Limite d’une fonction en un point

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Limite d’une fonction en un point

Définiton

Soitf une fct déf. sur un intervalleIdeR, sauf p-ê ena∈I.

l∈Rest lalimite def enasi, quandx∈Ise rapproche dea,f(x)se rapproche del. Dans ce cas,

xlim→af(x)=l.

Exemple

I=[1,a[,

limx→1f(x)=f(1)=l, limx→af(x)=m.

Proposition

Si la limite def enaexiste, alors elle estunique.

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Limites à droite et à gauche

Définiton

Sixse rapproche deapar valeurs décroissantes, c-à-dx>a(reps. croissantes, c-à-d x<a), on notex→a⁺(reps.x→a⁻).Limited’une fonction f à droite (resp. à gauche) dea:

lim

x→a⁺f(x)= lim

x→a,x>af(x)(resp. lim

x→a⁻f(x)= lim

x→a,x<af(x)).

Exemple

I=[−a, 0[∪]0,a], limx→0⁻f(x)=l, lim_x→0+f(x)=m.

Propriété

xlim→af(x)=l =⇒ lim

x→a⁻f(x)=l= lim

x→a⁺f(x).

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Limite infinie et en l’infini

Définiton

On peut étendre la notion delimite pour l’infini. On a :

lim_x→af(x)= +∞signifie "quandxse rapproche dea,f(x)devient aussi grand que l’on veut” ;

lim_x→+∞f(x)=lsignifie "quandxdevient très grand,f(x)se rapproche del” ; limx→−∞f(x)=lsignifie "quandxdevient très petit,f(x)se rapproche del” ; lim_x→±∞f(x)= ±∞signifie "quandxdevient très grand (petit), f(x)devient aussi grand (petit) que l’on veut”.

Exemple

lim_x→0+1 x = +∞, lim_x→0−1

x = −∞, limx→+∞1

x =0, limx→−∞1

x =0.

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Opérations sur les limites

Proposition

Soientf etgdeux fonctions, eta∈R∪{−∞,+∞}etl,m∈R. Silimx→af(x)=letlimx→ag(x)=m, alors :

– lim_x→a(f(x)+g(x))=l+m; – lim_x→a(m f(x))=ml; – limx→a(f(x)g(x))=l m; – sim6=0,limx→a f(x)

g(x)=_m^l ;

sim=0etg(x)>0pourxproche dea, etl6=0, on alim_x→ag^f(x)_(x)= +∞quand l>0, et−∞quandl<0;

sim=0etg(x)<0pourxproche dea, etl6=0, on alim_x→ag^f(x)_(x)= −∞quand l>0, et+∞quandl<0.

La proposition précédente ne fait pas mention de ce qu’on appelle lesFormes Indéterminées. Voici un tableau récapitulatif contenant les différents types de F.I.

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Limites et Formes Indéterminées

lim_af lim_ag lim_a(f+g) lim_a(f g) lim_a^f_g

±∞ m6=0 ±∞ ±sgn(m)∞ ±sgn(m)∞

l6=0 ±∞ ±∞ ±sgn(l)∞ 0

+∞ −∞ F.I.+∞ − ∞ −∞ F.I.^+∞_−∞

+∞ +∞ +∞ +∞ F.I.^+∞

+∞

−∞ −∞ −∞ +∞ F.I.^−∞_−∞

0 ±∞ ±∞ F.I.0·(±∞) 0

±∞ 0 ±∞ F.I.(±∞)·0 ±sgn(g)∞

0 0 0 0 F.I. ⁰₀

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Théorème d’encadrement

Théorème

Soitf une fct définie sur un intervalleI, sauf p-ê ena(afini ou infini), c-à-d

x∈]a−α,a+α[,α>0, pourafini ;x>M>0poura= +∞;x< −M<0poura= −∞, on a :

(i) u(x)≤f(x)≤v(x),siuetvont la même limitel finie ena, alors :

x→alimf(x)=l.

(ii) u(x)≤f(x),silimx→au(x)= +∞, alors :

xlim→af(x)= +∞. (iii) f(x)≤v(x),silim_x→av(x)= −∞, alors :

x→alimf(x)= −∞.

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Exemples

Exemple ( lim

_a

f = l )

pourx∈]a−α,a+α[, u(x)≤f(x)≤v(x)et limau=l=limav.

Exemple ( lim

_+∞

f = l )

pourx≥M,u(x)≤f(x)≤v(x) etlim_+∞u=l=lim_+∞v.

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Exemples

Exemple ( lim

_a

f = +∞ ⁾

pourx≥M,u(x)≤f(x) etlim_x→+∞u(x)= +∞.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Limite à l’infini d’une fonction polynômiale et F.I. “ +∞ − ∞ ^”

La méthode est demettre en facteur le terme de plus haut degré.

Exemple

limx→+∞(6x⁵−x³+1)est une F.I. “+∞ − ∞”. On peut, pourxassez grand (loin de0), diviser parxet ses puissances ; on peut donc écrire :

6x⁵−x³+1=6x⁵(1− 1 6x²+ 1

6x⁵).

Donc

x→+∞lim (6x⁵−x³+1)= lim

x→+∞6x⁵(1− 1 6x²+ 1

6x⁵).

Commelim_x→+∞(1−_6x¹2+_6x¹5)=1etlim_x→+∞6x⁵= +∞, on obtient :

x→+∞lim (6x⁵−x³+1)= +∞.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Limite à l’infini d’une fonction rationnelle et F.I. “

^∞_∞

”

La méthode est demettre le terme de plus haut de degré du numérateur et celui du dénominateur en facteur, et de simplifier les facteurs ainsi obtenus.

Exemple

limx→+∞5x³+3x²+x+1

4x⁵+x+3 est une F.I. “^∞_∞”. On a pourxassez grand (loin de0) : 5x³+3x²+x+1=5x³(1+_5x³ +_5x¹2+_5x¹3)et4x⁵+x+3=4x⁵(1+_4x¹4+_4x³5). Donc

lim_x→+∞^5x3+3x2+x+1

4x⁵+x+3 =lim_x→+∞^5x

3(1+_5x³+_5x¹₂+_5x¹₃) 4x⁵(1+_4x¹4+_4x³5)

=lim_x→+∞ ⁵

4x²

1+_5x³+_5x¹2+_5x¹3 1+ ¹

4x4+ ³ 4x5

.

Commelim_x→+∞(1+_5x³ +_5x¹2+_5x¹3)=lim_x→+∞(1+_4x¹4+_4x³5)=1et limx→+∞ 5

4x² =0, on obtient :

x→+∞lim

5x³+3x²+x+1 4x⁵+x+3 =0.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Remarque

On peut montrer ainsi qu’une fonction rationnelle non nulle a le même comportement en +∞et−∞que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et dénominateur.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Limite en a de F.I. “

⁰₀

” d’un quotient de fonctions

Pour une fonction rationnelle, la F.I. provient du fait queaest une racine pour son numérateur et son dénominateur, c-à-d qu’ils sont tous les deux divisbles parx−a. La méthode consiste donc àdiviser le numérateur et le dénominateur parx−atant que les quotients obtenus ontapour racine. Cela permet “d’enlever” la F.I. et ainsi on peut calculer la limite.

Exemple

lim_x→1x2^x_−3x²⁻¹

+2est une F.I. “⁰₀”. On a bien1qui est une racine pourx²−1et x²−3x+2. On obtient le quotient de la division de de chacun de ces polynômes par x−1par identification ou division euclidienne. Ici, c’est en fait assez simple. On a x²−1=(x−1)(x+1)(identité remarquable) etx²−3x+2=(x−1)(x−2). Donc, pour x6=1,

x²−1

x²−3x+2=(x−1)(x+1) (x−1)(x−2)=x+1

x−2. Donc

x→1lim

x²−1

x²−3x+2=lim

x→1

x+1 x−2=1+1

1−2= −2.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Limite en a de F.I. “

⁰₀

” ou “ +∞ − ∞ ” d’un quotient de fonctions

Pour un quotient dont le numérateur (ou le dénominateur) est une somme ou une différence dont l’un des termes est une racine carrée, la méthode consisteà multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée, puis de simplifier le quotient obtenu.

Exemple (1)

lim_x→5

px−1−2

x−5 est une F.I. “⁰₀”. Le numérateur a une racine carrée dans son expression. Son expression conjuguée estp

x−1+2. Si on multplie le numérateur et le dénominateur par cette expression, on obtient, pourx6=5:

px−1−2 x−5 =⁽

px−1−2)(p x−1+2) (x−5)(p

x−1+2) = ⁽

px−1)²−2² (x−5)(p

x−1+2)

=_(x−5)(^x−1−4p_x−1+2)=_(x−5)(^xp−5_x−1+2)=^p_x−1+2¹ . Donc

xlim→5

px−1−2 x−5 =lim

x→5

p 1

x−1+2=1 4.

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Méthodes pour calculer des limites et “enlever” les F.I.s

Exemple (2)

limx→+∞

px+2−xest une F.I. “+∞ − ∞”. Multiplions et divisons cette expression par son expression conjuquée qui estp

x+2+x. On a, pourxassez grand px+2−x =⁽

px+2−x)(p x+2+x) px+2+x

px+2²−x² px+2+x

=^px+2−_x+2+x^x2 = ^x

2(¹_x+_x²2−1) x(q

1 x+_x²₂+1)

=x

1 x+_x²₂−1 q1

x+_x²₂+1.

Commelimx→+∞

1 x+²

x2−1 q₁

x+_x²2+1= −1, on obtient :

x→+∞lim

px+2−x= lim

x→+∞x

1

x+_x²2−1 q1

x+_x²2+1

= −∞.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Dans toute la suite,Idésignera un intervalle réel non vide et non réduit à un point.

Considérons une fonction réellef définie surI f : I −→ R

x 7−→ f(x).

On noteCf la courbe représentative def, c-à-d la courbe d’équationy=f(x)dans le repère (orthonormé)(O,−→i ,−→j).

SoitM₀(a,f(a))∈Cf,fixé, etM(x,f(x))∈Cf, mobile, avecM6=M₀.

Sécante

(DM)=(M0M) la sécante à CF

passant par les pointsM0etM.

Soncoefficient directeurest donné par :

ϕa(x) := f(x)−f(a) x−a .

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Définiton

On appelletangente à la courbeCf au pointM0(a,f(a)), la droite(D)passant par M0et position limite de la sécante(DM)quandM∈CFtend versM0.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Il y atroispossibilités :

(1) limx→aϕa(x)existe et est finie :

dans ce cas, la droite(D)a pourcoefficient directeurλ:=limx→aϕa(x)et(D)a pour équation :

y=λ(x−a)+f(a).

(2) lim_x→aϕa(x)est infinie :

la droite(D)est appeléetangente verticaleàCf enM₀(a,f(a))et elle a pour équation :

x=a.

(3) ϕan’a pas de limite finie ou infinie ena:

dans ce cas,(D)n’est pas une droite, mais parfois deux demi-droites, appelées demi-tangentes.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Exemple

(1) Tangente en(1, 1)deCf avec

f :R −→ R x 7−→ x².

On a

x→1lim

f(x)−f(1) x−1 =lim

x→1

x²−1 x−1 =lim

x→1

(x−1)(x+1) x−1 =lim

x→1x+1=2.

Donc l’équation de la tangente esty=2(x−1)+f(1), c-à-d y=2x−1.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Exemple

(2) Tangente en(0, 0)deCf avec

f : [0,+∞[ −→ R x 7−→ p

x.

On a

limx→0

f(x)−f(0) x−0 =lim

x→0

px x =lim

x→0

p1x = +∞.

Donc la courbe a une tangente verticale en(0, 0)d’équation

x=0.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Exemple

(3) Tangente en(0, 0)deCf avec

f :R −→ R x 7−→ |x|.

On a

x→0lim

f(x)−f(0) x−0 =lim

x→0

|x| x qui n’existe pas. Par contre

lim_x→0−|x|

x =lim_x→0−−x x = −1, lim_x→0+|x|

x =lim_x→0+x x=1.

Donc la courbe n’a pas de tangente en(0, 0)mais deux demi-tangentes (à gauche et à droite de(0, 0)) d’équation respective

y= −x et y=x.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Définiton

Soitf une fonction définie surIeta∈I.

(i) On appelletaux d’accroissementoude variation def enala fonction : ϕa: I \ {a} −→ R

x 7−→ ^f(x)−f_x−a^(a).

Pourx∈I \ {a},ϕa(x)est lecoefficient directeur de la sécanteà la courbe représentativeCf def passant par(a,f(a))et(x,f(x)).

(ii) On dit quef estdérivable enasilim_x→aϕa(x)existe et est finie. Dans ce cas, on pose :

f⁰(a) :=lim

x→aϕa(x).

C’est lenombre dérivé de f ena. C’est lecoefficient directeur de la tangenteà Cf au point(a,f(a)). Dans ce cas, l’équation de la tangente àCf en(a,f(a))a pour équation :

y=f⁰(a)(x−a)+f(a).

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Exemple

Dérivabilité de

(1)

f :R −→ R x 7−→ x². On a

f(x)−f(a)

x−a = x²−a² x−a

= (x−a)(x+a)

x−a =x+a.

Donc, poura∈R,

f⁰(a)=lim

x→a

f(x)−f(a) x−a =lim

x→a(x+a)=2a.

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Dérivée d’une fonction réelle en un point

Exemple

(2)

f :R\ {0}−→ R x 7−→ ¹_x. On a

f(x)−f(a) x−a =

1 x−_a¹ x−a

=

a−x xa

x−a= − 1 xa. Donc, poura∈R\ {0},

f⁰(a)=lim

x→a

f(x)−f(a) x−a =lim

x→a− 1 xa= − 1

a².

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Développement limité d’ordre 1

Proposition

Soitf une fonction définie surI,a∈I. Alors f est dérivable enasi et seulement si il existe ununiqueλ∈R, uneuniquefonctionεdéfinie surItels que :

(i) lim_x→aε(x)=0=ε(a)

(ii) ∀x∈I,f(x)=f(a)+λ(x−a)+(x−a)ε(x).

Dans ce cas,λ=f⁰(a). L’expression ci-dessus est appeléedéveloppement limitéou de Taylor-Young def enaà l’ordre1.

Exemple

La fonctionx7→x²a pour développement limité d’ordre1enaest : x²=a²+2a(x−a)+(x−a)². Iciλ=2aetε(x)=(x−a)².

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Lien avec la continuité

Proposition

Soitf une fonction définie surI,a∈I. Alors

f est dérivable en a =⇒ f continue en a.

Remarque

La réciproque estFAUSSE. Quelques contres exemples : les fonctions suivantes sont continues en0mais pas dérivables

x7→p

x x7→ |x|.

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Fonction dérivée

Définiton

Soitf une fonction définie surI. On dit quef estdérivable surIsi

∀x∈I f est dérivable en x. On note alors

f⁰: I −→ R x 7−→ f⁰(x) lafonction dérivéeou ladérivée def.

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Dérivées des fonctions usuelles

f Df f⁰ D. de dériv.

x7→Cste R x7→0 R

x7→xⁿ(n∈N^∗) R x7→nxⁿ⁻¹ R x7→_x¹n (n∈N^∗) R^∗ x7→ −_xnⁿ+1 R^∗

x7→e^x R x7→e^x R

x7→ln(x) ]0,+∞[ x7→¹_x ]0,+∞[ x7→p

x [0,+∞[ x7→₂^p1_x ]0,+∞[

x7→p³x R x7→ ¹

3p³

x² R^∗

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Dérivées des fonctions usuelles

f Df f⁰ D. de dériv.

x7→x^α(α∈R\Q) ]0,+∞[ x7→αx^α−1 ]0,+∞[

x7→cos(x) R x7→ −sin(x) R

x7→sin(x) R x7→cos(x) R

x7→tan(x) ∪k∈Z](2k−1)^π₂, (2k+1)^π₂[ x7→_cos¹2(x) ∪k∈Z]^2k−1₂ π,^2k+1₂ π[

Remarque

1

cos²(x)=1+tan²(x).

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Propriétés algébriques de la dérivée

Théorème

Soientf etgdeux fonctions dérivables surI. Alors : (i) f +gest dérivable surIet

(f+g)⁰=f⁰+g⁰ (ii) f ·gest dérivable surIet (formule de Leibniz)

(f ·g)⁰=f⁰·g+f ·g⁰ (iii) sig(a)6=0,a∈I,_g^f est dérivable enaet

µf g

¶₀

(a)= f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a)

(g(a))² .

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Dérivée d’une fonction composée

Exemple

Dérivée de la fonction tangente.

Soitx∈](2k−1)^π₂, (2k+1)^π₂[aveck∈Z. On a

tan⁰(x)=

µsin(x) cos(x)

¶₀

= sin⁰(x) cos(x)−sin(x) cos⁰(x) cos²(x)

= cos(x) cos(x)−sin(x)(−sin(x)) cos²(x)

= cos²(x)+sin²(x)

cos²(x) =1+tan²(x)

= 1

cos²(x).

Théorème

Soientf : I→Retg: J→Ravec f(I)⊂J, eta∈I. Sif est dérivable enaetg est dérivable enf(a), alorsg◦f est dérivable enaet

(g◦f)⁰(a)=g⁰(f(a))·f⁰(a).

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Dérivée d’une fonction composée

Exemple (Dériver la fonction x 7→ ln(x

²

+ 1)e

^2x

)











x7→x²+1dérivable surR (c’est un polynôme)

pour tout x∈R,x²+1≥1>0 ln(·)est dérivable sur]0,+∞[

composition

=⇒ x7→ln(x²+1)dérivable surR.

x7→e^2x étant aussi dérivable surR, par produit,x7→ln(x²+1)e^2xdérivable surR. Dérivation d’une composée :

(ln(x²+1))⁰ = (x²+1)⁰ln⁰(x²+1)

= 2x ¹

x²+1

(e^2x)⁰ = (2x)⁰exp⁰(2x)

= 2e^2x Formule (de Leibniz) de dérivation d’un produit :

(ln(x²+1)e^2x)⁰ = (ln(x²+1))⁰e^2x+ln(x²+1)(e^2x)⁰

= _x^2x2+1e^2x+ln(x²+1)2e^2x

= 2e^2x³

x

x²+1+ln(x²+1)´ .

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Quelques formules de dérivées de composées

fonction dérivée

sans condition suru

uⁿ(n∈N) nu⁰·uⁿ⁻¹

e^u u⁰·e^u

cos(u) −u⁰·sin(u)

sin(u) u⁰·cos(u)

avec conditions suru

pu u⁰

2p u

ln(u) u⁰

u 1

u −u⁰

u²

tan(u) u⁰

cos²(u)=u⁰·(1+tan²(u))

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Sens de variations

Définiton

Soitf une fonction définie surI. On dit que :

(i) f est croissante (resp. strictement croissante) surIsi

∀x,y∈I, x<y =⇒ f(x)≤f(y)(resp. f(x)<f(y)) (ii) f est décroissante (resp. strictement décroissante) surIsi

∀x,y∈I, x<y =⇒ f(x)≥f(y)(resp. f(x)>f(y)) (iii) f est (strictement) monotone surIsi f est (strictement) croissante ou bien

(strictement) décroissante surI.

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Sens de variations

Proposition

Soitf une fonction dérivable surI. Alors :

(i) f est croissante surI ⇐⇒ ∀x∈I, f⁰(x)≥0 (ii) f est décroissante surI ⇐⇒ ∀x∈I, f⁰(x)≤0 (iii) f est constante surI ⇐⇒ ∀x∈I, f⁰(x)=0

Remarque

SiIn’est pas un intervalle, la proposition estFAUSSE. Contre-exemple : la fonction f :R^∗ −→ R

x 7−→ ¹_x

est de dérivée<0mais n’est pas monotone ; par ex.−2< −1<1mais

f(−2)= −¹₂>f(−1)= −1<1=f(1)

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Sens de variations

Proposition

Soitf une fonction dérivable surI. Alors :

(i) ∀x∈I, f⁰(x)>0 =⇒ f strictement croissante surI (ii) ∀x∈I, f⁰(x)<0 =⇒ f strictement décroissante surI

Remarque

Les réciproques sontFAUSSES. Contre-exemple : la fonction

f :R^∗ −→ R x 7−→ x³

est strictement croissante mais sa dérivée f⁰:x7→3x²s’annule en0.

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Sens de variations

Définiton

Soitf une fonction définie surDf,a∈Df. On dit quef admet unpoint critique enasi f⁰(a)=0. Dans ce cas,Cf admet une tangente horizontale au point(a,f(a))

d’équationy=f(a).

Remarque

On rencontre dans ce castroissituations différentes :

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Extrema d’une fonction

Définiton

Soitf une fonction définie surDf eta∈Df. On dit que : (i) f(a)est unminimum(resp.maximum)globaldef si

∀x∈Df, f(x)≥f(a)(resp. f(x)≤f(a)) (ii) f(a)est unminimum(resp.maximum)localdef si

∀x∈Df proche de a, f(x)≥f(a)(resp. f(x)≤f(a))

(iii) f(a)est unextremum global(resp.local) def sif(a)est soit un minimum soit un maximum global resp. local).

Exemple

f(a)est un maximumlocal f(b)est un minimumglobal

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Méthode pratique pour déterminer les extrema

Proposition

Soitf une fonction définie surDf, eta∈Df. Sif est dérivable enaetf⁰(a)=0, alors :

(i) f(a)est un minimum local def si

½f⁰(x)≤0,pour x≤a, proche de a f⁰(x)≥0,pour x≥a, proche de a (ii) f(a)est un maximum local de f si

½f⁰(x)≥0,pour x≤a, proche de a f⁰(x)≤0,pour x≥a, proche de a

Remarque

Sif⁰ne change pas de signe ena mais f⁰(a)=0, la courbeCf a un point d’inflexion en(a,f(a)).

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Étude d’une fonction dérivable

Soitf une fonction réelle. Pour déterminer le sens de variations def et ainsi tracer (une esquisse de)Cf, on applique la méthode suivante :

(1) on détermine le domaine de définitionDf def ; (2) on détermine la possible parité def ;

(3) on détermine le domaine de dérivabilité def (qui est contenu dansDf) et on calcule sa dérivée ;

(4) on détermine les points critiques def, c-à-d les solutions def⁰(x)=0; (5) on étudie le signe def⁰sur le domaine de dérivabilité ;

(6) on en déduit les variations (la monotonie) def ; (7) on cherche les limites def aux bornes deDf ;

(8) on déduit du tableaux de variations complet les extrema def ; (9) avec toutes les informations obtenues, on trace une esquisse deCf.

Tous les résultats obtenus de(1)à(7)sont résumés dans letableau de variations.

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Étude d’une fonction dérivable

Exemple (Étude de la fonction f : x 7→ ln(x

²

− 1) )

(1) Domaine de définition def.

La fonctionf est définie ssi la composée deln(·)etx7→x²−1est définie.

– x7→x²−1est définie surRcar c’est un polynôme

– ln(·)est définie seulement sur]0,+∞[; on doit donc “restreindre” le domaine de définition dex7→x²−1pour que cette fonction soit à valeurs dans]0,+∞[ – x²−1=(x−1)(x+1)>0 ⇐⇒ x∈]− ∞,−1[∪]1,+∞[

DoncDf =]− ∞,−1[∪]1,+∞[.

(2) Parité def.

Soitx∈Df, c-à-dx< −1oux>1. Alors−x>1ou−x< −1. Donc−x∈Df. De plus,f(−x)=ln((−x)²−1)=ln(x²−1)=f(x). Doncf est paire.

Il suffit donc d’étudierf sur l’intervalle]1,+∞[et le reste en découlera par parité.

En particulier, la courbe représentativeCf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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Étude d’une fonction dérivable

Exemple (Étude de la fonction f : x 7→ ln(x

²

− 1) )

(3) f est dérivable ssi la composée deln(·)etx7→x²−1est dérivable.

– x7→x²−1est dérivable surR(c’est un polynôme) et strictement positive sur ]− ∞,−1[∪]1,+∞[^.

– x7→ln(x)est dérivable sur]0,+∞[

Doncf est dérivable sur]− ∞,−1[∪]1,+∞[=Df. Dérivée def. Pourx∈Df,

f⁰(x) = (ln(x²−1))⁰=(x²−1)⁰ln⁰(x²−1)=2x 1

x²−1= 2x x²−1. (4) La dérivéef⁰def s’écrit, pourx∈Df,

f⁰(x)= 2x (x−1)(x+1).

Points critiques def. On a, pourx∈Df,f⁰(x)=0 ⇐⇒ x=0∉Df. Doncf⁰ne s’annule jamais surDf, c-à-d,f n’a pas de point critique.

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Étude d’une fonction dérivable

Exemple (Étude de la fonction f : x 7→ ln(x

²

− 1) )

(5) Tableau de signes def⁰

x x+1

x x−1 f⁰(x)

1 +∞

+ +

0 +

+ (6) Tableau de variations (incomplet) def

x f⁰(x)

f

1 +∞

+

?

?

?

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Étude d’une fonction dérivable

Exemple (Étude de la fonction f : x 7→ ln(x

²

− 1) )

(7) Limites def aux bornes deDf.

– on alim_x→1+(x²−1)=0par valeurs décroissantes etlim_x→0+ln(x)= −∞^{; donc,} par composition,lim_x→1+(f(x))=limx→−1⁻ln(x²−1)= −∞et par parité, lim_x→−1−(f(x))=lim_x→−1−ln(x²−1)= −∞

– on alim_x→+∞(x²−1)= +∞^etlim_x→+∞ln(x)= +∞; donc, par composition, limx→+∞(f(x))=limx→−∞ln(x²−1)= +∞et par parité,

limx→−∞(f(x))=lim_x→−∞ln(x²−1)= +∞

(8) Tableau de variations (complété) def Recherche des zéros def.

f(x)=0 ⇐⇒ln(x²−1)=0⇐⇒ x²−1=1⇐⇒ x²=2 ⇐⇒ x= ±p 2.

x f⁰(x)

f

−∞ −1 1 +∞

− +

+∞

+∞

−∞ −∞

+∞

+∞

−p 2

0

p2

0

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Étude d’une fonction dérivable

Exemple (Étude de la fonction f : x 7→ ln(x

²

− 1) )

(9) Esquisse deCf.

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Définiton

Soitf une fonction définie surDf à valeurs dansF⊂R. On dit quef estbijective de Df surFsi touty∈Fadmet ununiqueantécédent parf.

Exemple

La fonction

f : [0,+∞[−→ [0,+∞[ x 7−→ x²

est bijective. En effet, poury∈[0,+∞[, on prendx=py, qui est unique, et on a f(x)=(py)²=y.

Par contre,

g:R −→ [0,+∞[ x 7−→ x²

n’est pas bijective. Par exemple,4adeuxantécédents parg:2et−2.

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Proposition

Sif une fonction bijective surDf, il existe uneuniquefonctiongdéfinie surf(Df) vérifiant :

∀x∈Df, (g◦f)(x)=x

∀y∈f(Df), (f◦g)(y)=y.

Cette fonction est appelée laréciproque def et est notéef⁻¹.

Exemple

(1) exp(·)est la réciproque deln(·) (2) p

·est la réciproque de

[0,+∞[→ [0,+∞[ x 7→ x² (3) p³

·est la réciproque de

R → R x 7→ x³ (4) arctan(·)est la réciproque de

]−^π₂,^π₂[→ R x 7→ tan(x)

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Remarque

(i) Ne pas confondref⁻¹et ¹_f.

(ii) La courbe repésentativeCf⁻¹def⁻¹est symétrique à la courbe représentativeCf

def par rapport à la droite d’équationy=x. Par exemple

Proposition

Sif une fonction définie surI. Sif est dérivable et strictement monotone surI, alorsf est bijective deIsurf(I).

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Exemple

(1) La fonctionln(·)est dérivable sur]0,+∞[. Sa dérivéex7→¹_x est strictement positive, ainsiln(·)est strictement croissante sur]0,+∞[. Donc elle est bijective.

Sa réciproque estexp(·).

(2) La fonctionx7→x²est dérivable sur[0,+∞[et strictement croissante sur[0,+∞[.

Donc elle est bijective sur[0,+∞[. Sa réciproque estp

·.

Théorème

Soitf une fonction dérivablesurI, strictement monotone. Soita∈I. Sif⁰(a)6=0, alors la réciproquef⁻¹def et dérivable enf(a)et

(f⁻¹)⁰(f(a))= 1 f⁰(a). Autrement dit, si on poseb=f(a), on a :

(f⁻¹)⁰(b)= 1 f⁰(f⁻¹(b)).

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Comment retrouver cette formule ?

Notonsgla réciproque def. On a

(f ◦g)(y)=y.

On dérive cette expression et on obtient

g⁰(y)·f⁰(g(y))=1.

On a donc bien

(f⁻¹)⁰(y)=g⁰(y)= 1

f⁰(g(y))= 1 f⁰(f⁻¹(y)).

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Exemple

(1) La fonctionln(·)est dérivable et bijective sur]0,+∞[de dérivée jamais nulle. En effet

∀x>0, ln⁰(x)=1 x6=0.

Donc la réciproqueexp(·)deln(·)est dérivable surln(]0,+∞[)=R. On a, pour y∈R,

exp⁰(y)= 1 ln⁰(e^y)= 1

1 e^y

=e^y.

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Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective

Exemple

(2) La fonctionx7→tan(x)est dérivable et strictement croissante sur]−^π₂,^π₂[. Donc elle est bijective sur]−^π₂,^π₂[. Sa réciproque est notéearctan(·). De plus la dérivée detan(·)n’est jamais nulle sur]−^π₂,^π₂[. En effet,

∀x∈]−π 2,π

2[, tan⁰(x)=1+tan²(x)≥1>0.

Donc la réciproquearctan(·)detan(·)est dérivable surtan(]−^π₂,^π₂[)=R. On a, poury∈R,

arctan⁰(y)= 1

tan⁰(arctan(y))= 1

1+tan²(arctan(y))= 1 1+y².