Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme 1 2k

A1746 – Rationnel, manque

⁽¹⁾

et impair [** à la main]

Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme 1 2k

1 4k





pour toutes les valeurs entières de k ≥1.

Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.

Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.

Application numérique : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.

a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97

b) Calculer f(n) pour les entiers inpairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)

(1)

Nota : comme dans le jargon des croupiers, le dénominateur dépasse la moitié du numérateur…

Solution proposée par Jean Nicot

Les fractions sont de la forme N.D=(4k-1) /(2k+1). N ,impair, est de la forme 4k±1.

Si N est de la forme 4k-1, D=(N+3)/2.

Si N est de la forme 4‘k+1, alors 3N et N/D=3N/D’ avec D’=3(N+1)/2

La suite S débute par 3/3,7/5,11/7,15/9,19/11,23/13,27/15,31/17, 35/19,39/21 ,43/23 ,47/25,51/27 On obtient [3] avec 27/15 *15/9 et f(3)=2 ; [5] avec 15/9*[3] et f(5)=3

[7] avec 7/5*[5] et f(7)=4 [9] avec [3] *[3] et f(9)=4 [11] avec 11/7 *[7] et f(11)=5 [13] avec 39/21 *[7] et f(13)=5 [15] avec 15/9 *[3] *[3] et f(15)=5 [17] avec 51/27 *[9] et f(17)=5 [19] avec 19/11 *[11] et f(19)=6 [21] avec [7] *[3] et f(21)=6 [23] avec 23/13 *[13] et f(23)=6 [25] avec [5] *[5] et f(25)=6 [27] avec [3] *[3]*[3] et f(27)=6 [29] avec 87/45* [15] et f(29)=6 [31] avec 31/17 *[17] et f(31)=6 [33] avec [3] *[11] et f(33)=7

[35] avec [5] *[7] et f(35)=7 [37] avec 259/131 *131/67 *67/35*[5] et f(37)=6 [39] avec [3] *[13] et f(39)=7 [41] avec 123/83*83/43*43/23*23/13*[13] et f(41)=9

a)-

[61] =183/93*31/17* 51/27*27/15*15/9*27/15 *15/9 et f(61)=7 [67] = 603/303 *303/159*159/81 *[9] et f(67)=7 [71] = 355/179* 179/91*91/47*47/25* [5] et f(71)=7 [73] = 219/111 *[37] et f(73)=7 [79] = 395/199*199/101*303/153*51/27*27/15* [3] et f(79)=7 [83] = 747/375*[375/199*199/101*303/159*159/81 *27/15 *15/9 et f(83)=7 [89] =267/135*15/9*[3]* [3] *[3] et f(89)=8 [97] =291/14*7147/75*75/39* [13] et f(97)=8

b)-

N/D avec D=(N+3)/2 Si D est pair, 3N/D’ avec D’=(3N+3)/2

2011= nb premier= 2011/1007*1007/505*1515/759*759/381*127/65*195/99*99/51*51/27*[9] et f(2011)=8+4=12 2013 = 3*11*61 = 6039/3021*9063/4533*1511/757*2271/1137*379/191*191/147*147/75*75/39*[13] et

f(2013)=8+5=13

2015 = 5*13*31 =2015/1009*3027/1515*1515/759*759/381*127/ 65*195/ 99*99/51*51/27*[9] et f(2015)= =8+4 =12 2017= nb premier=6051/3027*3027/1515*[5]*303/153*51/27* [27] et f(2017)= 4+ 3+6 = 1

2019 = 3*673 =2019/1011*1011/507*507/255* 51/27*27/15*[15]* [ 5 ]et f(2019)= =5+ 5+3=13 2021 = 43*47=6063/3033 * 1011/507*507/255* [15]* [17] et f(2021)= =3+ 5+5=13