Solution proposée par Gaston ParrourNotations et remarque on pose rk = (4k-1) / (2k+1) k entier naturel non nul quelconque on dispose donc de l'ensemble {rk} (suite S) (N.B. rk → 2 pour k →

A1746. Rationnel,manque(1) et impair

Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme a1746 pour toutes les valeurs entières de k ≥1: 3/3, 7/5,11/7,etc...

Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.

Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.

Application numérique : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.

a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97

b) Calculer f(n) pour les entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)

Solution proposée par Gaston Parrour

Notations et remarque

on pose rk = (4k-1) / (2k+1) k entier naturel non nul quelconque

on dispose donc de l'ensemble {rk} (suite S) (N.B. rk → 2 pour k →

) Remarque : tout quotient qm = (4m + 1) / (2m+1) figure dans l'ensemble {rk}

En effet qm = 3(4m+1)/[3(2m+1)] → qm = [4(3m+1) – 1 ] / [2(3m+1) + 1]

==> qm = rk1 avec k1 = 3m + 1 ( rk1

{rk}

1-Tout nombre entier impair n est généré avec des éléments de {rk}

→ Tout d'abord : supposons réalisée l'égalité

rk1 rk2 … rkm = n <==> (4k1-1)(4k2-1) … (4km-1) = n (2k1+1)(2k2+1) … (4km+1) , (1) (où les ki ne sont pas nécessairement tous distincts) , alors

==> par parité l'entier n est impair → L'égalité

Tout entier N (ici impair) admet une seule décomposition en nombres premiers (ici les impairs > 2) Un nombre premier p impair est de la forme (4k – 1) ou (4k+1)

Avec la remarque initiale :

→ d'une façon générale, on peut associer p à un élément de S : rK = p / (2k+1) où K = k si p = 4k – 1

K = 3k+1 si p = 4k + 1 , (2) et puisque p > (2k+1) [dans tous les cas dès que k > 1 ] ,

(2k+1) est soit un nombre premier p' < p

soit un produit de nombres premiers tous inférieurs à p Ainsi de proche en proche :

==> pour exprimer tout p en produit d'éléments ''rk'', il suffit de connaître l'expression (en produits de ''rk'') de nombres premiers p', p'', … , inférieurs à p . Un entier n donné est alors le produit de tous ces ''rk''.

Cela est donc toujours possible en remontant de proche en proche jusqu'aux premiers nombres premiers

Les premiers rk sont

r1 = 1 r2 = 7/5 r3 = 11/7 r4 = 15/9 = 5/3 r5 = 19/11 r6 = 23/13 r7 = 27/15 = 9/5 … N.B. r4 et r7 sont des ''(4k+1)/(2k+1)'' avec respectivement k = 1 et k =2 ; d'où resp. K = 4 et K = 7 Ces premières fractions permettent d'obtenir la valeur des premiers nombres premiers par produit de ''rk'' → 3 = r4.r7 , puis à partir de cela : 5 = 4k+1 , avec k = 1, est obtenu avec r4 = 5/3 → 5 = (r4)².r7

7 = 4k – 1 , avec k = 2, est obtenu avec r2 = 7/5 → 7 = 5xr2 = r2.r4².r7

11 = 4k – 1 , avec k = 3, est obtenu avec r3 = 11/7 → 11 = 7xr3 = r2.r3.r4².r7 , etc . . . Remarque :

Il est clair que pour un nombre premier donné, d'autres combinaisons peuvent exister, faisant intervenir d'autres ''rk'' et parfois en plus grand nombre.

N.B. Ci-dessus, à partir de l 'amorce minimale qui produit p = 3, un nombre minimal de ''rk'' est utilisé pour

produire un nombre premier p donné.

2 - Application numérique : f(n) nombre minimal de fractions de S distinctes ou non dont le produit est n entier impair a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers {n} = (61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)

Ces nombres premiers sont exprimés en utilisant la démarche définie ci-dessus pour exprimer tout nombre premier p en fonction d'éléments rk de la suite S.

A titre d'exemples, le cas des deux premiers de la suite ci-dessus, respectivement ''4k+1'' et ''4k-1'' , est explicité On donne les résultats pour les 6 autres , obtenus de la même façon

p = 61 = 4x15+1 d'où K = 3x15+1 = 46 et avec r46 = 61/31 → 61 = 31 r46 31 est premier 31 = 4x8 – 1 d'où K= 8 et avec r8 = 31/17 → 31 = 17 r8 17 est premier 17 = 4x4+1 d'où K= 3x4+1= 13 et avec r13 = 17/9 → 17 = 9 r13

N.B. ''9 = 3² '' est déjà obtenu ci-dessus avec le nombrer minimum de ''rk'' → 9 = (3)²= (r4 . r7)² Le produit membre à membre des diverses égalités ci-dessus donne

61 = r4².r7².r8.r13.r46 ce qui implique f(61) = 7 fractions de S distinctes ou non p = 67 = 4x17 – 1 d'où K = 17 et avec r17 = 67/35 → 67 = 35 r17

35 est composite 35 = 5.7 et, avec 5 et 7 déjà exprimés précédemment, → 35 = (r4².r7)(r2.r4².r7) d'où 67 = r2.r4⁴.r7².r17 f(67) = 8 fractions de S distinctes ou non En poursuivant de la même façon, on obtient ainsi

p = 71 = 4x18 – 1 d'où K = 18 et avec r18 = 71/37 …

71 = r2.r3.r4².r5.r7.r18.r28 et f(71) = 8 p = 73 = 4x18+1 d'où K = 3x18+1=55 et avec r55 = 73/37 …

73 = r2.r3.r4⁴.r5.r7.?r28.r55 et f(73) = 8 p = 79 = 4x20 – 1 d'où K = 20 et avec r20 = 79/41 …

79 = r2.r4³.r7².r20.r31 et f(79) = 8

p = 83 = 4x21 – 1 d'où K = 21 et avec r21 = 83/43 …

83 = r2.r4².r6.r7.r10.r11.r21 et f(83) = 8 p = 89 = 4x22+1 d'où K = 3x22+1 = 67 et avec r67 = 89/45 …

89 = r4⁴.r7³.r67 et f(89) = 8 p = 97 = 4x24+1 d'où K = 3x24+1 = 73 et evec r73 = 97/49 …

97 = r2².r4⁴.r7².r73 et f(97) = 9

b) Calculer f(n) pour les n entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses) {n} = (2011 2013 2015 2017 2019 2021)

Parmi les 6 nombres considérés 2 sont premiers (en rouge), les 4 autres sont composites (par exemple 2013 = 3.11.61) Partant de là on peut songer à utiliser la factorisation de ces nombres pour écrire f(n) = f(p1).f(p2).f(p3)...

Mais la fonction f(n) n'est pas nécessairement multiplicative ; et en fait elle ne l'est pas !

→ En effet une méthode ''directe'' ignorant les décompositions en nombres premiers, se révèle fournir de plus petits f(n)

→ I ci ne sont explicités que les résultats de cette méthode ''directe'' .

(N.B. les résultats utilisant la décomposition en nombres premiers sont donnés pour comparaison à la fin)

n = 2011 = 4k – 1 k = 503 utilise r503 = 2011/1007

puis 1007 = 4x252 – 1 utilise r252 = 1007/505 ; 505 = 4x126 + 1 avec K = 3x126+1 = 379 utilise r379 ; etc d'où

n = 2011/1007 x 1007/505 x 505/253 x 253/127 x 127/656 x 65/33 x 33/17 x (17) et( en utilisant la décomposition de 17 déjà trouvée précédemment :

n = r503.r252 .r379 .r190 .r32.r49.r25.(r4²r7²r13) → f(2011) = 12 n = 2013 = 4k+1 k = 503 avec K = 3x503+1=1510 utilise rK = 2013/1007

ensuite l'expression de 1007 en produit d'éléments de S est la même que ci-dessus , d'où n = r1510.r252 .r379 .r190 .r32.r49.r25.(r4²r7²r13) → f(2013) = 12 n = 2015 = 4k – 1 k = 504 → r504 = 2015/1009

1009 = 4x252+ 1 → K = 3x252+1 = 757 et r757 = 1009/505 ; etc n = 2015/1009 x 1009/505 x 505/253 x 253/127 x 127/65 x 65/33 x 33/17 x (17) n = r504.r757.r379.r190.r32.r49.r25.(r4².r7².r13) → f(2015)=12 n = 2017 = 4k + 1 avec k = 504 → K = 3x504+1 = 1513 et r1513 = 2017/1009

ensuite l'expression de 1009 en produit d'éléments de S est la même que ci-dessus , d'où n = r1513.r757.r379.r190.r32.r49.r25.(r4².r7².r13) → f(2017) = 12 n = 2019 = 4k – 1 avec k = 505 → r505 = 2019/1011

1011 = 4x253 – 1 → r253 = 1011/507 ; etc

n = 2019/1011 x 1011/507 x 507/255 x 255/129 x 129/ 65 x 65/33 x33/17 x (17)

n = r505.r253.r127.r64.r97.r49.r25.(r4².r7².r13) → f (2019) = 12 n = 2021 = 4k + 1 k = 505 → K = 1516 et r1516 = 2021/1011

ensuite l'expression de 1011 en produit d'éléments de S est la même que ci-dessus , d'où n = r1516.r253.r127.r64.r97.r49.r25.(r4².r7².r13) → f(2021) = 12 Conclusion pour (b)

==> Pour les 6 entiers n impairs 2011 ≤ n ≤ 2021 la valeur minimum de f(n) est commune → f(n) = 12 N.B. 1 - Pour comparaison : les résultats pour cette partie (b) à partir de la décomposition en nombres premiers sont f(2011) = 14 f(2013) = 14 f(2015) = 14 f(2017) = 13 f(2019) = 14 f(2021) = 14

2 – Les résultats obtenus dans la partie (a) sont inchangés quelle que soit l'approche utilisée