L45 [V2-VàC] – Limite d’une fonction réelle d’une variable réelle

9

Limte d’une fonction réelle d’une

variable réelle

45

Leçon

n°

Niveau Première S-Terminale S Prérequis _fonctions

Références [141], [142]

45.1

Introduction

Exemple 45.1 On considère la fonction f définie sur]1 , +∞[ par :

f(x) = 3x − 4 x− 1.

1. Si on calcule les valeurs de f quand x deviennent très grand, on obtient :

x 2 5 10 50 100 1000 10000

f(x) 2 2, 75 2, 88889 2, 97959 2, 98989 2, 99899 2, 99989

On constate que lorsque les nombres x devient de plus en plus grands, les nombres f(x) s’approchent aussi près que voulu du nombre3. On dire que la limite f en +∞ est égale à 3. 2. Si on calcule maintenant les valeurs de la fonction lorsque la variable x s’approche de plus en

plus de la valeur interdite1 :

x 0, 5 0, 8 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 1 1, 0001 1, 001 1, 01 1, 1 1, 2 1, 5 2 f(x) 5 8 13 103 1003 10003 × −9997 −997 −97 −7 −2 1 2

On dira alors que f n’a pas de limite ou mieux : — la limite de f en 1 à gauche est égale à+∞ — la limite de f en 1 à droite est égale à −∞.



45.2

Définitions

45.2.1 Limite d’une fonction en_+∞

On donne tout d’abord des définitions intuitives de la limite :

Définition 45.2 Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus :

grands a_{, on dit que f a pour limite+∞ en +∞ et on note :}

lim

x→+∞f(x) = +∞.

grands en valeurs absolue mais négatifs on dit que f a pour limite −∞ en +∞ et on note lim

FIGURE45.1 – Représentation graphique de la fonction x 7→ f(x) = 3x−4_x−1

proches d’un réel ` b<sub>, on dit que f a pour limite ` en+∞ et on note</sub>

lim

x→+∞f(x) = `.

a. Par l’expression « de plus en plus grand », il faut entendre « aussi grand que voulu ». b. Par l’expression « de plus en plus proche », il faut entendre « aussi proche que voulu ».

On donne maintenant des définitions plus rigoureuses bien qu’elle ne soit pas utilisé en classe de Première S.

Définition 45.3 1. Si pour tout réel M positif, il existe un réel A tel que :

x≥ A ⇒ f(x) ≥ M, alors on dit que f a pour limite+∞ en +∞ et on note

lim

x→+∞f(x) = +∞.

2. Si pour tout réel M négatif, il existe un réel A tel que :

x_{≥ A ⇒ f(x) ≤ M}

alors on dit que f a pour limite −∞ en +∞ et on note lim

45.2 Définitions 11

3. S’il existe un réel ` tel que pour tout intervalle]` − ε , ` + ε[, (ε > 0) et il existe un réel A tel que :

x≥ A ⇒ f(x) ∈ I. Alors on dit que f a pour limite ` en+∞ et on note

lim x→+∞f(x) = `. Exemples 45.4 1. lim x→+∞ 1 x = 0, 2. lim x→+∞(2 + 1 x) = 2, 3. lim x→+∞ 1 x2 = 0, 4. lim x→+∞ √ x= +∞, 5. lim x→+∞x 2 _{= +∞,} 6. lim x→+∞(−3x) = −∞, 7. lim x→+∞x 3 _{= +∞,} 8. lim x→+∞(− x2 2 ) = − − ∞.  R 45.5 Il existe des fonctions qui n’ont pas de limite en+∞, c’est le cas, par exemple, pour la fonction sinus et

cosinus.

45.2.2 _{Limite d’une fonction en −∞}

Définition 45.6 Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type]−∞ , a[. Lorsque −x prend des valeurs de plus en plus grandes, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus

grands, on dit que f a pour limite +∞ en −∞ et on note lim

x→−∞f(x) = +∞

proches d’un réel `, on dit que f a pour limite ` en −∞ et on note lim

x→−∞f(x) = `

grands en valeurs absolue mais négatifs, on dit que f a pour limite −∞ et −∞ et on note lim x→−∞f(x) = −∞. Exemples 45.7 1. lim x→−∞ 1 x = 0, 2. lim x→−∞x 2 _{= +∞,} 3. lim x→−∞(2 + 1 x) = 2, 4. lim x→−∞x 3 _{= −∞.} 

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

45.2 Définitions 13

y

x

FIGURE45.3 – La fonction sinus n’a pas de limite en+∞

y

x

y

x

45.2.3 Limite d’une fonction en un réel a

Définition 45.8 Soit f une fonction définie sur un domaine D contenant a ou tel que a soit une borne de D. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus

grands, on dit que f a pour limite +∞ en a et on note lim

x→af(x) = +∞.

proches d’un réel `, on dit que f a pour limite ` en a et on note lim

x→af(x) = `.

grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que f a pour limite −∞ en a et on note lim x→af(x) = −∞. Exemples 45.9 1. lim x→0 1 x2 = +∞, 2. lim x→0− 1 √ x = −∞, 3. lim x→2(x 2_{− 5x) = −6.}  y x (a)limx→0x12 = +∞

y

x

y

x

FIGURE45.5 – Limite d’une fonction en un point a

R 45.10 Il existe des fonctions qui n’ont pas de limite en a ; c’est le cas de la fonction inverse, qui n’a pas de limite

45.3 Opérations sur les limites 15

45.2.4 Limite d’une fonction à droite (ou à gauche)

La fonction inverse n’a pas de limite en0, car si x s’approche de 0, les nombres 1

x ne rentrent

pas dans le cadre de la définition45.8. Cependant, on peut parler de limite « à droite » et de limite « à gauche » : on note alors0+_{pour signifier que x s’approche de0 par valeur supérieure et 0}−_pour

signifier que x s’approche de0 par valeur inférieure. Ainsi, on a : lim x→0− 1 x = −∞ et xlim→0+ 1 x = +∞.

y

x

FIGURE45.6 – Limite à gauche et à droite

45.3

Opérations sur les limites

Propriété 45.11 Les tableaux45.1,45.2et45.3permettent de donner, dans certains cas, la limite de la somme et du produit de deux fonctions f et g, ainsi que la limite de l’inverse d’une fonction f lorsqu’on connaît la limite de deux fonctions. Les limites peuvent être des limites en+∞, en −∞, en x0, des limites à droite ou à gauche, mais bien entendu toutes les limites utilisées doivent être de

même nature.

Si f a pour limite ` ` ` +∞ −∞ +∞

Si g a pour limite `0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

Alors f+ g a pour limite ` + `0 _{+∞ −∞ +∞ −∞ forme ind.}

TABLE45.1 – Limite d’une somme

Si f a pour limite ` `0 _{6= 0} +∞ ou −∞ 0

Si g a pour limite `0 +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞

Alors f + g a pour limite ` × `0 _{+∞ ou −∞ +∞ ou −∞(suivant les signes) forme ind.}

Si f a pour limite `0 6= 0 0+ 0− _{+∞ ou −∞}

Alors 1_f a pour limite 1_` +∞ −∞ 0 TABLE45.3 – Limite d’un inverse

R 45.12

1. Les résultats des deux tableaux précédents permettent de trouver les résultats pour un quotient. 2. Les formes indéterminées sont de deux types exprimés sous forme abrégée par :+∞ − ∞, 0 × +∞.

Exemples 45.13 1. lim x→+∞(x 3_{+x+15) = +∞ car lim} x→+∞x 3 _{= +∞ et lim} x→+∞(x+15) = +∞. 2. lim

x→+∞(−2x(x + 3)) = −∞ car limx→+∞(−2x) = −∞ et limx→+∞(x + 3) = +∞.

3. lim x→0+ 1 x(x−2) = lim_x →0+ 1 x x−2 = −∞ car lim_x→0+ 1 x = +∞ et lim_x →0+(x − 2) = −2. 

Propriété 45.14 — La limite d’une fonction polynôme en+∞ ou en −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

— La limite d’une fonction rationnelle en+∞ ou en −∞ est égale à la limite du quotient des termes des plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemples 45.15 1. lim x→−∞P(x) = limx→−∞−3x 3_+2x2_{+3x−5 = +∞ car lim} x→−∞−3x 3 _{= +∞.} 2. lim x→+∞R(x) = limx→+∞ x2+1 3x+2 = +∞ car lim_x→+∞x 2 3x= lim_x→+∞x3 = +∞. 

45.4

Asymptotes

Définition 45.16 — Asymptote horizontale. Si lim

x→+∞f(x) = k (resp limx→−∞f(x) = k) on dit que la

droite d’équation y= k est une asymptote horizontale à la courbe Cf en+∞ (resp. en −∞).

 Exemple 45.17 lim

x→+∞(2 + 1

x) = 2, donc la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 2 + _x1 admet une asymptote horizontale d’équation y= 2 en +∞. 

45.4.2 Asymptote verticale

Définition 45.18 — Asymptote verticale. Si une fonction f admet une limite infinie à gauche ou à droite en un réel a, on dit que la droite d’équation x= a est une asymptote verticale à la courbe Cf.

Exemple 45.19 lim

x→2+ 1

x−2 = +∞ (et lim_x→2− 1

x−2 = −∞) donc la courbe représentative de la fonction

f définie par f(x) = _x−21 admet une asymptote verticale d’équation x= 2. 

45.5

Théorème de comparaison

45.5 Théorème de comparaison 17

y

x

FIGURE45.7 – La courbe représentative de la fonction f : x 7→ 2 +_x1 admet une tangente horizontale

d’équation y = 2 en +∞

y

x

FIGURE 45.8 – La courbe représentative de la fonction f : x 7→ _x+21 admet une tangente verticale

Théorème 45.20 Soit f, u et v des fonctions définies sur un intervalle du type[a , +∞[. — Si, pour x assez grand, on a f(x) ≥ u(x) et si lim_x

→+∞u(x) = +∞ alors limx→+∞f(x) = +∞.

— Si, pour x assez grand, on a f(x) ≤ v(x) et si lim_x→+∞v(x) = −∞ alors lim

x→+∞f(x) = −∞.

Il existe des théorèmes analogues pour des limites en −∞ et en a.

Exemples 45.21 1. Soit f(x) = −x + sin(x). On calcule limx→+∞f(x). On pose v(x) =

−x + 1. Comme, pour tout x, sin x ≤ 1, on a, pour tout x, f(x) ≤ v(x). Or, lim x→+∞v(x) = −∞ donc lim x→+∞f(x) = −∞. 2. Soit g(x) = √1+x2

x2 . Calculerlimx→0g(x). On pose u(x) = x12. Comme, pour tout x, on a

1 ≤√1 + x2_{, on a, pour tout x, g(x) ≥ u(x). Or,}

lim x→0u(x) = +∞ , donc lim x→0g(x) = +∞. 

45.5.2 Théorème d’encadrement ou théorème des « gendarmes »

Théorème 45.22 Soient f, u et v des fonctions définies sur un intervalle du type[a , +∞[. Si, pour x assez grand, on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si lim x→+∞u(x) = limx→+∞v(x) = ` alors lim x→+∞f(x) = `. Dv

•Démonstration —Soit a ∈ R. Pour tout intervalle ouvert U contenant ` :

— Puisque limx→af(x) = `, il existe un voisinage V1 de a tel que pour tout x de V1,

f(x) ∈ U.

— Puisque limx→ah(x) = `, il existe un voisinage V2 de a tel que pour tout x de V2,

h(x) ∈ U.

— Enfin, d’après la propriété d’encadrement, il existe un voisinage V3de a tel que, pour tout

xde V3, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

L’intersection de trois voisinages est un voisinage donc V = V1∩ V2∩ V3est un voisinage de

aet pour tout a de V , on a : _     f(x) ∈ U h(x) ∈ U f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

45.5 Théorème de comparaison 19 d’où il vient que pour tout voisinage U contenant `, il existe un voisinage V tel que x ∈ V

implique g_{(x) ∈ U. Ce qui prouve que :} lim

x→ag(x) = `.

•

Il existe des théorèmes analogues pour des limites en −∞ et en a.

Exemples 45.23 Soit f la fonction définie sur R∗par :

f(x) = 1 + sin x x .

On veut calculerlimx→+∞f(x). On pose :

u(x) = 1 − 1

x et v(x) = 1 +

1

x.

Comme, pour tout x 6= 0, on a :

−1 ≤ sin x ≤ 1, on en déduit que, pour tout x 6= 0 :

u(x) ≤ f(x) ≤ v(x). Or lim x→+∞u(x) = limx→+∞v(x) = 1, donc : lim x→+∞f(x) = 1. 

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