3.2 Orthogonalité et corrélation
3.2.4 Simulations et résultats
A n de pouvoir eectuer des comparaisons, les algorithmes utilisés lors des essais de la sec- tion 3.2.2 seront maintenant référés comme méthodes sans traitement. Il s'agit des mêmes algorithmes de suivi du sous-espace sources qui seront utilisés dans la présente section mais sans les traitements subséquents pour éliminer la corrélation. L'essai de la gure3.5est réalisé à nouveau avec chaque algorithme de traitement présenté en 3.2.3 et avec l'algorithme de la DPM traitée présenté en3.1.3.3. Les gures3.13à3.16présentent les résultats pour l'ensemble des méthodes.
La gure 3.13illustre les résultats suite à l'utilisation du lissage spatial. Ces derniers ne ren- contrent pas l'objectif de minimisation de l'erreur sur la position. Au contraire, l'erreur obtenue avec toutes les méthodes est bien plus élevée que celle obtenue sans traitement, ce qui est une faiblesse importante pour cet algorithme. De plus, le temps de traitement moyen est beaucoup plus élevé que celui de la méthode directe. En eet, il faut un grand nombre g de sous-groupes pour garantir la séparation des échos et, ce faisant, il devient rapidement non e cace d'utiliser le lissage. Pour toutes ces raisons, cette méthode est écartée pour le reste des essais. La gure 3.14 illuste les résultats suite à l'utilisation de la DPM traitée. Ces derniers démontrent qu'il
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 50 100 150 200 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - Lissage Spatial
Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI 0 20 40 60 80 100 120 140 Trames 200 210 220 230 240 250 260
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - Lissage Spatial
DPM FDPM PAST PASTd FAPI
Figure 3.13 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le lissage spatial
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Erreur moyenne de position
ǫt
(échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - DPM Modifiée
Méthode Directe DPM 0 20 40 60 80 100 120 140 Trames 65 66 67 68 69 70 71 72 73
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - DPM Modifiée
DPM
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - Fenêtre Rectangulaire
Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS 0 20 40 60 80 100 120 140 Trames 50 100 150 200
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - Fenêtre Rectangulaire
DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS
Figure 3.15 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage rectan- gulaire
s'agit d'une méthode préférable à la méthode directe en ce qui attrait à l'erreur en fonction du SNR. En eet, contrairement à la méthode directe dont l'erreur commence à augmenter à partir d'un SNR de 8 dB, il faut diminuer jusqu'à un SNR de 3 dB pour constater la même chose avec la DPM traitée. Par ailleurs, le temps de traitement moyen est de 69%, ce qui est légèrement supérieur (augmentation de 3%) au temps de traitement moyen lorsque aucun trai- tement n'est utilisé. Cela est principalement dû à l'opération de multiplication par RModele dans l'équation (3.3). Néanmoins, cette opération demeure beaucoup moins exigeante que la décomposition propre systématique de ReXX,k.
La gure 3.15 illustre les résultats suite à l'utilisation de la fenêtre rectangulaire. L'erreur en fonction du SNR démontrent que le fenêtrage est une méthode qui permet de réduire l'erreur des méthodes de suivi de la structure propre en particulier à faible SNR. En eet, l'augmentation de l'erreur pour la plupart des méthodes est située à un SNR d'environ 3 dB alors qu'il était d'environ 10 dB pour les mêmes méthodes sans traitement. Contrairement aux essais qui précèdent, l'erreur demeure nettement inférieur à celle de la méthode directe à faible SNR. Ce phénomène est attribuable à l'introduction du facteur d'inertie µF sur le
positionnement des fenêtres qui a pour eet de ralentir la divergence l'algorithme MUSIC. Rappelons que la méthode à complexité élevée utilisée en début de séquence fournit la mesure
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - Fenêtre Optimisée
Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS 0 20 40 60 80 100 120 140 Trames 2 3 4 5 6 7 8 9 10
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - Fenêtre Optimisée
DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS
Figure 3.16 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage optimisé
la plus précise de la position réelle des échos. Le fait de ne pas diverger rapidement de cet estimé est donc un atout. Par ailleurs, le graphique du temps de traitement est marqué par des pics au début de chaque séquence. Ces pics sont engendrés par la nécessité de répéter M fois l'algorithme MUSIC a n de pouvoir associer à chaque couplet (λs, es) la position
d'un objet sur la scène (cela est nécessaire pour savoir où fenêtrer l'écho dans le vecteur propre). Puisque cette opération n'est à répéter qu'une fois en début de séquence, le reste de la séquence s'exécute selon un temps identique à celui des méthodes sans traitement. La gure 3.16 illustre les résultats pour le fenêtrage optimisé. Ces derniers démontrent que l'erreur de déviation sur la position est faible tout comme pour la fenêtre rectangulaire, c'est d'ailleurs le même phénomène d'inertie qui en est la cause. Toutefois, le temps de traitement est cette fois de beaucoup inférieur à celui de la méthode directe avec un temps moyen d'environ 3% à 4%. Les pics au début de chaque séquence sont engendrés par l'opération de réduction de la dimension du problème lors du passage Es→ Er.
Tout comme pour l'essai de vitesse, l'essai de chevauchement de la gure 3.6 est repris avec les méthodes de traitement de la corrélation à l'exception du lissage spatial. Les résultats sont illustrés sur les gures 3.17à 3.19.
La gure3.17illustre les résultats pour l'algorithme de la DPM traitée. Cette fois, l'erreur sur la position est bien inférieure à celle obtenue avec toutes les méthodes sans traitement et bien
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - DPM Modifiée
Méthode Directe DPM 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Trames 60 65 70 75 80 85 90 95
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - DPM Modifiée
Figure 3.17 Eet de l'utilisation de la DPM modi ée pour l'essai de chevauchement
inférieure à celle générée par l'utilisation de la méthode directe. En eet, ce n'est qu'à partir d'un SNR de 2 dB que l'erreur commence à augmenter. De plus, le temps de traitement est très similaire à celui obtenu lors de l'essai de la gure3.14. Les résultats obtenus sur la gure 3.18avec le fenêtrage rectangulaire et ceux obtenus sur la gure3.19avec le fenêtrage optimisé sont très similaires entre eux par rapport à l'erreur en fonction du SNR. Encore une fois, le phénomène d'inertie permet de maintenir l'erreur relativement faible lorsque le SNR diminue. De plus, la valeur de SNR à partir de laquelle l'erreur se met à augmenter est bien plus faible que dans le cas sans traitement. Ce faisant, la performance des méthodes de fenêtrage dépasse celle du cas sans traitement.
En supplément, deux essais sur les algorithmes de fenêtrage sont de mises a n de déterminer (1) l'erreur sur la position engendrée par la variation de la taille de la fenêtre ;
(2) l'eet de l'augmentation du nombre d'échos sur le temps de traitement.
La perturbation engendrée par le fenêtrage du sous-espace sources Es doit être étudiée a n
de déduire la taille critique de la fenêtre, soit la valeur minimale du paramètre nF. À priori,
plus ce paramètre est faible et plus cela risque d'engendrer une perte d'information de par l'approximation du vecteur propre. A n de véri er cette hypothèse, l'objectif est de tracer le graphique de la taille de la fenêtre nF en fonction du SNR pour les algorithmes du fenêtrage
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - Fenêtre Rectangulaire
Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Trames 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - Fenêtre Rectangulaire
DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS
Figure 3.18 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage rectan- gulaire pour l'essai de chevauchement
0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Erreur moyenne ǫt (échantillons)
Erreur sur la position en fonction du SNR - Fenêtre Optimisée
Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Trames 2 3 4 5 6 7 8 9
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps d'exécution des méthodes - Fenêtre Optimisée
DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS
Figure 3.19 Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre avec le fenêtrage optimisé pour l'essai de chevauchement
rectangulaire et de la fenêtre optimisée. Cette situation est comparée au cas où seul l'algo- rithme du suivi du sous-espace sources est utilisé sans méthode de traitement de la corrélation. Pour cet essai, un seul objet se trouve dans la scène a n d'éliminer l'eet du phénomène de corrélation. Les résultats sont présentés sur la gure3.20. L'erreur moyenne sur ces graphiques est normalisée par celle obtenue lorsque aucune méthode de traitement n'est utilisée. À cet eet, le tableau 3.9 présente le code de couleur utilisé conjointement avec les graphiques où l'erreur de position est normalisée par rapport à celle obtenue avec la méthode directe.
Couleur Intervalle (%) Indice de performance Trois niveaux de bleu 30 à 600 à 30 Largement supérieure (LS)
60 à 80 Bien supérieure (BS)
Cyan 80 à 95 Supérieure (S)
Gris 95 à 105 Comparable (C)
Vert 105 à 120 Inférieure (I)
Jaune 120 à 140 Bien inférieure (BI)
Rouge 140 et plus Largement inférieure (LI)
Table 3.9 Code de couleurs associé à la mesure de l'erreur relative par rapport à la méthode directe sur la position estimée
4 6 8 10 12 14 16 18 20 Taille de la fenêtre (n F) 5 10 15 20 25 30 SNR (dB)
Erreur sur la position engendrée par le fenêtrage rectangulaire (n
mod = 16) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Taille de la fenêtre (n F) 5 10 15 20 25 30 SNR (dB)
Erreur sur la position engendrée par le fenêtrage optimisé (n
mod = 16)
Figure 3.20 Résultats des essais de perturbation (erreur sur la position normalisée, en %, par rapport à la même méthode mais sans traitement de corrélation)
Pour les deux graphiques la gure 3.20, l'erreur devient meilleure que celle pour le cas sans traitement lorsque le SNR diminue. Tout comme pour les essais précédents, cette diminu- tion est attribuable à l'inertie associée à l'utilisation du fenêtrage. Par ailleurs, pour les deux
méthodes, lorsque la taille de la fenêtre est supérieure à la largeur de l'écho qui fait 16 échan- tillons, la valeur de l'erreur devient équivalente à l'utilisation d'aucun fenêtrage. En outre, l'algorithme du fenêtrage optimisé possède une plus grande zone d'e cacité que celui du fe- nêtrage rectangulaire, avec une taille critique qui fait la moitié de la taille de l'écho.
En n, l'in uence du nombre d'échos (soit M) sur la performance des méthodes de traitement est étudiée. À priori, l'augmentation de M ne devrait pas être béné que pour les méthodes de suivi du sous-espace sources puisqu'elles sont de complexité O((M + 1)2N ) ou O(NM)
alors que la méthode directe est de complexité O(MN2) : le rapport de complexité selon M
augmente dans un cas et demeure constant dans l'autre cas. A n de véri er cette hypothèse, des essais sont réalisés où le nombre M d'échos dans les trames est varié. Les résultats sont présentés sur la gure 3.21.
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
Nombre d'échos dans Es (M)
0 5 10 15 20 25 30
% du temps d'exécution de la méthode directe
Temps de traitement en fonction du nombre d'échos (M)
Fenêtre normale DPM Modifiée Fenêtre optimisée
Figure 3.21 Résultat des essais de variation du nombre d'échos (M)
Le graphique 3.21permet de constater que pour toutes les méthodes, le temps de traitement relatif diminue lorsque le nombre d'échos augmente. Il en découle que les complexités algo- rithmiques des méthodes de suivi du sous-espace sources ne sont probablement pas identiques à celles indiquées, puisque pour un N constant comme c'est le cas pour cet essai, il faudrait constater un rapport de complexité constant ou en augmentation. Une hypothèse pour ex- pliquer ces résultats est que les complexités estimées pour chaque algorithme ne tiennent pas compte des non-linéarités qui peuvent survenir lors de l'utilisation de la décomposition propre.
En eet, il a été observé en simulation que le temps de traitement de la méthode directe (et de tous les algorithmes ayant recours à la décomposition propre) augmente lorsque
1 M augmente, car le temps de convergence vers un vecteur propre semble augmenter en fonction du nombre de vecteurs propres ;
2 il n'y a aucun écho dans X et que l'algorithme doit y chercher M > 1 vecteurs propres ; Les méthodes de suivi du sous-espace sources comme la DPM sont immunisées contre ce phénomène puisqu'elles n'ont pas recours à une décomposition propre pour faire la mise à jour Es,k−1→ Es,k.