4. On fait référence à la complexité algorithmique.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (2,4) (4,2) 6*(0.707, 0.707) -2*(-0.707, 0.707)

Figure 1.1  Ellipse formée par les vecteurs propres

À l'aide de la première équation de (1.4), les valeurs propres de A sont données par λ1 = 3.7,

λ2 = 14.3 et λ3 = λ4 = −1. Les vecteurs propres associés à λ1 et λ2 sont ensuite obtenus en

appliquant (A − λiI)vi= 0 pour i = 1, 2

v1= [−0.6368 0.4452 0.4452 0.4452]T (1.10)

v2= [−0.6368 0.4452 0.4452 0.4452]T (1.11)

Il s'agit maintenant de déduire les vecteurs propres v3et v4à l'aide de la relation (A − λiI) vi =

0 pour i = 3, 4. Le système d'équations obtenus suite à l'application de (1.4) est

(A − λ3I)v3 =       11 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3             v31 v32 v33 v34       =       0 0 0 0       (1.12)

Ce système possède davantage d'inconnues que d'équations, il y a donc une innité de solutions. Par conséquent, deux vecteurs v3et v4linéairement indépendants peuvent être choisis de façon

arbitraire. Toutefois, un choix5 _{évident consiste à prendre deux vecteurs orthogonaux entre}

eux de façon à former un sous-espace orthogonal :

v3= [0 0.5534 0.2433 − 0.7966]T (1.13)

5. À noter qu'il est plus facile de sélectionner deux vecteurs linéairement indépendants puis d'utiliser un algorithme d'orthogonalisation comme celui de Gram-Schmidt pour en soutirer des vecteurs orthogonaux.

et

v4= [0 − 0.6004 0.7794 − 0.1790]T (1.14)

Le sous-espace propre engendré par v3et v4peut être représenté de façon graphique comme un

cercle puisque ces deux vecteurs possèdent la même norme (la même valeur propre). Ce faisant, des rotations peuvent être eectués sur v3 et v4 de façon à ce qu'ils demeurent orthogonaux

à l'interne (entre-eux) et à l'externe avec les vecteurs propres v1 et v2. Certains algorithmes

exploitent cette propriété qui permet de modier le sous-espace propre engendré par v3 et v4

de façon à passer de mλ vecteurs propres à un seul. Par ailleurs, toute combinaison linéaire

des vecteurs v3 et v4 est un vecteur propre membre du sous-espace tel que

v = av3+ bv4 (1.15)

où a et b sont des nombres réels.

Complexité algorithmique La notation grand O est utilisée dans ce mémoire pour noter la complexité d'un algorithme. L'unité de base pour quantier le nombre d'opérations eec-tuées est le MAC (de l'anglais Multiply-ACcumulate). Par exemple, le produit scalaire entre deux vecteurs de dimension n est de complexité O(n) puisqu'il faut eectuer n additions et multiplications pour obtenir le résultat nal.

1.2 Modèle des signaux

Les signaux à l'étude dans cet ouvrage sont émis par un émetteur qui opère à très haute fréquence (dans l'infrarouge). Ce faisant, une détection non cohérente est employée et seule l'enveloppe des signaux est disponible, l'information de phase n'est pas récupérée lors de la réception. Le signal enregistré sur le seul6 _{capteur à l'instant k est modélisé par}

xk = M

X

i=1

γikaτik + bk (1.16)

où M correspond au nombre d'échos distincts (communément nommé nombre de sources7_),

γ = [γ1 γ2 ... γM]est un vecteur qui contient l'amplitude de chaque écho et aτi contient

la forme du signal émis et décalé d'un délai τi, soit le délai avant la réception du ième écho. Le 6. Dans cet ouvrage il est supposé qu'il n'y a qu'un seul capteur qui reçoit les signaux contrairement au traitement d'antennes où une antenne-réseau comprenant plusieurs antennes est utilisée.

7. À noter qu'on fait généralement référence au nombre de sources comme le nombre d'émetteurs distincts alors qu'on y fait ici référence comme le nombre d'échos distincts provenant du même émetteur.

vecteur xk de dimension N ainsi formé est une trame. Celle-ci contient, d'une part, les échos

provenant des réexions de l'environnement face au capteur et, d'autre part, le vecteur de bruit blanc b. En pratique, les trames sont formées en échantillonnant l'espace à une fréquence fs.

Les échos sont de forme gaussienne et leur largeur est supposée xe8_{. En pratique, il faut}

s'attendre à ce que la forme de l'écho soit modiée en fonction du type d'objet sur lequel le signal émis est rééchi. Néanmoins, ce phénomène n'est pas à l'étude dans ce mémoire. Le modèle utilisé pour les échos est donné par

aτi = 1 ψ√2πe _−τi 2ψ 2 (1.17)

où ψ correspond à l'écart-type de l'écho de forme gaussienne. En théorie, une gaussienne possède une largeur innie. Or, dans le contexte de ce mémoire il est plus utile pour l'étape de génération des signaux de considérer une gaussienne tronquée de largeur dénie par le scalaire nmod telle que

ψ ≈ nmod

a (1.18)

où a est un nombre réel à ajuster selon l'écart-type désiré.

Un paramètre important associé à chaque écho est le rapport Signal-à-Bruit (communément référé comme SNR de l'anglais Signal-to-Noise Ratio). La dénition utilisée pour ce dernier est celle dénie par Skolnik [15], soit

SNR = Amplitude du signal V aleur RM S du bruit =

γ

bRM S (1.19)

où la valeur du SNR est sur une échelle linéaire. Il est souvent plus pratique de fournir le SNR en décibels comme SNRdB = 20 log (SNR). Cela étant dit, l'indice dB sera maintenant

abandonné pour alléger l'écriture et le SNR sera toujours fourni en décibels. An de montrer un exemple de variation de ce paramètre, la gure 1.2illustre quatre fois la même trame xk

avec quatre valeurs de SNR.

1.2.1 Paramètres des signaux utilisés dans le cadre du mémoire

Les paramètres des signaux utilisés dans le cadre de cet ouvrage sont résumés dans le tableau 1.1.

8. Il s'agit d'une simplication puisqu'une certaine déformation du signal émis est attendue en fonction du type d'objet sur lequel l'écho est formé. Des expérimentations sur un système physique au chapitre4semblent démontrer que cette simplication est raisonnable.

0 100 200 300 400 500 600 -0.5 0 0.5 1 1.5 Trame (SNR = 30 dB) 0 100 200 300 400 500 600 -0.5 0 0.5 1 1.5 Trame (SNR = 20 dB) 0 100 200 300 400 500 600 -2 0 2 4 Trame (SNR = 5 dB) 0 100 200 300 400 500 600 -4 -2 0 2 4 Trame (SNR = 0 dB)

Figure 1.2  La même trame à diérents SNR (M = 4)

Paramètre Valeur Unité

fs 400 MHz

nmod 16 échantillons

a 6.6

-N 512 échantillons

SNR Variable dB

1.3 Schéma de détection

Le schéma de détection regroupe l'ensemble des sous-systèmes qui permettent de passer de l'information captée à l'estimation de la position des objets sur la scène. La gure1.3représente une vue d'ensemble de ce schéma.

Scène

Capteur Détecteur

non-cohérent Convertisseur A/N fs Algorithmes de traitement du signal Estimation de la position des échos sur la scène

Figure 1.3  Schéma de détection

Les caractéristiques du capteur qui enregistre les signaux bruts sont illustrées sur la gure1.4. L'émetteur est supposé être situé à proximité du récepteur de façon à ce que les signaux émis et rééchis suivent des parcours identiques mais dans les sens opposés.

La résolution en portée du système rsys est dénie comme la plus courte distance qu'il

est possible de capturer entre deux échantillons. Celle-ci est donnée par

rsys =

c

2fs (1.20)

où c correspond à la vitesse de la lumière dans le vide et où la division par un facteur 2 est nécessaire an de compenser pour l'aller-retour (entre l'émission et la réception) dans le parcours du signal. La portée maximale hmax est directement proportionnelle au nombre

d'échantillons N d'une trame et inversement proportionnelle à la fréquence d'échantillonnage fs telle que

hmax= N rsys (1.21)

En pratique, la fréquence d'échantillonnage fs n'est pas variable et elle est déterminée par le

système d'acquisition. Ainsi, seul le nombre d'échantillons N peut être utilisé pour modier la portée maximale. La résolution angulaire achée sur la gure 1.4est supposée faible d'un

Capteur 0 ... Portée [m] Résolution angulaire s f Nc 2 s f c 2 s f c N 2 ) 1 (  Angle total du champ de vue

Figure 1.4  Caractéristiques du capteur

point de vue qualitatif9_{, en d'autres mots, il n'est pas possible d'obtenir une information de}

position angulaire d'un objet situé dans le champ de vision du capteur. Le bloc de traitement du signal aché sur la gure 1.3 fonctionne par séquences pour fournir une estimation de la portée des objets sur la scène. La gure1.5 illustre ce séquençage.

À chaque séquence, une méthode à complexité algorithmique élevée est d'abord utilisée sur LRXX trames pour déduire la première instance des paramètres et la première estimation de

la position des échos. Ensuite, une méthode à faible complexité algorithmique est utilisée pour faire la mise à jour trame par trame de la position des échos, et ce, sur LSU trames. Ainsi,

une séquence complète opère sur LRXX + LSU trames et aucune information n'est transmise

d'une séquence à l'autre an d'éviter la propagation des erreurs. Deux paramètres découlent naturellement du schéma de la gure1.5, soit la fréquence d'arrivée des trames ftrame et

LSU

...

Mise à jour de la position des échos

LRXX t séquence i ... ... LSU

Mise à jour de la position des échos

LRXX

séquence i-4

... ...

LSU

Mise à jour de la position des échos

LRXX séquence i-5 ... ... 1 trame ... ...

Figure 1.5  Séquençage lié au schéma de détection

la fréquence à laquelle les séquences sont exécutées fseq. La fréquence ftrame contrôle

le rythme auquel de nouvelles trames sont ajoutées. Celle-ci a un eet important sur la vitesse relative des échos par rapport au système. En eet, étant donné que le travail se fait à partir de données échantillonnées, la vitesse des cibles est donnée par

vct =

vcs

ftramersys (1.22)

où vctest la vitesse en

hechantillons

trame i et vcsla vitesse en m_s



. Le tableau1.2présente quelques exemples de l'eet de la variation de ftrame sur la vitesse vct. La vitesse est relative puisqu'il

faut considérer que tout comme les objets dans la scène, le capteur peut être en mouvement. La fréquence de répétition des séquences fseq permet de dénir le rythme auquel les

para-mètres du système de détection sont réinitialisés. Cette fréquence peut être choisie en fonction de l'application. En pratique, lorsqu'il est nécessaire de minimiser l'utilisation des ressources matérielles, il est préférable d'avoir une fseq faible an de favoriser l'utilisation d'un

algo-rithme à complexité faible (LSU élevé pour un même LRXX). À l'inverse, une fréquence fseq

élevée favorise la précision10_{puisque la méthode à complexité élevée est exécutée à plus faible} 10. Il sera démontré que ce constat perd de sa validité lorsque la vitesse des objets dans la scène augmente.

Vitesse relative km_h  ftrame (Hz) vct echantillons trame  50 100500 0,370,08 1000 0,04 100 100500 0,740,15 1000 0,07 240 100500 1,780,36 1000 0,18

Table 1.2  Eet de la variation de la fréquence ftramesur la vitesse relative (fs =400 MHz)

intervalle. Dans le contexte de ce mémoire, il est supposé que ftrame>> fseq et que LRXX est

une quantité déterminée par l'utilisateur. Les quantités LRXX et LSU peuvent être liées par

LRXX+ LSU = ftrame fseq LSU = ftrame fseq − L_RXX (1.23)

qui permet de déduire LSU à partir de la valeur des autres paramètres. En simulation, il faut

modier légèrement ces équations pour tenir compte du fait qu'un nombre ni de trames est utilisé (sur une application temps réel, le système fonctionne en continu). D'ailleurs, sur un système temps réel, il est intéressant de noter que de l'équation (1.16) découle une borne inférieure sur ftrame, soit

ftrame≥

fs

(N − 1) (1.24)

puisque pour une période de temps déterminée il ne peut y avoir plus de trames formées que de points échantillonnés. Le respect de cette condition n'est pas nécessaire dans cet ou-vrage puisque les étages de génération et de traitement des signaux sont séparés et les points échantillonnés en trop (les temps morts) ne sont pas traités.

1.3.1 Paramètres du schéma de détection utilisés dans le cadre du mémoire

Les paramètres du schéma de détection sont résumés dans le tableau 1.3. Sauf si spécié autrement, les valeurs par défaut utilisées dans cet ouvrage pour les paramètres fseq et LRXX

Paramètre Valeur Unité

ftrame 100 Hz

fseq 1-10 Hz

LRXX 1-12 trames

Table 1.3  Les diérentes valeurs des paramètres du schéma de détection

1.4 Conclusion

Ce chapitre avait comme objectif la présentation du modèle utilisé pour les signaux et du schéma de détection. À cet eet, certaines notions mathématiques sont d'abord présentées an de permettre au lecteur de se familiariser avec ce qui constitue la base mathématique des algorithmes qui seront présentés lors des chapitres qui suivent. Parmi ces notions, la décomposition propre est celle sur laquelle il est important de mettre l'emphase.

Les caractéristiques des signaux et les diérents paramètres qui en découlent sont ensuite présentés. Il est important de retenir que, puisqu'une détection non cohérente est eectuée, les signaux utilisés dans le cadre de cet ouvrage sont réels (sans information de phase) et leur enveloppe est de forme gaussienne. De plus, le bruit est considéré comme étant blanc, soit de densité de puissance uniforme à toutes les fréquences. À moins qu'il soit spécié autrement, la valeur de chaque paramètre associé aux signaux est dénie dans le tableau 1.1. Enn, la scène sur laquelle évolue le capteur et le schéma de détection sont présentés. Ainsi, il faut retenir que la résolution angulaire d'un capteur est supposée trop faible, ce qui fait que seule l'information sur la portée d'un objet peut être retrouvée. De même, une trame de données est dénie comme un vecteur de points enregistrés par le système à une fréquence fset disponible

à chaque instant k. La fréquence à laquelle les trames sont disponibles est dénie comme ftrame.

Par ailleurs, la gure1.5permet de dénir le séquence des opérations du schéma de détection. Ainsi, les LRXX premières trames sont utilisées par une méthode présentée au chapitre2dont

la complexité algorithmique est plus élevée an d'instancier les paramètres de la séquence. Ensuite, les LSU trames qui suivent doivent être utilisées en combinaison avec une méthode

beaucoup plus rapide an de permettre l'obtention d'une mise à jour sur l'estimation des positions à chaque trame. La fréquence à laquelle les séquences sont générées est dénie comme fseq. Encore une fois, sauf si spécié autrement, la valeur de chaque paramètre du schéma de

détection est dénie dans le tableau 1.3.

Le prochain chapitre constitue une introduction à l'ensemble des techniques développées jus-qu'à présent pour faire la détection d'écho non stationnaires.

Chapitre 2

État de l'art

Ce chapitre contient une revue des éléments de la littérature qui seront utiles au développement des algorithmes de traitement du signal étudiés dans cet ouvrage.

D'abord, la méthode à complexité algorithmique élevée utilisée lors des LRXX premières trames

d'une séquence et l'estimateur statistique de 2e ordre qui permet l'estimation de la position des cibles sont présentés. Ces deux derniers éléments découlent directement de la contribution de [1]. Ensuite, une revue des méthodes fondées sur la notion de sous-espace et qui permettent une mise à jour rapide de la position des objets est présentée. Enn, les estimateurs de la performance des algorithmes utilisés dans cet ouvrage sont présentés.

2.1 Méthode directe

X = [x1 x2 ... xK] (2.1)

où chaque colonne correspond à une trame et où K correspond au nombre de trames enregis-trées. Cette dénition pour la matrice X dière de celle normalement rencontrée en traitement d'antenne-réseau classique [2] où plusieurs capteurs sont généralement disposés selon une con-guration géométrique connue1_{. Ainsi, dans le cas classique chaque ligne de X correspond aux}

échantillons enregistrés par un capteur à travers le temps (soit les K échantillons) et chaque colonne à une épreuve (soit l'enregistrement eectué par tous les capteurs à un instant k). Lorsque l'information de phase est remplacée par le principe des délais d'arrivée tel que pro-posé par [1], le nombre de capteurs N devient le nombre d'échantillons dans une trame. Si

1. Par exemple, un réseau de type linéaire implique que tous les capteurs de l'antenne-réseau sont disposés sur une même ligne.

aucune opération d'accumulation2 _{n'est eectuée, il y a une période T}

trame = _ftrame1 entre

la réception de chaque trame. La matrice de corrélation des signaux reçus est exprimée par l'équation (2.2).

RXX = EXXH



(2.2) Il est important de faire la distinction entre la matrice RXX obtenue via l'équation (2.2) et

la matrice de covariance obtenue en traitement d'antenne-réseau classique. De par la nouvelle dénition de RXX, le fait de remplacer le nombre de capteurs par le nombre d'échantillons N

implique une matrice de dimension beaucoup plus élevée. En eet, une valeur élevée pour N permet d'augmenter la portée de détection maximale du système dénie par (1.21).

En pratique, il faudrait une innité d'échantillons pour obtenir la matrice RXX. Par

consé-quent, l'approximation dénie par (2.3) et notéeRe_XX est utilisée.

e RXX =

1 KXX

H _(2.3)

De par l'équation de modélisation des signaux (1.16), la matrice Re_XX est réelle, symétrique et semi-dénie positive. Ce faisant, l'hermitienne peut être remplacée par la transposée dans les équations (2.2) et (2.3). La gure 2.1est un exemple de cette matrice pour le cas M = 4. L'opération (2.3) est de complexité O(N2_{K). En considérant qu'il est nécessaire d'avoir un}

grand N pour avoir une bonne portée, le terme en N2 _{devient rapidement un dé d'un point}

de vue calculatoire.

En présence de sources non corrélées, la prochaine étape consiste à faire la décomposition propre deRe_XX pour en obtenir la structure propre. Dans le cas présent, procéder directement à la décomposition en système propre de la matrice formée par l'équation (2.3) ne permet pas de produire un espace de vecteurs orthogonaux et non corrélés. Il s'agit là d'un problème puisque ces conditions sont des requis pour l'algorithme présenté en2.2. Une explication ainsi qu'une solution à ce problème sont fournies en 2.1.1.

2.1.1 Traitement de la corrélation

La matrice illustrée sur la gure 2.1 contient des échos sur ses diagonales principales ainsi que sur certaines de ses diagonales inférieures et supérieures. La présence de ces échos extra diagonaux met en évidence un problème de corrélation. En traitement d'antenne-réseau, la même situation se produit lorsque, par exemple, deux sources émettent la même information modulée. De plus, pour cette dernière application il est supposé que les sources émettent un

2. Dans ce contexte, une opération d'accumulation consiste à faire la somme de plusieurs trames avant de les ajouter à la matrice X pour en améliorer le SNR.

Figure 2.1  Exemple de matrice Re_XX (N = 512)

signal ayant une certaine largeur limitée dans la fonction d'autocorrélation. Ainsi, un très long délai entre deux sources identiques conduit à une corrélation nulle. Dans le cadre de cet ouvrage, les signaux sont réels et la corrélation doit être vue en fonction de la forme de l'enveloppe. Comme l'enveloppe de chaque écho est supposée identique (en négligeant le bruit additif qui va entraîner certaines déformations), elle est maximale. La matrice Re_XX s'éloigne alors de la forme désirable Toeplitz3_{, où toutes les sources sont indépendantes. An d'éliminer}

cette corrélation, un traitement doit être appliqué à Re_XX avant de pouvoir procéder à la décomposition propre. À noter que pour le cas M = 1 aucun traitement n'est nécessaire puisqu'il n'y a alors pas de corrélation possible4_.

Plusieurs traitements sont développés et essayés dans [1]. Parmi ceux-ci, celui qui permet la meilleure convergence vers une structure propre orthogonale et non corrélée est la modulation par matrice modèle. Cet algorithme consiste à faire une multiplication point-par-point (produit de Hadamard noté ⊗) de la matriceRe_XX par une matrice RModele dont les anti-diagonales5 sont modulées par la forme de l'écho émis.

3. La forme Toeplitz implique que les éléments d'une même diagonale sont constants. De par la nature des signaux étudiés dans ce mémoire, la matriceReXXne peut que s'approcher de cette forme désirable sans jamais l'atteindre.

4. En pratique, ce cas est très rare puisqu'il est préférable d'augmenter la sensibilité de la détection même si cela implique davantage de faux positifs que d'avoir des faux négatifs.

Modulation par matrice modèle 1 Re_XX = _K1XXT

2 RModele = PN

i=1aτiaTτi

3 Re_XX ← eR_XX ⊗ RModele

Table 2.1  Algorithme de la modulation par matrice modèle

Figure 2.2  Traitement par matrice modèle de Re_XX

La gure 2.2permet d'illustrer les trois étapes de l'algorithme du tableau 2.1. Ainsi, suite au traitement par la matrice modèle RModele, seuls les échos sur la diagonale principale sont conservés. Il devient ainsi possible de procéder à la décomposition propre de la matrice Re_XX et d'obtenir une structure propre compatible avec l'algorithme d'estimation de la position des échos qui sera présenté en 2.2. La modulation par matrice modèle nécessite O(N2_{) opérations}

et ce, sans compter les opérations nécessaires pour la formation de la matrice modèle6_. 2.1.2 Obtention de la première instance du sous-espace sources

La décomposition propre de la matriceRe_XX traitée permet l'obtention de la structure propre (Λ, E). Les valeurs et vecteurs propres de cette structure peuvent être séparés en fonction de

6. En supposant qu'un seul modèle d'écho est utilisé, la matrice modèle n'a qu'à être formée une fois et non pas au début de chaque séquence.

leur appartenance au sous-espace associé aux sources (aux échos) (Λs, Es)ou au sous-espace

associé au bruit (Λn, En)tels que

E = [Es En] (2.4) avec Es⊥ En et Λ = " Λs 0 0 Λn # (2.5)

où les matrices Λs et Λn sont formées selon

Λs =diag(λ1, . . . , λM)

Λn=diag(λM + 1, . . . , λN)

(2.6)

et où λ1 > λ2 > . . . > λM > λM +1 = λM +2 = . . . = λN = σ2 de par l'hypothèse de bruit

blanc de l'équation (1.16). L'algorithme permettant l'estimation de la position des échos qui sera présenté à la section 2.2nécessite l'obtention du projecteur de l'espace bruit déni par

Pn= EnEHn = IN − EsEHs (2.7)

où IN est la matrice identité de dimension N. Encore une fois, puisque des signaux réels sont

utilisés l'hermitienne de l'équation (2.7) peut être remplacée par la transposée comme c'était le cas pour l'équation (2.3). Sachant que7 _{M << N, il n'est pas intéressant de trouver les}

N vecteurs propres obtenus en procédant à la décomposition propre complète de la matrice e

RXX. En eet, l'idée est plutôt de chercher à trouver les M vecteurs propres dominants de

e

RXX associés aux M échos enregistrés dans la matrice X. Pour ce faire, plutôt que de recourir

à la décomposition propre complète deRe_XX, la solution consiste à utiliser une décomposition propre itérative (aussi connue sous le nom de méthode de la puissance itérée) de façon à arrêter la recherche de vecteurs propres lorsque la présence d'un vecteur bruit est détectée. La valeur de M n'est pas connue à l'avance et doit donc être estimée. À cette eet, soit ˆM, l'estimation du nombre d'échos. En pratique, il est souvent nécessaire de trouver les ( ˆM + 1) vecteurs propres dominants pour deux raisons : d'abord parce que le ( ˆM + 1)ième vecteur doit permettre de conrmer (avec un certain degré d'incertitude) que le dernier vecteur obtenu se trouve bien dans le sous-espace associé à Enet ensuite parce qu'il est préférable de se retrouver

avec un faux positif plutôt que de risquer d'avoir un faux négatif8_{. Cela étant dit, tout au}

long de cet ouvrage ce ( ˆM + 1)ième vecteur sera considéré comme étant le Mième vecteur du sous-espace sources puisqu'il est en pratique très dicile de conrmer son appartenance au sous-espace sources ou au sous-espace bruit. Par conséquent, le nombre d'échos M est déni comme le rang de Es et est donné par

rg(Es) = ˆM + 1 = M (2.8)

L'estimation du nombre d'échos M est volontairement mise de côté dans ce mémoire puisqu'elle a déjà fait l'objet de multiples travaux par [1]. L'équation (2.9) dénit l'opération à eectuer à chaque itération pour raner la précision du vecteur propre. Cette opération est normalement suivie directement d'une étape de normalisation. Pour chaque vecteur, les itérations sont arrêtées lorsque la tolérance entre ei et ei+1 est atteinte. Le choix de la première instance

du vecteur ei inuence la vitesse de convergence de l'algorithme.

ei+1← eRXX· ei (2.9)

À chaque itération, l'équation 2.9nécessite O(N2_{) opérations. Pour obtenir E, la complexité}

est de O(N3_{) puisqu'il faut récupérer N vecteurs propres. Lorsque seuls les M premiers}

vec-teurs propres sont obtenus, la complexité algorithmique est de O(N2_{M ).} 2.1.3 Fenêtrage des données

Soit la mise à jour de rang 1 vers la matrice Re_XX,k

e

RXX,k ← eRXX,k−1+ xkxTk (2.10)

où xk est la nouvelle trame de données obtenues à l'instant k et Re_XX,k−1 est la matrice obtenue avec les trames disponibles jusqu'à l'instant k − 1. L'expression (2.10) signie que pour obtenir la matrice Re_XX à l'instant k, il est nécessaire de considérer dans une certaine proportion la matrice Re_XX obtenue à l'instant k − 1 et dans une autre proportion la trame entrante xk. Le fait d'accorder une certaine importance aux données actuelles au prot des

anciennes données est communément référé comme étant une opération de fenêtrage. Plusieurs types de fenêtres ont été développé pour répondre à diérents besoins [17]. Une fenêtre de type exponentielle [6] est généralement utilisée lorsqu'il s'agit d'une mise à jour de rang 1. Cette fenêtre est dénie comme

8. Dans ce contexte, un faux positif signie qu'une position associée à un écho qui n'existe pas est fournie par le système de détection alors qu'un faux négatif signie que la position d'un objet qui se trouve réellement dans la scène est ignorée.

e RXX,k = (1 − µ) k X j=1 µ(k−j)xjxTj = (1 − µ)(µk−1x1xT1 + µk−2x2xT2 + ... + xkxTk) = (1 − µ)xkxTk + (µk−1x1xT1 + ... + µk−1xk−1xTk−1) − µ(µk−1x1xT1 + ... + µk−1xk−1xTk−1) = µ(1 − µ)(µk−2x1xT1 + µk−3x2xT2 + ... + xk−1xTk−1) + (1 − µ)xkxTk = µ eRXX,k−1+ (1 − µ)xkxTk (2.11)

où µ correspond au facteur d'oubli, soit le rythme auquel les données à l'instant k − 1 sont oubliées au prot des données à l'instant k. La longueur eective de la fenêtre exponentielle est donnée par L = 1

1−√µ [6]. Par extension, la mise à jour de rang 2 peut être utilisée grâce

à un fenêtrage rectangulaire tel que

e

RXX,k= eRXX,k−1+ xkxTk − xk−LxTk−L (2.12)

où L est la longueur de la fenêtre rectangulaire. Contrairement à la fenêtre exponentielle qui possède une réponse impulsionnelle innie, la fenêtre rectangulaire possède une réponse impulsionnelle nie et elle permet ainsi d'oublier beaucoup plus rapidement les anciennes données. Toutefois, cette dernière est généralement moins utilisée en raison de la complexité algorithmique supplémentaire qu'elle engendre, soit l'obligation d'eectuer une mise à jour de rang 2.

2.1.4 Résumé de la méthode directe

La méthode directe est l'algorithme à complexité algorithmique élevée qui est utilisé au début de chaque séquence pour obtenir la première estimation du sous-espace sources (Λs, Es).

Étant donné qu'elle repose sur la décomposition propre systématique de la matrice Re_XX, elle procure généralement des résultats plus précis pour l'estimation de la position des objets sur la scène. Pour cette raison, elle est utilisée comme méthode de référence dans cet ouvrage an de faire des comparaisons de performance avec les méthodes à complexité algorithmique plus faible. En admettant que la méthode directe soit utilisée non pas seulement sur les LRXX

premières trames mais également sur chacune des LSU trames suivantes, les étapes à suivre

Méthode directe appliquée à l'ensemble d'une séquence

1 Démarrer la séquence normalement en utilisant LRXX trames pour obtenir la première

instance du sous-espace sources (Λs,0, Es,0)à partir du traitement et de la décomposition

propre de la matriceRe_XX;

2 À chaque nouvelle trame parmi les LSU trames :

Utiliser l'équation2.11pour faire la mise à jour versRe_XX,k Procéder au traitement de la section2.1.1 sur la matriceRe_XX,k

Faire la décomposition propre itérative deRe_XX,k an d'obtenir (Λ_s,k, E_s,k) Table 2.2  Utilisation de la méthode directe pour toute une séquence

θ

da

Figure 2.3  Incidence d'un front d'onde plan sur une antenne-réseau (conguration linéaire)

2.2 Un estimateur statistique de 2e ordre haute-résolution

adapté pour le principe des délais d'arrivée

En 1979, Schmidt développe MUSIC (de l'anglais MUltiple SIgnal Classication) [2], un algo-rithme qui tire prot de l'orthogonalité entre les vecteurs de diérents sous-espaces. L'appli-cation de MUSIC au traitement d'antenne-réseau classique permet notamment de déterminer le positionnement angulaire des sources par rapport à un réseau d'antennes. Le schéma de la gure 2.3illustre un exemple où des fronts d'onde plans arrivent à un angle d'incidence θ sur un réseau linéaire comportant 6 antennes. La distance da entre chaque antenne est supposée