Analyse de l'apparition des faux positifs

L'estimation exacte du nombre de vecteurs propres appartenant à Esdevient complexe lorsque

(1) il existe au sein de la même trame deux échos de SNR très diérents ;

(2) le SNR de l'ensemble des échos est faible, ce qui fait que l'écart entre les valeurs propres des sources et celle du bruit est réduit ;

(3) il y a chevauchement entre certains échos.

Un exemple pour chacun de ces cas est illustré sur la gure3.22. Dans tous ces cas, la prise de décision est beaucoup plus dicile pour l'estimateur qui doit séparer les vecteurs propres pour les attribuer à Es ou à En . De plus, ces dicultés sont ampliées par le problème présenté

en 3.3.1.1, soit l'apparition de résidus des échos dans les vecteurs propres.

0 100 200 300 400 500 600 échantillons -0.5 0 0.5 1 Amplitude

Trois échos à SNR très différents dans une même trame (#1)

0 100 200 300 400 500 600 échantillons -3 -2 -1 0 1 2 Amplitude

Une trame complète à faible SNR (#2)

0 100 200 300 400 500 600 échantillons -0.5 0 0.5 1 1.5 Amplitude

Chevauchement de deux échos sur trois (#3)

3.3.1.1 Apparition de résidus dans les vecteurs propres

Soient les M +1 = 3 premiers vecteurs propres associés à la décomposition propre de la matrice e

RXX traitée et formée par une seule trame contenant M = 2 échos. La gure 3.23 permet

d'illustrer la trame et les 3 premiers vecteurs propres. De plus, la gure 3.24illustre le cas où aucun traitement n'est utilisé : tous les échos se retrouvent dans le même vecteur propre de par le problème de corrélation, cette solution n'est pas envisageable puisqu'il devient impossible de déduire le nombre d'échos [1]. À noter que les échos ont le même SNR.

0 100 200 300 400 500 600

-0.5 0 0.5

1 Trame contenant les données enregistrées par le capteur

0 100 200 300 400 500 600

0 0.2 0.4

0.6 Vecteur propre #1 associé au sous-espace source

0 100 200 300 400 500 600

0 0.2 0.4

0.6 Vecteur propre #2 associé au sous-espace source

0 100 200 300 400 500 600

-0.5 0

0.5 Vecteur propre associé au sous-espace bruit

Figure 3.23  Exemple de résultat de la décomposition propre d'une matriceRe_XX traitée

La forme du vecteur propre associé au sous-espace bruit de la gure3.23(le graphique du bas) témoigne d'un problème important : bien que le vecteur b de l'équation (1.16) ne contient que du bruit blanc, le bruit semble coloré dans ce vecteur. La preuve illustrée ci-bas démontre que la coloration du bruit est un eet secondaire du traitement pour éliminer la corrélation de la matrice Re_XX.

0 100 200 300 400 500 600 -0.5

0 0.5

1 Trame contenant les données enregistrées par le capteur

0 100 200 300 400 500 600

-0.2 0 0.2

0.4 Vecteur propre #1 associé au sous-espace source (sans traitement)

0 100 200 300 400 500 600

-0.2 -0.1 0 0.1

0.2 Vecteur propre #2 associé au sous-espace source (sans traitement)

0 100 200 300 400 500 600

-0.2 -0.1 0 0.1

0.2 Vecteur propre associé au sous-espace bruit (sans traitement)

Figure 3.24  Exemple de résultat de la décomposition propre d'une matrice Re_XX sans traitement

En présence d'une seule source, il est inutile de procéder au traitement de la matrice Re_XX tel que décrit à la section2.1.1 puisqu'il n'y a alors pas de corrélation. Une comparaison peut donc être eectuée entre les cas où seule l'équation (2.3) est utilisée et le cas où le traitement par matrice modèle est appliqué à Re_XX.

La gure3.25illustre la diérence entre le fait d'eectuer un traitement ou non pour la même situation de départ. Sur les deux graphiques de cette gure, le seul vecteur propre associé à Es est en bleu et les vecteurs propres associés à En sont en rouge. Les vecteurs propres de

En dans le cas sans traitement ne contiennent, comme attendu, que du bruit blanc. Lorsque

le traitement est utilisé, le vecteur propre associé à Es demeure le même mais ceux associés

0 20 40 60 80 100 120 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Vecteurs propres sans traitement

Vecteur propre source Vecteur propre bruit #1 Vecteur propre bruit #2

0 20 40 60 80 100 120 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Vecteurs propres avec traitement

Vecteur propre source Vecteur propre bruit #1 Vecteur propre bruit #2

Figure 3.25  Diérence avec la décomposition en valeurs propres avec et sans traitement de e

RXX (bleu = vecteur de Es, rouge = vecteurs de En)

tous centrés autour de l'écho du vecteur propre source. Ces déformations (ou résidus) sont engendrés par la modulation de la matrice Re_XX par la matrice RModele. Le premier résidu prend la forme de la dérivée première de l'écho, le second résidu de la dérivée seconde, etc. Ce résultat a pour eet de modier les valeurs propres associées à En. En eet, alors que

dans le cas sans traitement ces dernières sont toutes environ égales entre elles et égales à σ2_,

dans le cas avec traitement un palier intermédiaire apparaît entre les valeurs propres de Es

et celles égales à σ2_{. Les valeurs propres qui forment ce palier correspondent à celles associées}

aux premiers résidus de chaque écho.

Lorsque ces résidus sont inclus dans Es, ils ont pour eet de déformer le pseudospectre généré

par l'algorithme MUSIC ; la gure 3.26 en est un exemple. La trame utilisée contient quatre échos. Sur le graphique de droite, le pseudospectre est formé à partir des 4 premiers vecteurs propres de Es alors que sur le graphique de gauche il est formé à partir des 8 premiers. Ainsi,

l'inclusion dans Es des vecteurs propres qui contiennent les résidus a pour eet de camouer

la véritable position des échos. À noter qu'une petite étude est réalisée à l'annexe C sur la déformation du pseudospectre lorsqu'une fenêtre de type rectangulaire de largueur variable est utilisée pour former RModele plutôt qu'une fenêtre gaussienne.

Lorsque l'une des trois situations de la gure 3.22 survient, les valeurs propres associées aux résidus peuvent devenir un problème. Par exemple, pour la première situation où trois échos de SNR très diérents sont en scène, il n'est pas impossible que la valeur propre du résidu d'un

150 200 250 300 350 400 # échantillon 0 5 10 15 20 25 Amplitude (dB)

Pseudospectre formé par les 4 vecteurs propres de E_s uniquement

150 200 250 300 350 400 # échantillon 0 5 10 15 20 25 Amplitude (dB)

Pseudospectre formé par 4 vecteurs propres de E_s et 4 vecteurs propres de E_n

Figure 3.26  Comparaison des pseudospectres lorsque les vecteurs propres de Ensont utilisés

ou non

écho à haut SNR soit relativement plus élevée que celle de l'écho à faible SNR. Ce faisant, un estimateur du nombre d'échos aura tendance à relayer dans Enl'écho à faible SNR et à inclure

dans Es le résidu de l'un des échos à haut SNR. Cette situation est indésirable puisqu'elle

engendre simultanément un faux négatif et un faux positif.