PROTEUS

En 1998, Champagne développe une méthode reposant sur des rotations dans l'espace de dimension M + 1 pour faire la mise à jour complète de la structure propre [8]. Deux versions d'un algorithme de base ont été développées. La première, PROTEUS (Plane ROTation-based EVD Updating Schemes) permet la mise à jour avec une complexité O(N(M +1)2_{)alors que la}

seconde, PROTEUS-2, permet la mise à jour avec une complexité O(N(M + 1)) (un fait rare pour un algorithme permettant la mise à jour complète de la structure propre). L'idée derrière ces algorithmes consiste à faire des rotations dans l'espace de dimension M + 1 pour obtenir progressivement EM +1,k avant d'employer la projection (2.32) pour revenir à Es,k. Pour ce

faire, PROTEUS exploite le fait que de par ses propriétés, la matrice EM +1 est membre d'un

groupe de matrices pouvant être représentées sous la forme exponentielle. Ce faisant, EM +1

n'a pas à être connue de façon explicite et peut être écrite sous la forme d'un produit de matrices de rotation de Givens.

Les algorithmes PROTEUS et PROTEUS-2 sont conçus autour de la structure générale : 1 Étapes de pré-traitement ;

2 Mise à jour vers Λk et Es,k avec PROTEUS ou PROTEUS-2 ;

3 Étapes de post-traitement, au besoin.

Les étapes de pré-traitement permettent le formatage des données an d'accélérer la mise à jour vers Es,k. La première étape est similaire13à celle de Karasalo puisqu'elle consiste à faire

la projection de la trame entrante xk sur le sous-espace sources

y = ET_s,k−1xk (2.33)

où le vecteur y est de dimension M. Il s'agit ensuite de considérer les vecteurs propres associés aux sources de Es,k−1 auxquels on ajoute la projection de la trame xk dans le sous-espace

bruit. La matrice Ei,k−1 est ainsi formée en procédant au même type de transformation que

celle proposée par Karasalo, soit

Ei,k−1=  Es,k−1 u β  (2.34)

où le vecteur u et le scalaire β sont donnés par (2.30). Le vecteur y doit ensuite subir un ajout de façon à devenir y = yT _βT

et la matrice ΛM +1 est dénie comme

ΛM +1= " Λs 0 0 β # (2.35)

En somme, la sortie du pré-traitement fournie la matrice Ei

k−1 de dimension N à M + 1, le

vecteur y de dimension M + 1 et la matrice ΛM +1 de dimension M + 1.

Comme le montre la n du pré-traitement, l'approche privilégiée par Champagne consiste à travailler dans un espace de dimension M +1 avec des conditions initiales très similaires à celles utilisées par Karasalo. Cependant, la formation de la matrice en dimension réduite RM +1pour

en faire la décomposition propre et retrouver le sous-espace en dimension réduite EM +1,kn'est

pas l'approche privilégiée. En eet, l'idée est plutôt de générer progressivement et de façon non explicite la matrice EM +1,k. Pour ce faire, Champagne utilise les notions de la théorie

des perturbations. Cette méthode implique de trouver la nouvelle solution S d'un problème à partir d'une solution connue S0 auquelle on ajoute un léger changement. L'approche est

généralisée par

S = S0+ αS1+ α2S2+ . . . (2.36) 13. Elle est similaire mais pas identique puisque pour Karasalo le fenêtrage est inclus à cette étape.

où α = (1 − µ). En supposant que α → 0 (la fenêtre est très longue)14_{, les termes d'ordre}

supérieurs de (2.36) deviennent négligeables et la série d'ordre 1 est donnée par (2.37).

S = S0+ αS1 (2.37)

À noter que les performances associées à cette méthode risquent de se dégrader si la condition sur α n'est pas respectée. Ce problème est alors ramené à un cas avec les matrices EM +1 et

ΛM +1 de dimension M + 1. Dans cette dimension, la mise à jour de rang 1 peut être vue

comme

EM +1,kΛM +1,kETM +1,k = (1 − α)ΛM +1,k−1+ αyyT (2.38)

où le membre de gauche correspond à la matrice RM +1,k de l'équation (2.28). D'après le

principe d'orthogonalité du sous-espace sources, il faut que

EM +1,kETM +1,k= IM +1 (2.39)

En supposant que α → 0, il faut alors que ΛM +1,k−1 → ΛM +1,k selon (2.38) et que EM +1,k→

IM +1 selon (2.39). Ce faisant, l'approximation de premier ordre introduite par l'équation

(2.37) peut être utilisée pour déduire ΛM +1,k telle que

ΛM +1,k= ΛM +1,k−1+diag(δλ1, δλ2, . . . , δλM +1) (2.40)

où les valeurs δλ1, δλ2, . . . , δλM +1 représentent les petits changements entraînés à chacune des

M + 1 valeurs propres par la modication de rang 1. Puisque det(EM +1,k) ≈ 1 car EM +1,k

s'approche de IM +1, EM +1,k peut être représentée par

EM +1,k= eΦ = ∞ X i=1 Φi i! (2.41)

où Φ est une matrice à symétrie oblique15 _{dont voici un exemple pour le cas M + 1 = 4}

Φ =       0 φ12 φ13 φ14 −φ12 0 φ23 φ24 −φ₁₃ −φ₂₃ 0 φ34 −φ₁₄ −φ₂₄ −φ₃₄ 0       (2.42)

14. Cette condition peut devenir une forte limitation pour l'utilisation de cet algorithme, surtout lorsque la fréquence fseqest élevée.

En généralisant, le nombre d'éléments distincts de la matrice Φ correspond à (M +1)M

2 . En

substituant les équations (2.40) et (2.41) dans (2.38) (voir [8] pour le développement complet), les solutions suivantes sont obtenues pour δλi et φij

δλi = α(yi− λi), pour i = 1, ..., M + 1 (2.43)

φij = α

yiyj

λj− λi

, pour i = 1, ..., M + 1 (2.44)

Soit maintenant la matrice Φ. Cette dernière peut être décomposée en une somme de matrices Φij dans lesquelles tous les éléments sont mis à zéro sauf les éléments φij = −φij. Par exemple,

la matrice Φ12 est donnée par

Φ12=       0 φ12 0 0 −φ12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       (2.45)

Cette représentation de Φ revient à écrire

Φ = X

ij,j>i

Φij (2.46)

En substituant l'équation (2.46) dans (2.41) et en supposant les termes d'ordre supérieur à 2 négligeables, le produit suivant est obtenu en raison de la somme montée en exponentiel

EM +1,k =

Y

ij,j>i

eΦij (2.47)

La transformation engendrée par (2.47) équivaut à eectuer (M +1)M

2 rotations de Givens selon

eΦij _{= G}

ij(φij) (2.48)

Gij(φ) =         Ii−1 cos φ sin φ Ij−i−1 − sin φ cos φ IM +1−j         (2.49)

En insérant l'équation (2.48) dans (2.47) on obtient la mise à jour progressive exploitée par PROTEUS pour passer de Ei

k−1 à Eik, soit

EM +1,k=

Y

ij,j>i

Gij(φij) (2.50)

L'algorithme PROTEUS 1 est maintenant complet. Champagne note qu'il est parfois néces- saire de procéder à un lissage sur les N − M dernières valeurs propres an d'assurer qu'elles sont encore toutes de même valeur (sans quoi l'hypothèse pour la sphéricalisation n'est plus valide).

Le développement de l'algorithme PROTEUS-2 requiert l'ajout d'une hypothèse, soit celle que les valeurs propres associées aux sources ont des valeurs distinctes bien espacées λi>> λj

pour i < j. L'équation (2.44) devient alors

φij = α

yiyj

λi (2.51)

Cette approximation modie le développement de la matrice Φ de l'équation (2.41) de façon à en lier linéairement les termes. Par conséquent, il est possible de factoriser le développement (2.50) comme un produit de 2(M + 1) − 3 rotations plutôt que les M (M +1)

2 rotations que

nécessite PROTEUS de façon à avoir

EM +1,k = GM,M +1(υM)...G2,3(υ2)G1,2(φ1)G2,3(ω2)...GM,M +1(ωM) (2.52) où ωi = − arctan  y0_i yi+1  φi = −α yiyi0 λi υi = ωi+ φi y_i0 = yi pour i = M + 1 y0 = q y2+ y02 pour 1 ≤ i < M + 1 (2.53)

La factorisation (2.52) fait de PROTEUS-2 un algorithme de complexité O(N(M + 1)) plutôt que les O(N(M + 1)2_{) opérations requises pour PROTEUS.}