Fenêtrage du sous-espace sources

Une estimation de la position des cibles est disponible au début de chaque séquence après l'application de la méthode directe. Ce faisant, il est envisageable d'utiliser ces estimés pour traiter les vecteurs propres de façon à ne conserver qu'un seul écho dans chacun d'entre-eux. Puisque le signal émis est de forme gaussienne, l'énergie d'un vecteur propre est concentrée

mg

p1 p2

N ?

?

Figure 3.9  Transformation requise par MUSIC pour le lissage spatial Algorithme du lissage spatial adapté

1 Suite à l'obtention de Es,0 au début d'une séquence, former Esl,0 à partir de (3.8) ;

2 À chaque nouvelle trame sur LSU trames :

Décomposer la trame entrante xk en g sous-groupes ;

Procéder g fois à une méthode de suivi partiel de la structure propre pour faire la mise a jour vers Esl,k;

Procéder g fois à l'algorithme MUSIC pour reconstruire le pseudospectre de dimension N.

Table 3.4  Résumé de l'algorithme du lissage spatial adapté aux signaux sans information de phase

autour de la position de l'écho. L'opération de fenêtrage n'est donc pas problématique du point de vue de l'approximation générée11_.

Le premier obstacle à l'utilisation du fenêtrage est le peu d'information fournie par l'algorithme MUSIC concernant le lien entre chaque vecteur propre et les positions estimées des objets dans la scène. En eet, suite à l'obtention du projecteur de l'espace bruit Pnet son utilisation dans

l'équation (2.17), il devient impossible de savoir quel pic du pseudospectre ps correspond à

tel vecteur propre. Cette information est nécessaire pour positionner la fenêtre dans chaque vecteur propre et ne conserver que la portion autour de l'écho. Une façon de contourner ce problème consiste à appliquer MUSIC M fois au début de la séquence, soit en formant Pnavec

un seul vecteur propre à la fois12_{. Il devient ainsi possible de déduire la position associée à}

chaque vecteur propre et de l'enregistrer pour la suite de la séquence13_{. La suite des opérations}

consiste à utiliser une fenêtre d'une certaine largeur centrée sur l'écho pour ne conserver que la portion d'intérêt, soit l'écho lui même et ses environs. Soit l'équation de fenêtrage

W ⊗ Es= eEs (3.10)

où la matrice W est dénie en fonction du type de fenêtre (rectangulaire, triangulaire, gaus- sienne, etc) et Ee_s est l'approximation du sous-espace sources après fenêtrage. Pour la fenêtre rectangulaire de largeur nF14, qui semble un choix judicieux an d'éviter de déformer les

échos, la matrice est donnée par

W = [w1 w2. . . wM −1 wM] =     0_p1−nF 2 ,1 0p2−nF2 ,2 . . . 0pM −1−nF2 ,M −1 0pM−nF2 ,M 1nF,1 1nF,2 . . . 1nF,M −1 1nF,M 0_{N −(p1+}nF 2 ),1 0N −(p2+ nF 2 ),2 . . . 0N −(pM −1+ nF 2 ),M −1 0N −(pM+ nF 2 ),M     (3.11)

où p = [p1. . . pM]T représentent l'estimation de la position des échos fournie par MUSIC. La

complexité algorithmique de l'opération (3.10) à elle seule est de O(NM). L'opération (3.10) est illustrée sur la gure 3.10où M = 2 et où les vecteurs de fenêtrage w1 et w2 sont illustrés

en rouge.

La largeur et la position de la fenêtre sont des facteurs de performance importants associés à cette méthode. Ainsi, il faut que la fenêtre soit au moins aussi large que chaque écho et même davantage an de compenser pour les déplacements et l'erreur de positionnement. Évidem- ment, il faut éviter lorsque possible le recouvrement des fenêtres entre chaque vecteur propre. En ce qui concerne le positionnement, soit le vecteur pFk qui contient la position de chaque

fenêtre à l'instant k. Les valeurs de ce vecteur peuvent être estimées de diérentes façons, par exemple, il est possible d'utiliser une position exponentielle pour les fenêtres telle que

p_F

k = µFpFk−1+ (1 − µF)pk (3.12)

ou la moyenne glissante dénie par l'équation (3.13) :

12. Il s'agit là de la façon la plus longue, il existe probablement d'autres façons de faire en intégrant un processus de prise de décision au fûr et à mesure que les vecteurs propres sont associés. Par exemple, dans un cas avec deux vecteurs propres et deux positions, il est inutile de procéder deux fois à MUSIC une fois une position associée (il ne reste qu'un choix).

13. Il est supposé que le même objet demeure lié au même vecteur propre pour toute une séquence. Cette hypothèse est jusqu'à présent validée en simulation.

2 1 F n p p1 1 1 2 N F n p 1 p2 p2n2F 2 2 nF p N

Figure 3.10  Illustration du processus de fenêtrage des vecteurs propres de Espar W (rouge)

pour former Ee_s

p_Fk = 1

Lpk−1 pk−2 ... pk−L 

(3.13) Cela étant dit, une mise au point s'impose concernant la position de la fenêtre à l'instant k. Lors de l'opération de fenêtrage du sous-espace sources Es,k, seule les positions à l'instant k−1,

soit pFk−1, sont connues puisque l'algorithme ne cherche pas à estimer la vitesse des échos. La

position de la fenêtre a donc toujours un léger retard sur la position de l'écho. Un problème qui peut alors survenir est celui de la gure 3.11où la fenêtre à l'instant k − 1 engendre une perte d'information sur la position de l'écho à l'instant k. Cette situation est à éviter puisqu'une portion de l'information contenue dans l'écho se retrouve alors exclue du vecteur propre et cela peut engendrer des imprécisions sur l'estimation de la position par l'algorithme MUSIC. Étant donné ce dernier problème, l'expression inertie de la fenêtre est dénie et fera référence au fait que la fenêtre anti-corrélation prend un certain temps à se déplacer et à se centrer sur la dernière position connue d'un écho. Par extension, le facteur d'oubli de la fenêtre µF est parfois

nommé facteur d'inertie. En pratique, il sut de conserver une largeur de fenêtre susamment élevée pour éviter que cette situation soit possible. Évidemment, l'équation (3.12) est sensible au bruit et il ne semble pas avantageux d'utiliser un facteur µF faible lorsque le SNR diminue.

Cet algorithme sera référé dans les résultats de la section3.2.4 comme Fenêtre Rectangulaire. Les étapes cruciales à son utilisation sont résumées dans le tableau3.5.

À noter qu'il est possible de réduire la dimension du problème de MUSIC lors du fenêtrage de façon à balayer uniquement la position autour des échos. Plutôt que de générer une matrice Pn

de dimension N, la matrice Pn est de dimension nF ce qui rend le traitement beaucoup plus

k-1 k k-1 Temps Perte d’information à l’instant k

Figure 3.11  Perte d'information à l'instant k du au mauvais alignement de la fenêtre Algorithme du fenêtrage rectangulaire

1 Suite à l'obtention de Es,0 au début d'une séquence, procéder à MUSIC vecteur propre

par vecteur propre pour déterminer quel pic du pseudospectre lui est associé ; 2 À chaque nouvelle trame parmis les LSU trames :

Procéder normalement à la mise à jour de la structure propre complète ou partielle ; Utiliser la fenêtre rectangulaire dénie par (3.11) pour ne conserver que la partie d'intérêt dans chaque vecteur propre ;

Procéder à l'algorithme MUSIC normalement ;

Utiliser les équations pour la fenêtre exponentielle ou rectangulaire pour mettre à jour la position de chaque fenêtre.

Table 3.5  Résumé de l'algorithme du fenêtrage rectangulaire