Injection graduelle de la corrélation dans le sous-espace sources initial

La corrélation est ré-introduite dans le sous-espace sources initial Es,0par l'opération de mise

à jour de rang 1. Soit la matriceRe_XX,k−1de (2.11). Pour simplier, lorsque le SNR est élevé6, cette matrice peut être approximée par

e

RXX,k−1≈ Es,k−1Λs,k−1ETs,k−1 (3.4)

où Es,k−1est le sous-espace sources décorrélé à l'instant k−1. L'estimation de la matriceRe_XX,k nécessite l'ajout de la trame à l'instant k, et ce, sous la forme de la matrice xkxTk. Puisque cette

dernière résulte de la multiplication de la trame par elle-même, les échos sur les diagonales supérieures et inférieures sont progressivement7 _{ré-introduit dansRe}

XX,k. Cela a pour eet de

faire tendre la matrice Re_XX,k vers une forme non Toeplitz. Bien que le développement soit ici fait avec la matrice Re_XX, il est trivial de démontrer la ré-introduction de la corrélation directement dans Es à travers les deux types d'innovation présentées en3.1.1.

La plupart des algorithmes de mise à jour de la structure propre prévoient la conservation de l'orthogonalité de Es. Ce faisant, en présence de sources non corrélées, la condition d'or-

thogonalité énoncée par l'équation (3.5) est susante pour garantir la bonne convergence de MUSIC. De façon équivalente, cette condition équivaut à admettre que rg(Es) → M.

ET_sEs→ IM (3.5)

En présence d'écho corrélés, cette dernière condition ne semble pas susante. En eet, la gure 3.4 illustre un exemple de l'utilisation de l'algorithme d'orthogonalisation de Gram-Schmidt sur un sous-espace sources corrélé suite à l'ajout de l'innovation. Dans cet exemple, deux objets (M = 2) sont sur la scène à des distances bien diérentes du capteur. Le premier graphique de cette gure illustre la première instance du sous-espace sources, soit Es,0, obtenue grâce

à la méthode directe. Sur le graphique du haut, il est évident que rg(Es,0) = 2 = M et

qu'il n'y a aucune corrélation entre les deux vecteurs propres. Le graphique du centre illustre l'état du sous-espace sources suite à une mise à jour avec l'algorithme DPM avant l'étape nale d'orthogonalisation, soit Us,1. Cette fois, les vecteurs propres ne sont pas orthogonaux

(l'indépendance linéaire est perdue) et ils sont corrélés puisque la formation de la matriceRe_XX à l'aide de Us,1 n'engendre pas la forme Toeplitz. L'utilisation subséquente de l'algorithme de

6. À haut SNR les vecteurs propres sources sont dominants par rapport aux vecteurs propres du bruit. 7. La progression est légèrement contrôlée par le facteur d'oubli µ.

Gram-Schmidt permet d'obtenir le graphique du bas. Les vecteurs propres sont maintenant à nouveau orthogonaux entre eux (il sut de faire le produit scalaire pour s'en convaincre) et il a été possible de restaurer la condition rg(Es,1) = rg(Es,0) = 2 = M. Toutefois, l'utilisation

de (Λs,1, Es,1) dans l'équation (3.4) ne permet toujours pas d'engendrer la forme Toeplitz

qui garantie l'indépendance des échos. Les vecteurs propres de Es,1 sont donc orthogonaux et

corrélés.

0 100 200 300 400 500 600

-0.5 0 0.5

Première instance du sous-espace source E

s,0 Vecteur propre #1 Vecteur propre #2 0 100 200 300 400 500 600 -2 -1 0 1

2Sous-espace source non-orthogonal suite à la mise à jour via l'algorithme DPM Vecteur propre #1 Vecteur propre #2 0 100 200 300 400 500 600 -0.5 0 0.5 Sous-espace orthogonal E s,1 suite à l'orthogonalisation de GS Vecteur propre #1 Vecteur propre #2

Figure 3.4  Eet de l'orthogonalisation sur des sources corrélées

Il semble donc nécessaire de conclure que la condition énoncée par l'équation (3.5) n'est pas susante. En eet, bien que la propriété d'orthogonalité de Essoit nécessaire, elle ne garantie

pas à elle seule la bonne performance de l'algorithme MUSIC8_{. En revanche, une structure} 8. L'algorithme MUSIC présenté en2.2repose sur le principe d'orthogonalité entre les vecteurs propres de Eset Enpour former des pics dans le pseudospectre. Le phénomène de corrélation ne détruit pas ce principe ; il s'attaque plutôt à la précision avec laquelle ces pics sont formés, en particulier lorsque le SNR diminue ou

propre non corrélée qui permet d'engendrer la forme Toeplitz de Re_XX semble une condition susante et c'est pourquoi plusieurs méthodes pour traiter la corrélation seront présentées en 3.2.3. L'utilisation de ces méthodes permet également de garantir l'orthogonalité de Es en

présence d'échos qui ne se chevauchent pas.

3.2.2 Utilisation du suivi du sous-espace sources sans tenir compte de la corrélation

Lors de la présentation de la méthode directe au chapitre précédent, le traitement (voir 2.1.1) appliqué à la matrice Re_XX doit être utilisé sans quoi tous les échos se retrouveront dans le même vecteur propre et contribueront à la même valeur propre. Cela a comme conséquence qu'il devient dicile pour un estimateur du nombre d'échos de déterminer le nombre de vec- teurs propres à inclure dans Es lors de la décomposition propre de la matrice Re_XX. Tel que constaté par [1], ce phénomène engendre également une perte de performance selon le SNR de détection minimal et selon le chevauchement maximal atteints par la méthode à complexité élevée.

An de démontrer que les mêmes constats peuvent être faits avec les méthodes de suivi de la structure propre, deux essais de performance sont réalisés. Chaque essai consiste à analyser l'erreur t sur la position estimée des objets dans la scène en fonction du SNR des trames

entrantes et le temps de traitement moyen par rapport à l'utilisation de la méthode directe. Le premier essai est composé de deux échos9 _{qui s'éloignent à 120 km/h du capteur sur 200}

trames. L'essai est répété 10 fois ce qui fait que 2000 trames sont générées pour chaque valeur de SNR. Les résultats sont illustrés sur la gure 3.5. À noter que les algorithmes API et PROTEUS-2 ne sont pas présents sur ces graphiques car leur performance est comparable à celles de FAPI et PROTEUS, respectivement.

Sur la gure 3.5, le graphique de l'erreur moyenne sur la position estimée en fonction du SNR illustre la limitation de la méthode directe expliquée en 3.1.2, soit le fait que lorsque le SNR diminue, celle-ci devient de moins en moins ecace (d'autant plus de son utilisation comme méthode de suivi du sous-espace sources). Il est intéressant de noter que la plupart des algorithmes suivent la tendance de la méthode directe concernant l'erreur en fonction du SNR. Ainsi, l'algorithme de sphéricalisation de Karasalo présente un bon taux de rejet du bruit alors que les algorithmes FPDM et PROTEUS semblent très peu résistants face à la corrélation résiduelle dans le sous-espace sources Es. Par ailleurs, le temps de traitement est

environ le même pour toutes les méthodes. En eet, bien que la complexité algorithmique est, pour certaines, de O(NM) et, pour d'autres, de O(NM2_{), le temps de traitement est}

largement dominé par l'emploi de l'algorithme MUSIC (le même dans chaque cas). Ainsi, la moyenne se situe à environ 65% du temps de traitement requis par la méthode directe, c'est

lorsque le chevauchement entre les échos augmente.

0 5 10 15 20 25 SNR (dB) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Erreur moyenne sur la position

ǫt

(échantillons)

Erreur sur la position en fonction du SNR - Sans Traitement

Méthode Directe DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS 0 20 40 60 80 100 120 140 Trames 58 60 62 64 66 68 70 72

% du temps d'exécution de la méthode directe

Temps d'exécution des méthodes - Sans Traitement.

DPM FDPM PAST PASTd FAPI Karasalo PROTEUS

Figure 3.5  Eet de l'utilisation du suivi de la structure propre sans traitement anti- corrélation

donc dire que le suivi de la structure propre requiert environ 1

3 fois moins de temps de calcul

que l'utilisation continue de la méthode directe. Considérant que la plupart des méthodes ont environ la même erreur de position en fonction du SNR que la méthode directe, il s'agit là d'un gain.

Le second essai consiste à vérier jusqu'à quel point la performance des algorithmes est dé- gradée en présence de deux échos qui eectuent un croisement. La position de chaque écho en fonction du temps est illustrée sur la gure 3.610_{. Les barres d'erreur sur ce graphique}

permettent d'indiquer la largeur de chaque écho (pour rappel, la largeur des échos est de nmod = 16 échantillons). Chaque essai comporte 600 trames et est répété 5 fois pour dié-

rentes valeurs de SNR (pour un total de 3000 trames simulées par valeur de SNR). Les résultats

10. À noter que toutes les trames ne sont pas achées sur ce graphique pour faciliter la visualisation du croisement.

de cet essai sont illustrés sur la gure 3.7. 200 250 300 350 400 Trames 110 115 120 125 130 135 140 145 150

Positions en portée des échos

Déplacement des échos pour l'essai de chevauchement

Figure 3.6  Essais de performance associés au critère de croisement

L'erreur sur la position en fonction du SNR semble indiquer que l'algorithme de Karasalo présente l'une des meilleures performances. En eet, bien que Karasalo soit surpassé à faible SNR par les algorithmes FDPM et PROTEUS, ces derniers ont une performances globales plutôt faible avec des erreurs élevées même à haut SNR. Il est intéressant de constater que la plupart des méthodes de suivi partiel de la structure propre suivent la tendance de la méthode directe mais deviennent, en général, légèrement plus précises à faible SNR. Pour ce qui est du temps de traitement, ce dernier est encore une fois autour de 66% de celui de la méthode directe, et ce, pour tous les algorithmes. L'augmentation globale du temps de traitement au milieu de l'essai est attribuable à la diminution du temps de convergence de la décomposition propre utilisée par la méthode directe lorsque les échos se chevauchent.