Sur la décomposition en fractions simples d'une fonction rationnelle homogène

B ULLETIN DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES

C YPARISSOS S TEPHANOS

Sur la décomposition en fractions simples d’une fonction rationnelle homogène

Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 2^e série, tome 8, n^o1 (1884), p. 120-144

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PREMIÈRE PARTIE.

i

MÉLANGES.

SÜR LA DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES D'UNE FONCTION RATIONNELLE HOMOGÈNE;

PAR M. CYPAAISSOS STEPHANOS,

Lorsqu'on considère la décomposition en fractions simples d'une fonction rationnelle

...

(où cp et ƒ désignent deux formes binaires cp = cp*.m et f = a™+i•>

dont la seconde a son discriminant D différent de zéro), on est conduit à remarquer que la somme des fractions du premier degré, dans le résultat de la décomposition en question, est égal à

t= t™~1 représentant un covariant simultané des deux f ormes cp et ƒ, et que, de même, la somme des fractions restantes est

égale à }

I 2iL2iL

D ƒ ' i Mt << I

où OL= aj/rt représente également un covariant simultané des deux f ormes cp et f.

En allant plus loin, on reconnaît que la forme a coïncide avec lajacobienne ( ƒ, s){ de f et d'une autre f orme s = s'£+xy laquelle constitue encore un covariant simultané des deux formes cp et f.

Les formes s et t satisfont ainsi à la relation et sont, par conséquent, telles que l'intégrale

soit égale à

II nous a semblé intéressant d'examiner les propriétés des formes

s et t ainsi définies. Cette étude nous a conduit à divers résultats, dont nous nous proposons d'exposer quelques-uns dans le petit travail qui suit (*).

A côté de propriétés se rattachant directement à la décomposi- tion en fractions simples, la présente Note contient aussi quelques autres résultats qui ne me paraissent pas dénués de tout intérêt.

Parmi ceux-ci, je citerai avant tout les résultats du n° 24, relatifs à la forme A = À^.w~3, dont l'évanouissement identique constitue la condition nécessaire et suffisante pour que la forme ƒ = a™+l

admette deux racines doubles distinctes ou bien une racine qua- druple.

Dans une prochaine occasion, nous espérons revenir sur quel- ques autres propriétés des formes s et t, relatives à la manière dont on peut représenter ces formes au moyen d'opérations ( Ueber- schiebungen) portant une seule fois sur chacune des formes cp, ƒ et le covariant A = A£/n~2 de ƒ, défini par les relations

( A , / )m= o , ( A , / W i = o ( « ) .

Formules et remarques préliminaires.

1. Rappelons tout d'abord certaines formules où figurent les racines de ƒ = a™+1 et qui nous seront bien utiles par la suite.

(') La plupart des résultats de cette Note (n0§ 1-22) nous étaient déjà connus lors de la rédaction de notre Mémoire Sur les faisceaux de formes binaires ayant une même jacobienne (présenté à l'Académie des Sciences dans la séance du i2 décembre I88I, et inséré dans le t. XYVI1 du Recueil des Mémoires des Sa- vants étrangers, t883). Le § 4 de la première Partie du Mémoire en question est consacré à l'étude de faits étroitement liés avec ceux exposés dans la présente Note.

(2 ) P. S. — Dans une Note Sur l'intégration d'une fonction rationnelle homogène, insérée dans les Comptes rendus du 3 décembre i883 (t. XGVII, p. 1290), nous avons indiqué la solution d'une question plus générale dont voici l'énoncé :

Etant données deux formes binaires

9-=<p£H-»'-i et f=aHl+1

ou

mⁱ -+- m -b 2 Z ( m -\- 1) ( n -H T ) ,

déterminer l'expression générale des formes S et T, d'ordres respectifs m, et

ü PREMIÈRE PARTIE.

Les facteurs linéaires de ƒ seröofc désignas p ^ r îciiu m u i n - ), (xxx)f . . . >

étant posé, pour abréger,

i , ^ ^UIMII jroq ouci id

N o u s a u r o n s ainsi

ƒ = ar*1 = ( ^ 1 X ^ 2 ) .. (xxm+i).

De là on déduit

Maintenant, si l'on pose \\\H^

A U\\

on aura (3) (4)

De la formule (4) on déduit

wt — (n — i ) ( / n + i ) - 2 , satisfaisant à lafrelatîbn / D"? = (/,S);+/»T

( o à D désigne le discriminant def7 supposé différent dé zero). ^ La détermination de ces formes S et T est ramenée égatement à ta considéra-

tion de la forme A. f

Quant aux formes s et t, considérées dans là présente Note, elles ont pour ex- pressions

étant pose

Î Î »

T = t } " - * = [( a f ) a"y< 9ll ?f ' - - — - ( a f ) a ï ip2r'"~l « • "•

Nous aurons ainsi, par suite de ^3), ' ^ u i i n l n u j ! n Si l'on pose maintenant \

Idlïlh dffOTiJC

on aura, conformément aux formules précédentes, (6; (™-t- i)a^aîî = (yxi)p"\,

j jr 1 )!) no iJ oCJ

7ïl -+" I o F»»_f / \ ƒƒ!_ 1

(7) - £ - « ! « * 17»(7^)Pr/'": '• MV ( ) )

Soit remarqué, en passant, que ^a dernière de ces formules ex- prime cette propriété bien connufiuju'e^a/^ donné un groupe db}

m 4-i éléments f =a™+1 (points dyune droite, etc.)y les deux points y (qui sont centres) harmoniques du second degré d'fin quelconque xt de ces éléments par rapport au groupe / = o , coïncident Vun avec le point xn Vautre avec le point (qui est centre) harmonique du premier degré de xt par / apport dit groupe des m points restants p™ = ^ . de f.

2. Les notations précédentes étant adoptées, la formule ordi- naire, pour la décomposition de

i >» ( 3 }

en fractions simples, devient

la forme ƒ étant supposée à racines inégales.

A côté de cette formule^ il convient de placer cette autre,

( q ) V^ txi __ ~

v y / ^\ j | — ° s o

(t™~1 désignant une forme quelconque d'brdre m — i), laquelle n est au fond, comme on sait, qu'un cas particulier de la formule précédente (8).

Si dans la formule (8), éciite comme il suit,

~ pn ou p, = --£--,

124 PREMIÈRE PARTIE.

on remplace les symboles h{, h2 par y2 et — yK, et puis les x² par les symboles — A², hⁱ⁹ on obtient la formule

qui fournit la relation linéaire^ par laquelle la forme h"¹ est liée aux puissances mxeme* des m + ^expressions (yxt). De même, il est à remarquer que la formule (9) peut être écrite < j

et fournit ainsi la relation, linéaire qui doit exister entre les puissances ( m — Yy^^^ de s /7/ _|_ [ facteurs linéaires de ƒ .

3 . Il n'y a pas, à proprement parler, de formule de déeomposi*- tion en fractions simples, pour le quotient de deux formes, dans le cas où la forme en numérateur serait d'un degré moindre de plus d'une unité que le degré du dénominateur (celui-ci étant sup- posé à racines inégales). Pourtant, s'il s'agissait, par exemple, de l'expression

on pourrait appliquer la formule (8) à l'expression ^ * » De cette manière, on obtient

Cette dernière formule se prête fort bien aux besoins d'une pre- mière intégration. En effet, comme on a

C H

on doit aussi avoir

[ C t l / j

! J J

f

(12) ! J J

4. En appliquant la formule (8) à l'expression

" 125

ti\ H l ff ** ) \ » H 1 1 MS »!

on obtient

ou bien

r

A*) Ar)

De là on déduit la valeur remarquable suivante pour la ja<k>- bienne (/w + i ) ( / , g)\ :

11 résulte de cette formule ( i 4 ) que Cexpression générale des jacabiennes des faisceaux \f-{- y.g qui contiennent une forme

donnée

ƒ = a»l+i = (xx^xxz) ... (xxm+i)

où les \ désignent des paramètres arbitraires.

Maintenant la formule (i3) montre ceci de plus, qu'étant donnée une forme telle que (i5), c'est-à-dire qui soit la jacobienne d'un faisceau °kf-{- \*.g contenant la forme ƒ = #™+1, la condition pôiir que deux points x et y appartiennent à une même forme de ce faisceau est

(xy)

5. On aurait pu arriver également à la formule (i4) en considé- rant la différentielle de l'expression rationnelle

Wh (vx^^yXi) a™+1 * * f Cette différentielle est, en effet, i

126 PREMIERE P M T I E . ek cefet pat sttite de la formule * *•»'

i v> i o n n o

qu'il convient de comparer à la formule (i i) précédente.

La propriété exprimée parla relation (17) fait voir que la déter- mination des faisceaux de formes binaires de degré m + 1 ayant une jacobienne donnée a =2 aj.w fournit la solution de cette ques- tion : Déterminer les formes f'== a™+1 gw* so/a/ te/Zes que Vin-

tégrale , »i t t $ J

o# a est une forme binaire donnée de degré %m} ait une valeur algébrique de la forme - ^ ( * ).

(•) C'est exprès que je dis « de la forme *n+l », parce qu'il y a aussi d'autres expressions rationnelles (dont les termes sont dea formes d'un degré supérieur à m -i-i> qui conduisent à des différentielles telles que

— {xx dx2 —* a?2 dxx ) , , ' 1 « "M .

/ étant une forme de degré m-hi admettant des systèmes convenables de ra- cines multiples.

Le problème de la recherche de ces diverses expressions rationnelles rentre, comme cas particulier, dans la question de la détermination des/ormes

kt = m-hi), auxquelles correspond une integrale

( où ty désigne une forme donnée ) admettant une valeur algébrique jj^ . (En prenant n = m-b~t, on a le cas considéré dans le texte»}

II est à remarquer que les conditions auxquelles doivent satisfaire les n facteurs linéaires d'une pareille forme/ (sup|>ösés inégàtax et de degrés de multiplicité

£t> o ) coïncident avec celles qui expriment que la forme y%m = ^^(xx^i-1

constitue la jacobienne d'un faisceau \a™+l •+• JJ.&JI+1 contenant la fornré ƒ. Le nombre de ces conditions est égal à n — 1, comme cela a déjà été remarqué ( SER- RET, Algèbre supérieure, t. I, p. 5o6). Nous examinerons plus bas (n08 21 et 22) ce que deviennent les n conditions en question dans le cas où l'on a n = m + t (pour A-, = 1). Dans le cas où / = (xx^i (xx2)h, (n — 2), on doit avoir simple-

ment ^kx\^\\ — 0. x "

En effet, on voit bien que, si pool? «ne vialmir t déterminée* <i$

ƒ __ ^am+i l'intégrale précédente devient égale à —-^y, toute autre forme \a^m*¹ + H^?⁴"¹? placée dans l'expression de l'intégrale con- sidérée, au lieu de ƒ, doit également conduire à une valeur algé-^

brique x

de la même intégrale. \ , > a r - * 6. Deux formes binaires a™⁺¹ et 6™⁺\ d'un même degré, sont appelées conjuguées (d'après M. Rosanés), dans le cas où leur invariant simultané (ab)m+* est nul.

Les formes b**1 qui sont conjuguées aux formes d'un système

linéaire à kparamètres » ^% \ J\\

forment aussi un système linéaire, km — k paramètres, ^ (

H-

(Les formes fo, f\, . . . , ƒ* doivent être linéairement indépendantes entre elles ; il doit en être de même pour les formes f ^+ i, . . . , ƒm+^ ).

Deux pareils systèmes linéaires, conjugués entre eux, admettent les mêmes covariants (combinants des formes f^t qui déterminent ces systèmes). Ainsi, par exemple, les déterminants fonctionnels

de ces deux systèmes ne diffèrent entre eux que par un facteur

constant. - u{ )

Lorsqu'on pose J i r i i ï )

u 1

1 ^ «'»

Tinvariant (ab)m+{ devient

i U 00 i n

II résulte de là que, si l'on a «

I f

128 PREMIÈRE PARTIE.

la forme (xy)k(xz)m~k+* est conjuguée à f=zaxl+l. En p a r t i c u - lier, la forme (xy)m+{ est conjuguée à / , si Ton a

D a n s le cas où les diverses racines xK, x*, . . . , xm+K de ƒ sont i n é g a l e s , l'expression générale des formes conjuguées à ƒ est

O n dit q u e la forme a"14"1 est apolaire p a r r a p p o r t à une forme cx de d e g r é n > m -f- i , si l'on a i d e n t i q u e m e n t

O n voit q u e d a n s ce cas la forme cx est conjuguée à t o u t e forme ctrx+i\x"m+1 c o n t e n a n t ƒ en facteur. O n p e u t désigner cette r e l a - tion de la forme cx à la forme a'"+l en d i s a n t encore q u e la forme cx est conjuguée à la forme a™+1. Si les r a c i n e s de ƒ sont inégales, on d o i t avoir, p o u r des valeurs convenables des X/,

7 . N o u s savons déjà (n° 4 ) q u e les j a c o b i e n n e s des faisceaux de degré m + i , qui c o n t i e n n e n t u n e forme d o n n é e ƒ = a'£+11 c o n s t i - t u e n t un système linéaire à m p a r a m è t r e s . Il r é s u l t e de là q u e les formes AJ./W, conjuguées à t o u t e s ces j a c o b i e n n e s , d o i v e n t c o n s t i t u e r un système linéaire km — i p a r a m è t r e s .

C o m m e ces formes A*'" d o i v e n t satisfaire à la relation

quelle que soit la forme 6^+1, on voit que Ton doit avoir identi- quement

(AaynAxlax = o.

Il est manifeste que, réciproquement, toute forme Axm satisfaisant à cette relation est conjuguée par rapport à toutes les jacobiennes

(ƒ> &)*> q

q

e =

T

-

En ayant égarcfà l'expression générale des j a c o b i e n n e s (ƒ, g){

en q u e s t i o n , d o n n é e au n° A, on voit q u e , si t o u t e s les racines Xi de ƒ sont inégales, on devra avoir

(A,Jpl)îil« = O, Où Pl=

quelle que soit la racine xt.

MÉLANGES. iag 8. Comme toute forme (xy)m(xz), telle que aryHaz = o, esi con- juguée à ƒ, on voit que les formes (xy)m a™ ax doivent être conju- guées à ƒ, quel que soit j .

Plus généralement, toute forme comprise dans l'expression |

doit être conjuguée à / , quelle que soit la forme X^'n. D'après le numéro précédent, il n'y a parmi les formes X£

m, linéairement indépendantes entre elles, qui donnent lieu à une expression (X, a)^m identiquement nulle. Il suit de là que l'ex- pression (X, a)^m est toujours capable de représenter m -h i formes linéairement indépendantes entre elles, lorsque la foime a™+i esi donnée. On voit ainsi que l'expression Çky a)m peut représenter, dans tous les cas, toute forme b™+i conjuguée à a™+1.

Il est aisé d'obtenir l'expression de Çka)m\™ax sous la forrne Spl(xxl)m +*. Il suffit pour cela de considérer Ja formule (i4) drç n° 4, formule qu'on peut écrire comme il suit :

i y 4 p] ou p^t

J i v i 6

Z¹ b™ = y -4— p]

En changeant dans cette formule les œ{y x2 en X2, — \ \ et les b\, b² en — x², x^K, on obtient, en effet,

Il est à remarquer que la formule (i3) du n° 4 peut aussi con- duire à une représentation de la forme

(laquelle est manifestement conjuguée à / ) , par une expression

En remplaçant, en effet, dans la formule en question

les x^t, x² par les symboles c², —•c^l, pins les symboles b,, bî par

— Xi, oc,, et enfin lesjK,, y> par b², — b^{, on obtient

des Sciences mathem a* sene, t VIII (Avnl i884>)

i3o PREMIÈRE PARTIE.

Dans le cas où la forme g = b™+1 est conjuguée à ƒ, (ab)m+*

étant égal à zéro, la formule précédente donne la représentation de g sous la forme d'une somme

par Temploi auxiliaire de la forme c™+1 qui peut être quelconque (différente pourtant de ƒ dans le cas où m est impair).

lh

Décomposition en fractions simples de J2-

9. J'arrive maintenant à la décomposition de l'expression, ra-

tionnelle t {

o ù cp =

en fractions simples.

Pour obtenir cette décomposition je procéderai de la manière suivante.

Je remarque que

r

peut être considéré comme le carré de l'expression symbolique

f ,

laquelle, d'après la formule générale de décomposition (n° 2), doit être égale à

ƒ

en supposant toujours que les racines de / = o soient inégales.

Nous aurons ainsi l'identité

-Oh

ï

l\t (xx,) i f î /

De cette manière la somme des fractions du premier degré dans le développement de -^ en fractions simples sera

D~7"

MÉLANGES. i3i

D désignant le discriminant de la forme / . Quant à la forme

iz==z t™~¹, elle constitue un covariant simultané des deux formes <f et ƒ, dont les coefficients sont des expressions entières du premier degré par rapport aux coefficients de <p et de degré im — i par rapport aux coefficients de f,

De même, la somme des fractions du second degré dans le dé- veloppement considéré sera

a = a^,"1 étant un covariant simultané des deux formes <p et / , du premier degré par rapport aux coefficients de <p et de degré im par rapport aux coefficients d e / . Remarquons que, d'après le n° 4, la forme a doit être la jacobienne d'un faisceau X<7™+1 -h- l*-b™+l ; elle doit donc être de la forme {ab)a™h™.

10. Dans le cas où D = o, les deux formes t et a, définies par les relations (2) et (3) précédentes, subsistent encore, quoiqu'elles ne correspondent plus aux sommes des fractions de premier et de second degré dans le développement de —^

En supposant, en effet, que xi et Xj soient les deux racines de ƒ qui deviennent égales dans ce cas, on aura

' =

où

= ( - T) "2 nxn2. . . Ui-tUi+i... Uj^uJ+i... um+u

et cela en admettant que, dans le cas général, on a , *-

m (m+ 1)

D = ( - I ) 2 n1n2. . . i w1.

Maintenant, pour que les formes t et a deviennent identique- ment nulles à la fois, il faut et il suffit que la condition D = o soit accompagnée par une des circonstances suivantes :

i° Que le facteur double (xxf) = (XXJ) de ƒ entre aussi en fac- teur (au moins simple) dans cp ;

20 Qu'il y ait encore une troisième racine de ƒ qui devienne égale à xt = xj ;

i3a PKËM1ÈUE PARTIE.

3° Qu'il y ait, en dehors de xi = Xj, un autre couple de racines de ƒ qui deviennent égales entre elles.

H . Tant que les deux formes t et a = (ab)a™b™ ne deviennent pas identiquement nulles à la fois, elles peuvent être définies par la relation

(4) D<pî'n == a'»+lt'»-i -h(ab)a'J.lbr».

On voit par là que, dans le cas où D ^ o , la forme t ne peut être identiquement nulle que si cp est la jacobienne d'un faisceau

contenant la forme ƒ. De même, lorsque D ^ o , la forme

ne peut être identiquement nulle que si la forme cp est divisible p a r / = <^{l + 1}.

Dans le cas où D = o, l'évanouissement identique de l'une des formes t, a entraîne l'évanouissement identique de l'autre (*).

12. Par suite de l'identité

_ I ^«^ ^ / /y* . /y» • j — 1 L j . \*s , ,, / *¥* • *Y* • J~™"1 I

il se trouve que l'expression

peut être écrite comme il suit

; D / Z i ll/Hy (*7*7 Pour obtenir la valeur du coefficient de

II,-

( ' ) Lorsque D = o, la condition nécessaire et suffisante pour que cp puisse être mise sous la forme ƒi -+- {/, g)v est que cp admette comme racine #UP16 toute ra- cine (k -h i)"Ple de ƒ ; mais alors il y a une A-uPle infinité de déterminations pour les formes t et ( ƒ, g)^v Cela correspond encore au problème de la décomposition de -T^ en fractions simples.

MÉLANGES. i33 dans cette expression, je remarque que, d'après la formule de dé- composition (8) du n° 2, on doit avoir

J(x) (xx^U, (xxt)p(x) (xxl)p(xl

Maintenant, si l'on fait x = xt dans cette relation, on obtient

ou bien

par suite de la formule (7) du n° 1.

On voit par là que Je coefficient de

dans l'expression (5), sera

m ( m + l ) ^ i — * - f fc|

On aura de la sorte

13. Envisageons maintenant la valeur de l'intégrale

où nous avons posé, pour abréger, (xdx) = Xidx2

L'application de la formule (i i) du n° 3 à l'expression

D ^ / J*dl Uf J (xy){xxl)

C1) Cette formule paraît n'être qu'un cas particulier d'une autre plus generale, laquelle serait

mais dont je n'ai eu l'occasion de vérifier l'exactitude que pour les cas de m = ï, 2, 3

i34 PREMIÈRE PAHTIE.

donne ' -

D'une manière analogue, en appliquant la formule (18) du n° 5 à l'expression

on obtient , ^ï

DJ ƒ*

- Z~W

Dans cette dernière formule, c'est y qui joue le rôle de W constante d'intégration. Toutefois il est aisé de mettre l'e sion

??.1*

sous une forme où les # et les ^figurent séparément.

Pour cela, il suffit de remarquer que, par suite de l'identité

symbolique , M ,

on a

On obtient ainsi la formule remarquable suivante : ! f^

• f * f

<„

La valeur de cette intégrale, si l'on fait abstraction de la con- stante, se présente, comme on voit, sous la forme

OÙ , t ,

est une forme du (m -+- i)ieme ordre laquelle constitue un covariant simultané des deux formes <p e t / , du premier degré par rapport aux coefficients de cp et de degré im — i par rapport aux coefficients d e / . •*-

MÉLANGES. i35 Le faisceau \f •+- ps = k ^+ 1 + p.s™+1 admet précisément pour jacobienne la forme a. Quant à la relation qui doit exister entre deux points x et y appartenant à une même forme de ce fais- ceau, elle est

14. Dans le cas où la forme s „devient identiquement nulle, il en est naturellement de même pour la jacobienne a = (ƒ, s)K.

Maintenant le cas où la fornte a devient 4dentiquement nulle a besoin d'être examiné de pius près, puisqu'alors il peut se faire ou bien que la forme s soit identiquement nulle ou bien qu'elle soit proportionnelle à ƒ (égale, par exemple, à "kƒ, pour, Examinons d'abord le cas où D = o. Si les racines de ƒ qui de- viennent égales entre elles dans ce cas sont xi et #y, nous aurons, pour la forme s, ,

étant posé , »i/r [H/y] = (•—i) 2 n1n2. . . i i / _1n / ^1. . . i i y _1i i y >1. . . nm+t. lu

L'évanouissement de a est accompagné, dans ce cas, par une des circonstances indiquées au n° 10.

Si la première de ces circonstances a lieu, c'est-à-dire si la forme cp devient nulle pour x = xi, on voit que cp^cpj/"""1 sera di- visible par (xxt). La forme s sera alors égale à \f, "k étant un coefficient qui ne devient nul que si la forme cp admet (xx;) pour facteur double ou bien si, en même temps que l'on a <p(#^t) = o, une des deux autres circonstances se présente.

La forme s devient aussi identiquement nulle si la deuxième ou la troisième des circonstances mentionnées a lieu, c'est-à-dire si la forme ƒ admet une racine triple ou bien deux racines doubles.

Je passe maintenant au cas où, D étant different de o, on.

D cp == ft, par suite de a = o . O n a alors

i36 PREMIÈRE PARTIE.

Mais comme, d'après le n° 2, on a 7,-77— = o, on voit bien que la forme s est, dans ce cas, identiquement nulle.

Il est à remarquer que la forme s est aussi identiquement nulle toutes les fois que cp est divisible par / , et cela quel que soit D.

III. t

Propriétés relatives à la forme s.

15. La forme s, définie dans ce qui précède par la relation 0) ^ = ^ f i = ( / n - f - i ) D V ! l | ^ - - X y "Y"

devient, comme nous venons de remarquer (n° 14), identiquement nulle toutes les fois que cp est divisible p a r / , quel que soit du reste D. C'est là un fait bien important et dont découlent des propriétés bien remarquables de cette forme.

Comme la forme s ne contient les coefficients de cp qu'au pre- mier degré, on voit qu'elle ne doit pas être altérée lorsqu'on remplace cp par v-\-fh, h désignant une forme quelconque d'ordre m — 1. Parmi ces formes cp -\-fh se distingue la forme cp — jr ft, laquelle constitue la jacobienne d'un faisceau contenant la forme/.

Tout cela fait voir que la forme s est déterminée, à un facteur constant près, toutes les fois qu'on donne la forme ƒ = a™⁺¹ et le faisceau "ka™+1 -f- \*-b™+1 qui doit contenir s.

Du reste, pour calculer la forme s, en partant de ces données, on n'a qu'à supposer

dans l'expression précédente (1) de la forme s.

Ainsi, en remarquant que

MÉLANGES. i37

on obtient , , .,, \i

** / ^ ^m + ^l /n

Si maintenant la forme 5 devait être proportionnelle à la forme èw+1, le coefficient d e / , dans l'expression précédente, devait être nul.

Cela montre que les formes s, contenues dans V expression

sont toutes liées à la forme ƒ = a™+1 par la relation inva- riante

(2) DJ», gâ =°-

En d'autres termes, les formes s considérées doivent être toutes conjuguées à la forme

O)

laquelle constitue bien un covariant de ƒ.

Il est à remarquer que, si Ton désigne par A = Àj/⁷¹"² le covariant

, la forme (3) sera égale à (ka)™-* à™~1 al (l).

16. Parmi les formes s il en existe toujours une qui soit com*- posée par un facteur de degré m, p = ~ - , de la forme / et ( * ) La forme A a la propriété d'être conjuguée ( voir n° 6 ) par rapport aux premières polaires aya% de la forme/. Aussi satisfait-elle aux relations

L'évanouissement identique de cette forme A constitue la condition nécessaire et suffisante pour que la forme/ admette £oit u$ fa<5te»rN liaéaîrc 'tripte, soit deux facteurs linéaires doubles distincts. Il est aussi à noter que, si l'on désigne par H la hessienne (/, / ) , d e / , on doit avoir

D =— i(HA)2'»-2.

i38 PREMIÈRE PARTIE.

par un autre facteur linéaire (xzï). Il est à remarquer que ce fac- teur (xzî) coïncide avec la forme pxp™~1 ? c'est-à-dire qu'il repré- sente le point (qui est centre) harmonique de premier degré de Xi par rapport au groupe des m points p = o.

Cette propriété résulte simplement de ce que la formes

qui correspond à <p = / >², est égale à

i I

Ainsi donc Vexpression générale des formes s, dans le cas où les facteurs (xxi) de f sont inégaux, est

17. De la proposition que nous venons d'établir, on peut aisé- ment conclure que la relation invariante (2), par laquelle les formes s sont liées à / , peut être écrite de la manière suivante :

âB dD (5) *0 H - *

étant supposé que

Pour cela, il suffît, évidemment, de prouver qu'il en est ainsi pour une quelconque des formes

(5) p(vzî)i oh P= , v?

Dans ce cas on doit, en effet, avoir

c'est-à-dire

par suite de ce que

D =

MÉLANGES, Gomme maintenant

on voit que la relation (4) est bien satisfaite pour chacune des formes (5) et, par conséquent, pour toutes les formes s considérées.

La propriété que nous venons de démontrer est intimement liée à ce fait que, dans le cas où la forme ƒ admet un facteur double (##'), la forme A (du n° 15) devient proportionnelle k(xxrym~29

tandis que la forme (3), c'est-à-dire la forme (Aa)m~* À ^ "1^ , de- vient proportionnelle à (xx^f)^m+i.

On sait en effet que, dans ce cas, les diverses dérivées

du discriminant D sont respectivement proportionnelles à

(m -f-i\

1 M l

tandis que, d'après ce que nous venons de voir, on a, en général,

IV.

Propriétés relatives à la forme t. '/

18. Je passe maintenant à l'examen des propriétés relatives à la forme t = t™'1, laquelle a été définie, dans ce qui précède(§[I);

par la relation

D/ ~22dUlUJ (xxt)(xxjy

ou bien p a r celle-ci : * f ) "f l 1

Nous avons déjà vu que dans le cas o ù D ^ o , la forme t ne peut être identiquement nulle que si la forme cp est la jacobienne

(*) Voit SALUON, Higher Algebia, 3e édition, n° 113.

i4o PREMIÈRE PARTIE.

d'un faisceau contenant la forme ƒ. Grâce à cette circonstance, l'étude des propriétés de cette forme t peut avoir son utilité dans l'étude des formes a = (ab)a™br£, correspondant à des fai- sceaux contenant la forme/.

19. La comparaison de la formule (i) avec celle-ci : t

ƒ Zà II, (yx)(xxt)

t X « i l *

{voir le n° 3), montre qu'on a 1, ,,u (3) 5 tfr^ ™(™-*-o§i>

étant posé

On doit bien remarquer que les m -+- 1 expressions Q, sont liées entre elles par la relation linéaire

1

laquelle est une conséquence de la formule (9) du n° 2.

20. On aurait pu arriver à la formule ( 3 ) de la manière sui- vante :

De la relation

qui peut servir à définir les formes a ™ (ƒ, g}{ et t, pour le cas où D ^ o (voir n° 11), on déduit la relation importante

(5) I 2m(im— i)D(cp,/)2=/n(7?i — ( h (m -+- i)(2m -

En faisant maintenant x = x^L dans cette relation, on obtient

formule qui ne diffère point de la formule (3), par suite de ce qu'on a (voir le n° 1 )

MÉLANGES. i { i

21. Dans le cas où la forme cp est la jacobienne d'un faisceau )ƒ.+.[/,£• contenant la forme ƒ, la forme (<f,f)i a la propriété d'être divisible par/. La relation

conduit, en effet, à

conformément à la formule (5) précédente.

On voit par là que, dans le cas considéré, on doit avoir

pour toutes les racines xL de f. Dans les cas où D ^ o , on pourrait aussi déduire ce fait de ce que la forme t doit être identiquement nulle lorsque o est la jacobienne d'un faisceau contenant la formey.

Ainsi donc dans le cas où D ^ o (et aussi dans le cas où la forme ƒ n'a qu'une seule racine double) les m -f- i relations (7) suffisent bien pour exprimer que la forme ƒ est contenue dans un faisceau ayant cp pour jacobienne. On doit toutefois remarquer que, dans ce cas, une de ces relations est une conséquence des autres, et cela d'après la relation (4) ( * )•

22. Par suite de la formule (7) du n° 1, la relation (7) précé- dente peut être écrite comme il suit :

r ? î

lpzrl = », OÙ P= J - .

, — _ , — ^

( 1 ) Dans le cas où D = o et * ƒ = (xx^{)^{xx²)^... (xx„)*», (*^t>o),

il n'y a que n des relations ( 7 ) qui soient différentes entre elles.

On pourrait cependant, plus généralement, se demander, pour ce même cas, quelle est la nature des conditions qui découlent de la supposition que la forme- ( ? ? / ) 2 e s t divisible p a r / .

La réponse à cette question est la suivante :

Si xt est une racine simple ou double de ƒ (c'est-à-dire si kt = 1 ou 2), la divi- sibilité de ( cp, ƒ )2 par (xx^'i n'implique qu'une seule condition (laquelle est cp.ï-j = 0 dans le cas où A\ — 2 ) . Mais, si l'ordre de multiplicité k^t de x^t est plus grand que 2, la divisibilité de ( c p , / )2 par (xxt)kt n'implique que deux conditions, consistant en ce que xl doit être une racine double de cp. De cette manière on voit que si le nombre des racines simples et doubles de / est n' et que le nombre des racines restantes de / e s t n", 2n"-\-n' sera le nombre de conditions qu'im- plique la di\isibilité de (<?,ƒ), p a r / ( é t a n t toujours supposé que D soit nul).

i4'2 PREMIÈRE PARTIE.

Cette relation exprime que la valeur de x pour laquelle on ^a P^P™¹'= ° doit satisfaire aussi à la relation cp^cp^"¹ =2 o (^{) .

Il résulte donc des relations (7) ce fait, que les jacobiennes

<p = (ƒ, g}{ des faisceaux contenant une forme donnée f= a™+l

sont toutes conjuguées aux m + 1 formes

i

(⁹) A/ = (*«/)»*-»aj}""¹ a% = j ^ (xxtf^P^Px-

Dans le cas où D ^ o ces m + 1 formes sont toutes différentes entre elles et ne sont liées que par une seule relation linéaire „

iîf

laquelle est une conséquence de la relation (4)." , _, On voit par là que, dans le cas considéré ( D ^ o ) , l'expression générale des formes A^m qui sont conjuguées aux jacobiennes y = (f,g){ des faisceaux contenant une forme f—a™*] (n°l)est

23. Lorsqu'on a un système linéaire à m — 1 paramètres com- posé de formes d'ordre 2m, le déterminant fonctionnel de ce système {voir n° 6) est une forme d'ordre m {m + 1) qui admet comme facteur linéaire (/r + i)lPle tout facteur linéaire (m + h:)ip*e

d'une des formes du système. Or nous savons que parmi les formes A^.^w, lesquelles forment précisément un système linéaire à m — 1 paramètres, il y en a m -j- 1 qui admettent respectivement comme facteurs (2/n — iyplcs les m + 1 facteurs linéaires de ƒ : les m -h 1 formes en question sont les formes (9). Cela montre que le déterminant fonctionnel du système des formes A£^m et, par conséquent, aussi le déterminant fonctionnel du système conjugué, constitué par les jacobiennes des faisceaux conte- nant la forme f , coïncide avec la m^{cme puissance de la forme f.

C'est là une proposition qui constitue une généralisation assez curieuse de ce qui arrive pour le cas bien connu de ƒ = a^.

Dans le cas où f=a%, les formes biquadratiques a = (ƒ, g*), sont en nombre doublement infini, tandis que les formes A£ du (') Cette propriété aurait pu aussi être déduite de l'expression générale des ja- cobiennes des faisceaux contenant une forme f~ arx+i donnée (voir n° \).

MÉLANGES. 143 système conjugué constituent un faisceau ayant f2 pour jaeo- bienne. Dans ce cas, il y a ceci de remarquable que les formes A£

coïncident avec les jacobiennes a des faisceaux \a^ -f- \kbl pour les- quels on a {ab)^z = o. De là il résulte que toutes ces formes A£

sont équianharmoniques et conjuguées les unes aux autres.

Dans le cas où / = a*, les formes A£ sont en nombre double- ment infini, et sont caractérisées par la propriété que leur cova- riant i = (A, A)4 coïncide avec la forme ƒ = a*.

24. La forme À. — La relation linéaire

qui existe entre les m + i expressions

fait voir que la forme Q =

est conjuguée à la forme de degré 3 / n — 3 suivante

quelle que soit <p^m.

Cette forme ÀjJ"*"³ constitue un covariant entier (de degré im — 3) de la forme ƒ, jouissant des propriétés bien remarqua- bles. Ainsi non seulement elle satisfait à la relation

(i3) (Aa)^-iA|^-2a| = 0 )

laquelle n'est qu'une autre forme de la relation ( i o ) , mais elle est aussi conjuguée aux f o r m e s / et H = ( / , / )^a- II est, en effet, aisé de voir que Ton a

04) (Aa)»w-iAîm-4 = o (!) et

( ' ) A côté des relations (i3) et (i4) il convient de placer cette autre ( m + i )2( A a ) ' « A im"3a , = r *lm~*,

où figure la forme A considérée au n° 15.

i\\ PREMIÈRE PARTIE.

11 est à remarquer que cette dernière relation est une consé- quence des relations (i3) et (i4)-

Dans le cas où D $ o, l'équation (i3) peut aussi être considérée comme une conséquence des relations (i4) et (i5), et cela grâce à la relation (5). Maintenant, si l'on voulait déduire des deux systèmes de conditions (i4) et (i5) l'expression de la forme A3/1"3, les valeurs des coefficients de cette forme qu'on aurait ainsi obtenues contiendraient D en facteur. Cela tient à ce que dans le cas où D = o les équations (i4) et (i5) peuvent aussi être sa- tisfaites par une simple infinité de formes de degré 3 m—3 (formes qui jappartiennent à un faisceau).

Tant que D $ o la forme À ne saurait être identiquement nulle.

Maintenant, lorsque D = o et qu'on suppose (xt'Xj) = o, la forme A est égale à ce que devient la forme

D i fQr.r,)»"»-'» (>37y)3"*

où

lorsqu'on suppose que les x^ xj soient venus à coïncider. En d'autres termes, la forme A est, dans ce cas, proportionnelle à

xatyn-lqZriqx, (x' = xt= Xj\

D ( y ) désignant le discriminant de la forme ç™"1.

On reconnaît par là que la forme A ne peut devenir identique- ment nulle que lorsque ƒ admet (au moins) deux couples de ra- cines égales ou bien une racine quadruple. Ainsi donc la condi- tion nécessaire et suffisante pour que la f orme f admette deux racines doubles distinctes, ou bien une racine quadruple, est exprimée par Vévanouissement identique de la forme

Dans le cas où m = 2, la forme A^ coïncide avec ƒ = a^zx. Dans le cas où m = 3, la forme A£ constitue le covariant sextique

Paris, août i883.