Correction devoir maison n°10

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Correction devoir maison n°10

Exercice 1

1) On considère : pour que soit définie, on doit avoir 2 0, autrement dit . Donc .

2) Pour 1 :

1

Pour 1 :

1.

Donc 1 et 1

3) Pour définie sur : .

On a donc lim!" 0 ; lim!" 0 ; lim!;$ %∞ et lim!;' ∞. Pour ( définie sur ( ⁽ : ( (

(.

( est une fonction rationnelle donc les limites à l’infini sont égales aux limites du quotient des termes de plus haut degré : )*!+"( lim!+" (

( . , lim_-!^.

/3 2 ¹ lim_!^.

/;$ ^._/2 % 3 02 donc par division, lim_!^.

/;$^._/( ∞. De même, lim_!^.

/;'^._/( %∞.

Pour étudier les variations, on calcule la dérivée de la fonction ₍ qui est de la forme ³

4… ₍⁵ 32 % 3 23 2

2 % 3 5

2 % 37 0 On en déduit les tableaux de variations suivants :

∞ 0 %∞ ∞ 3

2 %∞

Signe de 5 % % Signe de (5

Variations de

%∞ 0

Variations de ₍

⁽ %∞

0 ∞ ∞ 3

2 4) Pour déterminer les abscisses des points d’intersection de 8 et 8(, on doit résoudre (, autrement dit : ⁽₍. Les valeurs interdites sont bien entendu 0 et ⁽.

L’équation est alors équivalente à – 2 % 3 3 2 ou encore : 1. Cette équation a deux solutions : 1 et 1.

Pour 1, : 1 et pour 1, : 1.

Finalement, il y a deux points d’intersection de 8 et 8( : ;1; 1 et <1; 1 5) On doit résoudre =, autrement dit

⁼₌. Les valeurs interdites sont

et ⁼

.

L’équation est équivalente à 22 > > 22 . En développant, on trouve : 2% 2> 2> 2 0.

En factorisant : 2 > 2 > 0 ou encore 2 > 1 0. Comme et > sont distincts, on a > 0 et donc 1 0.

Cette équation a deux solutions : 1 et 1.

Finalement, 8 et 8= ont exactement deux points d’intersection : ;1; 1 et <1; 1.

6) Soit 2; 2

a. est une fonction rationnelle donc lim!+" lim!+"

et donc lim!+"

b. Pour 7 : ,lim_!^?

/ 2 ^/@ lim_!^?

/2 0 2 . Pour appliquer les règles de calcul sur les limites d’un quotient, il faut connaître le signe de 4.

Si B 2; 2C , alors 4 7 0 et donc lim_!^?

/;$^?_/ %∞

Si B ∞; 2CDB2; %∞C, alors 4 E 0 et donc lim_!^?

/;$^?_/ ∞. De même pour E : lim_!^?

/;'^?_/ ∞ si B 2; 2C et lim_!^?

/;'^?_/ %∞ si B ∞; 2CDB2; %∞C.

c. est de la forme ³

4 …

5 2 2 2

2 4

2

Le dénominateur est strictement positif donc le signe de 5 est le même que celui de 4 . Pour B 2; 2C, 4 E 0 et donc est croissante.

Pour B ∞; 2CDB2; %∞C, 4 7 0 et donc est décroissante.

Au final, nous obtenons les tableaux de variations suivants :

Pour B 2; 2C Pour B ∞; 2CDB2; %∞C

∞

2 %∞ ∞

2 %∞

Variations de

%∞

2 Variations

de

%∞

2 ∞ ∞

2 7) D’après les tableaux de variations précédents, s’il y a un centre de symétrie pour 8, ses coordonnées ne peuvent être que F;G. Vérifions si ce point convient. Pour cela, on calcule ^H?F

?/GH_?F^?_/G

et on doit obtenir

. F

2 % G % F

2 G F2 % G 2

2 F2 % G % F2 G 2 2 F2 G

4 % 2

2

4 2

2 2

2 Et donc ^H?F

?/GH_?F^?_/G .

Ceci montre bien que ;F;G est le centre de symétrie de 8

8) Les points ; , quand 2; 2, appartiennent tous à la droite d’équation : . Donc Γ est contenue dans cette droite. Par contre, tous les points ne sont pas atteints. En effet, pour 1 et pour 1, il n’y a aucune valeur de correspondante.

Finalement, Γ est la droite d’équation : auquel on enlève deux points 1; 1 et 1; 1. 9) Et voici les courbes :

Exercice 2

1) Le point Q existe car la somme des coefficients est différente de 0.

Pour construire Q, on peut considérer le point R, milieu de C;<B et donc barycentre de ;; 1 et <; 1. Par associativité du barycentre, on peut donc dire que Q est le barycentre de R; 2 et 8; 2 donc le milieu de CR8B.

2) On considère .

a. S existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle. Cette somme vaut ici : % % 2 % 2 4 % 4 % 4 % 4 0.

Donc Sexiste pour tout .

b. Pour S : c’est le barycentre de ;; 2, <; 2, 84 et ; 16. Comme Q est le barycentre de

;; 1, <; 1 et 8; 2, il l’est aussi avec les coefficients multipliés par 2 et donc par associativité du barycentre, S est le barycentre de Q; 8 et ; 16. Donc SZZZZZZZZZZ[ ^\_\QZZZZ[ QZZZZ[.

Pour S : c’est le barycentre de ; 4 autrement dit S .

Pour S : c’est le barycentre de ;; 2, <; 2 et 8; 4 . Autrement dit S Q.

c. Comme Q est le barycentre de ;; 1, <; 1 et 8; 2 alors, il l’est aussi, pour 0, de ;; ,

<; et 8; 2. Par associativité du barycentre, S est le barycentre de Q; 4 et ; 2. On a alors SZZZZZZZZZ[ _@^@ _/QZZZZ[ ^@_/@QZZZZ[.

3) ]: _^@_/@ définie sur .

a. ] est une fonction rationnelle donc les limites à l’infini sont égales aux limites du quotient des termes de plus haut degré. lim!+"] lim!+"@

^/ lim!+"@ 0. b. ] est de la forme ³

4…

]⁵ 4% 4 2 ` 4

% 4 16 4

% 442 2 % % 4 Le dénominateur est strictement positif donc ]⁵ est du signe de 2 2 % .

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

2 3 4

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

∞ 2 2 %∞

Signe de

]⁵ 0 % 0

Variations de ]

0 1

1 0

c. D’après le tableau de variations de ], quand a 2, alors ] C1; 0C; quand C2; 2B, alors ] C1; 1B et quand C2; %∞C, alors ] B0; 1B . Finalement, quand décrit , ] décrit tout l’intervalle C1; 1B.

4) Comme SZZZZZZZZZ[ ^@

^/@QZZZZ[, on peut déjà dire que les points , S et Q sont alignés.

Quand décrit , ^@

^/@ décrit l’intervalle C1; 1B d’après la question précédente. On a donc, pour valeurs extrêmes, S

ZZZZZZZZZ[ QZZZZ[ (ce qui correspond à S) et SZZZZZZZZZ[ Q ZZZZ[ (ce qui correspond à S).

Donc Γ correspond à l’intervalle CSSB Figure :