x 1 En section C et D, on n insistera pas sur les définitions formelles

(1)

D Limites à l’infini

 Notion intuitive d’une limite en infini Soit la fonction f définie par: 2 1

( ) 1

f x x x

 



lim ( ) 2

0, 0 , ( ) 2

x

f x

tel que x f x

  

          

Dans le livre EM 5.6, nous trouvons des explications graphiques, des définitions intuitives et les définitions formelles des autres cas de limites en infini aux pages 89-93.

Remarque: En section C et D, on n’insistera pas sur les définitions formelles

 Travaux pratiques avec la V200/Excel - 1

But de ce TP: Utiliser la V200/Excel pour explorer le comportement à l’infini de fonctions rationnelles.

Exercice 1: Calculez sur la V200 les limites à l’infini des fonctions homographiques suivantes:

1 2 1 3 1 3 1

lim lim lim lim

2

3 1 3 5 3 7 4 5

lim lim lim lim

3 3 3 5

x x x x

       

   

   

   

   

  

Constat 1: Pour déterminer la limite x  d’une fonction homographique, il suffit de calculer le rapport des coefficients des termes en x.

Exercice 2: Calculez sur la V200 les limites à l’infini des fonctions rationelles suivantes:

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 7 1

lim lim lim lim

2 7 5 2 7 5 2 7 5 2 3 2

lim lim lim lim

2 2 5 4 5 1

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

   

         

           

  

Constat 2: Pour déterminer la limite x  d’une fonction rationnelle de même degré au numérateur N qu’au dénominateur D, il suffit de calculer le rapport des coefficients des termes de la plus grande puissance en x (variable).

Cf

2 AH y

(2)

Exercice 3: Contrôlez sur la V200 si les constats 1 et 2 se vérifient également sur les exemples suivants:

4 3 4 3 3 2

3 5 3 2 4 2

2 2 3 2 2

2 2

3

5 7 5 7 5 7 5 7 5

lim lim lim lim

4 2 2 4 2

5 1 5 2 5 1

lim lim lim lim

1 2

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

   

           

     

           

  



Constat 3: Pour déterminer la limite x  d’une fonction rationnelle dont le degré au numérateur N diffère de celui du dénominateur D, il suffit de calculer la limite du rapport des termes de N et D, possédant respectivement la plus grande puissance en x .

Exercice 4: Contrôlez sur la V200 si les constats se vérifient également pour les limites où x , pour autant que la fonction soit définie pour x .

2 3 4 2

2 3 4 3 2

3 4 5

4 2 3 2

1 2 1 3 1 3 1

lim lim lim lim

2

3 1 3 5 2 7 4 5

lim lim lim lim

3 2 1 2 5 1

1 1 2 7 4 9

lim lim lim lim

3 2 1

x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

   

   

   

   

   

    

   

   

    

Motivation mathématique des résultats obtenus Exemples-types:

0 0

2

2 2 2

2 2

0

7 5 7 5

2 2

2 7 5

1) lim lim lim 1

5 5

2 5 2 2

x x x

x x x x x x x

x x x

x x

 

     



 

     

     

 

    

1 7

3 3

3 5

2 2

14

7 6

3 4

4 3

3

1

5 6

2

5 15 2 6

5 2

2 3 2

3

0

5 5 5

2) lim lim lim

1 1 1

1 5 1

5

lim lim lim 5 0

1 1

x x x

x x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x

x x

  



  



    

 

   

 

 

 

  

 

    

   

   

   

   

     

 

(3)

Règle à retenir - 1 Comment lever l’indétermination de la limite d’une fonction rationnelle ?

 0

lim ( ) " ", : 0

x a

si f x a

   On factorise N et D et on simplifie par le facteur



^x^^a



, facteur qui apparaît certainement, car a est nécessairement racine de N et de D.

 lim ( ) " ":

x x

si f x



 

 On met en évidence la plus grande puissance de la variable x et on simplifie avant de recalculer la limite.

 Opérations sur les limites cf livre (similaires à celles pour les limites finies)

 Travaux pratiques avec la V200/Excel - 2

But de ce TP: Utiliser la V200/Excel pour explorer le comportement à l’infini de fonctions irrationnelles.

Remarque importante: Avant de commencer ce TP, il faut signaler qu’un résultat de la forme "   " est une forme indéterminée, qu’il s’agit de s’appliquer à lever.

Exercice 1: Calculez sur la V200 les limites à l’infini des fonctions irrationnelles suivantes:

2 2

2

3 5 4 1

lim lim lim

1 5

x x x

x x x x x x x

x x x x

  

     

  

 

Est-ce que la règle pour lever les indéterminations de fonctions rationnelles fonctionne toujours pour ce type d’exemples ? Expliquez en effectuant les calculs à la main.

Exercice 2: Calculez sur la V200 les limites à l’infini des fonctions irrationnelles suivantes:



²



2



²



lim 3 4 9 lim lim 1

x x 1 x

x x x x x

x x

         

 

Est-ce que la règle pour lever les indéterminations de fonctions rationnelles fonctionne toujours pour ce type d’exemples ? Expliquez en effectuant les calculs à la main et en spécifiant la problématique spéciale à ce type d’exemples.

En vous rappelant les méthodes pour lever les indéterminations de fonctions irrationnelles en une valeur finie, essayez de faire les calculs nécessaires pour lever les indéterminations à la main.

Remarque: Avant de faire l’exercice 3, il convient de rappeler la définition suivante:

: 2

a a a

  

Exercice 3: Refaites les exercices 1 et 2 ci-dessus pour x , pour autant que les fonctions soient définies pour x .

(4)

Règle à retenir – 2 Comment lever l’indétermination de la limite à l’infini d’une fonction irrationnelle ?

 lim ( ) " ":

x

si f x



 

 Pour lever une indétermination de la limite à l’infini du type ""

 dans le cas d’une fonction irrationnelle, il faut mettre en évidence au N et au D la plus grande puissance de la variable x et on simplifie avant de recalculer la limite.

 lim ( ) " ":

x

si f x

     Pour lever une indétermination de la limite à l’infini du type "  "

dans le cas d’une fonction irrationnelle, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le (ou les) binôme(s) conjugué(s) pour simplifier ensuite par le facteur commun à N et D

L’indétermination du type «    » s’explique au mieux par l’image ci-jointe qui montre que chaque famille emploie une « force infinie » pour gagner .

La famille de gauche tire la corde vers «  », alors que la famille de droite tire vers «  ».

Il semble clair que, si l’on additionne ces deux forces, le résultat n’est pas évident dès le début, d’où la forme indéterminée.

Exemples résolus 1

 

2 2

, 0

9 9

1) lim lim . . " "

9 9

1 1

lim lim lim

x x

x x x

x x car x

x x x x

f i du type

x x

x x x x x

x x

 

  

 

          

   

   ²

1 1 9 x x

 

 

 

 

2 9

' : lim 2 2

x

x x

D où AH y pour x

 x

 

    

 

2 2

, 0

3 3 3 3

2) lim lim . . " "

4 4

3 3

3 1 3 1

lim lim lim

4 4

x x

x x x

x x car x

x x x x

f i du type

x x

x x x x x

x x

 

 

  

 

          

   

   ²

3 1 3 4

x x

 

 

 

 

3 2 3

' : lim 1 1

4

x

x x

 x

      

(5)

Exemples résolus 2

   

2

2 2 2

2 2

9 9

3) lim lim . . " "

lim 9 lim

x x

x x x x

f i du type

x x

x

x x x x

x

 

 

   

       

 

   

 

  

  

 

x2



2

, 0 2

2

9 9 lim 9

1 9 lim 9

9

' : lim 9 0 0

x x x car x x

x

x x x

x x x x

x x x

x x

x

 

 

 





 

   

 

  

    

       

 

 

 

    

   

2 2

2

2 2

9 9

4) lim lim . . " "

1 1

9 1

lim 9 1 lim

1 1

x x

x x x x

f i du type

x x x x

x x

x

x x

 

 

 

 

     

   

   

   

       

   

       

 

 

   

 

 



  x²

2 2

1

lim 9 1

' : lim 9 '

1

x

x x x x

x x

D où pas d AH pour x

x x



 





 

   

         

 

 

     

 

Quelques exercices mélangés Déterminez les limites aux bords du domaine de définition des fonctions suivantes et esquissez rapidement le graphe de chacune de ces fonctions :

   

2 2

2

2 2

3 2 1 2 4 9

1) 2)

9 1

2 5 2 9 1

3) 4)

1 4

3 4 1 2 1

5) 6)

1 1

x x x x

f x f x

x x

x x x x

f x f x

x x x

x x x x

f x f x

x x x x

   

 

 

   

 

  

   

 

   

(6)

 Travaux pratiques avec la V200/Excel - 3

But de ce TP: Utiliser la V200/Excel pour explorer le comportement à l’infini de fonctions rationnelles lorsque le ^degré^_^{N x}

 

^{ }_ ^degré^_^{D x}

 

^{ }_ ¹^.

Exercice : Calculez sur la V200 les limites à l’infini des fonctions rationnelles suivantes et esquissez les graphes pour en conclure à l’existence d’une asymptote éventuelle, qu’il s’agit de déterminer:

 

² ² ³ ¹

 

³ ₂² ² ²

 

² ² ³ ¹

1 3 4

x x x x x x x

f x f x f x

x x x x

       

  

   

Indication Pour résoudre ce type d’exercice, il est conseillé d’utiliser la division de polynômes, division qui se fait sur la V200, à l’aide de la commande propfrac f x

 

.

Exemples-types

1) Etudier les limites de la fonction f donnée par

 

² ² ³

2

x x

f x x

 

  et en déduire l’existence des asymptotes à la courbe C_f .

Résolution

 



   

2 2 2

2 2

2

3 2

2 3

lim 2 2 0

0

2

lim lim lim '

f

x

x x

x

D

x x x

TDS x

x

AV x

f x x x pas d AH

x



 

  





  

   

   

    

 

  

   





Par division:

 

1

est l'équation 2

d'une droite 1 bissectrice

3 2

ere

y x

y r x

f x x

  x

 

  

C 

C

Méthode alternative, utile en classe de 1^ere : Décomposition de la fraction algébrique:

 

     

ere

2 2

la 1 fraction se simplifie par le facteur (x+2)

1 2

2 3 2 3

2 2 2

2 3 3

2 2 2

x x x x

f x x x x

x x x f x f x

x x x

   

  

  

  

     

  

Nous obtenons ainsi une somme de deux fonctions que nous arrivons à construire facilement

(7)

Construisons donc, point par point, les graphes de ces deux fonctions composant cette somme.

Explication:

1 2 1 1 2 2

: , ,

f P P P f f f

x D y y y avec P P P

    C C C

 Il est facile de contrôler que la droite AH₂  y 0 est asymptote horizontale à la courbe

f2

C . Il s’ensuit que la différence entre cette courbe et son asymptote horizontale tend vers 0, si x tend vers  .

 Cette différence tendant vers 0, la courbe C_f s’approche de plus en plus de la droite

 

yx  f1 x  , expression de la fonction f₁ . Cette droite, qui n’est pas horizontel, mais oblique (schief), devient par conséquent une asymptote oblique , notée AO y x, à la courbe C_f .

Remarques:

 Une telle asymptote oblique n’existe pour les fonctions rationnelles que dans le seul cas où la degré du numérateur dépasse le degré du dénominateur de 1.

 Dans le cas d’une fonction rationnelle dont le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur, ces méthodes par division/décomposition peuvent également servir pour la détermination de l’asymptote horizontale.

 Au cas où le degré du numérateur d’une fonction rationnelle dépassait le degré du dénominateur de 2, on obtiendrait une parabole asymptotique (courbe asymptotique de degré 2)

 Il existe également d’autres fonctions pouvant admettre une AO à la courbe, comme p.ex. des fonctions renfermant des racines carrées.

(8)

2) Etudier les limites de la fonction f donnée par

 

² ² ⁷ ³

2

x x

f x x

 

  et en déduire l’existence des asymptotes à la courbe C_f .

Résolution

 



   

2 2 2

2 2

2

3 2

2 7 3

lim 2 0 2 0

2

lim lim 2 lim 2 '

x f

x

x x x

x

D

x x x

TDS x

x

AV x

f x x x pas d AH

x



 

  









 

   

 

      

 

  

   





Par division:

 

2 3  

est l'équation d'une droite

2 3 3

y x 2

r x

f x x

  x

   



Comme ^lim

 

⁰

x

r x  , la courbe de f s’approche de plus en plus de la droite d’équation y2x3 à fur et à mesure que x . Cette droite est par conséquent une asymptote à la courbe C_f . Cette droite étant une droite oblique (schief), puisque la pente est égale à m2, nous allons désigner celle-ci comme

asymptote oblique à la courbe.

Cette situation est bien illustrée par le graphique ci-dessus.

3) Recherchez les asymptotes obliques aux courbes des fonctions suivantes en utilisant la méthode de décomposition des fractions algébriques et contrôlez vos résultats par la division formelle :

   

2

3 2 1 1

3 2 3 2

2 5 5 2

3 3

2 1 2 1

2 3 4

1 1

5 4 2

3 3

2 2

x x

f x f x x AO y x

x x

g x g x x AO y x

x x

h x h x x AO y x

x x

k x k x x AO y x

x x

  

    

 

  

      

 

  

        

 

  

        

   