Limite d une fonction numérique

Limite d’une fonction numérique

1- Limites de fonctions : définitions et premières propriétés.

a- Limite à l’infini

Définition (limite infinie à l’infini) :

Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷_𝑓 de ℝ, tel qu’il existe un réel 𝑎 pour lequel [𝑎 ; +∞[ est inclus dans 𝐷_𝑓. (On dit que 𝑓 est définie au voisinage de +∞).

On dit que 𝑓 a pour limite +∞ quand 𝑥 tend vers +∞ lorsque pour tout réel 𝑀, il existe un réel 𝑚 > 0 tel que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐷_𝑓, si 𝑥 > 𝑚, alors 𝑓(𝑥) > 𝑀.

On écrit alors : _𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = +∞.

On définit de façon similaire les limites : _𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = −∞, _{𝑥→−∞}lim 𝑓(𝑥) = +∞ et

𝑥→−∞lim 𝑓(𝑥) = −∞.

Propriétés :

• Pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, _𝑥→+∞lim 𝑥^𝑛 = +∞ et _{𝑥→−∞}lim 𝑥^𝑛 = { +∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒−∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒.

• _𝑥→+∞lim √𝑥 = +∞. Exemples :

𝑥→+∞lim 𝑥³ = +∞, _{𝑥→−∞}lim 𝑥² = +∞ et _{𝑥→−∞}lim 𝑥⁵ = −∞ .

Définition (limite finie à l’infini) :

Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷𝑓 de ℝ, tel qu’il existe un réel 𝑎 pour lequel [𝑎 ; +∞[ est inclus dans 𝐷𝑓.

On dit que 𝑓 a pour limite, un réel 𝑙 quand 𝑥 tend vers +∞ lorsque tout réel 𝜀 > 0, il existe un réel 𝑚 > 0 tel que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, si 𝑥 > 𝑚,

alors |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀.

On écrit alors : _𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = 𝑙.

On définit de façon similaire les limites : _{𝑥→−∞}lim 𝑓(𝑥) = 𝑙. Propriétés :

• Pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, _𝑥→+∞lim _𝑥¹_𝑛 = 0, et _{𝑥→−∞}lim _𝑥¹_𝑛 = 0.

• _𝑥→+∞lim _√𝑥¹ = 0. Exemples :

𝑥→+∞lim

1

𝑥² = 0, _{𝑥→−∞}lim _𝑥¹₂ = 0 et _{𝑥→−∞}lim ¹_𝑥= 0 . Applications et méthodes sur le site

b- Limite en un réel

Définition (Limite infinie en a) :

Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷𝑓 de ℝ, et 𝑎 un élément de 𝐷𝑓.

On dit que 𝑓 a pour limite +∞ quand 𝑥 tend vers 𝑎 signifie que ∀𝑀 ∈ ℝ, ∃𝛿 > 0, tel que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, si |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, alors 𝑓(𝑥) > 𝑀.

On note alors : _𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = +∞.

Propriétés :

• Pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗,

o si 𝑛 est pair, _𝑥→0lim_𝑥¹_𝑛 = +∞.

o si 𝑛 est impair, { lim𝑥→0

𝑥>0 1

𝑥^𝑛 = +∞ , (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 0) lim𝑥→0

𝑥<0 1

𝑥^𝑛 = −∞ , (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 𝑒𝑛 0)

• _𝑥→0lim

𝑥>0 1

√𝑥 = +∞. Exemples :

𝑥→0lim

1

𝑥² = +∞, _𝑥→0lim

𝑥>0 1

𝑥³= +∞ et _𝑥→0lim

𝑥<0 1

𝑥³ = −∞. Notations :

𝑥→0lim

𝑥>0

𝑓(𝑥) Se note aussi _𝑥→0lim₊𝑓(𝑥) et _𝑥→0lim

𝑥<0

𝑓(𝑥) se note _𝑥→0lim₋𝑓(𝑥). Définition (Limite finie en a):

Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷_𝑓 de ℝ, et 𝑎 un élément de 𝐷_𝑓. On dit que 𝑓 a pour limite un réel 𝑙 quand 𝑥 tend vers 𝑎 signifie que ∀𝜀 > 0,

∃𝛿 > 0, tel que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐷_𝑓, si |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, alors |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀. On note alors : _𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑙.

Propriétés (admises) :

Soit 𝑎 ∈ ℝ, on a :

• Si 𝑎 ≥ 0, _𝑥→𝑎lim√𝑥 = √𝑎.

• Si 𝑓 est un polynôme, alors _𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

• Si 𝑓 et 𝑔 sont des polynômes, et 𝑔(𝑎) ≠ 0, alors _𝑥→𝑎lim^𝑓(𝑥)_𝑔(𝑥)= ^𝑓(𝑎)_𝑔(𝑎).

• _𝑥→𝑎limcos 𝑥 = cos 𝑎.

• _𝑥→𝑎limsin 𝑥 = sin 𝑎.

• _𝑥→𝑎lim𝑒^𝑥= 𝑒^𝑎.

Applications et méthodes sur le site 2- Opérations sur les limites

a- Propriétés

On considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔, et deux réels 𝑙 et 𝑙′. Propriétés (admise) : Limite d'une somme

Limite de 𝑓

𝑙 𝑙 𝑙 +∞ −∞ +∞

Limite de 𝑔

𝑙′ . +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

Limite de 𝑓 + 𝑔

𝑙 + 𝑙′ +∞ −∞ +∞ −∞

« F.I. » signifie forme indéterminée.

On ne peut pas déterminer la limite par une simple lecture du tableau.

Exemples :

𝑥→1lim3𝑥 +¹_𝑥= 3 + 1 = 4, _𝑥→+∞lim 𝑥³+¹_𝑥= +∞, _{𝑥→−∞}lim 𝑥⁵ − 7 = −∞, … Propriétés (admise) : Limite d'un produit

Limite de 𝑓 ^{𝑙 𝑙 > 0 𝑙 < 0 𝑙 > 0 𝑙 < 0 +∞ −∞ +∞}

0

Limite de 𝑔 ^{𝑙′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞}

Limite de 𝑓 × 𝑔 ^{𝑙 × 𝑙′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ F.I.}

±∞ signifie +∞ ou −∞

Exemples :

𝑥→1lim𝑥²(1 + 𝑥) = 2, _𝑥→+∞lim 𝑥³(1 +¹_𝑥) = +∞, _{𝑥→−∞}lim 𝑥⁵(𝑥 − 1) = +∞, … Propriétés (admise) : Limite d'un quotient.

Limite

de 𝑓 ^{𝑙 𝑙}

𝑙 > 0 ou +∞

𝑙 > 0 ou +∞

𝑙 < 0 ou

−∞

𝑙 < 0 ou

−∞ +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞ 0

Limite

de 𝑔 ^{𝑙′ ≠ 0 ±∞}

0 avec

𝑔(𝑥) > 0

0 avec

𝑔(𝑥) < 0

0 avec

𝑔(𝑥) > 0

0 avec

𝑔(𝑥) < 0

𝑙′> 0 ^{𝑙′ < 0 𝑙′ > 0 𝑙′ < 0} ±∞ 0

Limite de ^𝑓

𝑔 𝑙

𝑙^′ 0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ F.I. F.I.

Exemples :

𝑥→+∞lim

1

𝑥²+2= 0, _{𝑥→−∞}lim ⁹⁹⁹⁹_𝑥 = 0, _𝑥→4lim_𝑥−2^√𝑥 =²₂= 1, …

Applications et méthodes sur le site

b- Formes indéterminées Propriété :

En _+∞ et en _−∞, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Exemple :

𝑥→+∞lim 𝑥³− 2𝑥² est une forme indéterminée "(+∞) + (−∞)".

Pour lever cette F.I. on factorise par le monôme de plus haut degré, alors

𝑥→+∞lim 𝑥³− 2𝑥²= lim_𝑥→+∞𝑥³(1 −_𝑥²) et puisque _𝑥→+∞lim 𝑥³= +∞ et _𝑥→+∞lim (1 −²_𝑥) = 1 − 0 = 1 Finalement lim

𝑥→+∞𝑥³− 2𝑥²= +∞. Remarque :

Une fonction écrite sous la forme d'un quotient de polynômes est une fonction rationnelle.

Exemple 1 :

𝑥→+∞lim

𝑥²

𝑥−3 est une forme indéterminée "(+∞) / (+∞)". Alors lim

𝑥→+∞

𝑥²+1

𝑥−3 = lim

𝑥→+∞

𝑥²(1+_𝑥2¹)

𝑥(1−_𝑥³) = lim

𝑥→+∞𝑥 ×⁽¹⁺₍₁₋^𝑥213⁾

𝑥) or lim

𝑥→+∞𝑥 = +∞, lim

𝑥→+∞1 +_𝑥¹₂= 1 + 0 = 1 et

𝑥→+∞lim 1 −_𝑥²₂= 1 − 0 = 1 et par quotient et produit de limites on obtient _𝑥→+∞lim ^𝑥_𝑥−3²⁺¹= +∞

Exemple 2 :

𝑥→+∞lim

𝑥+1

1−𝑥² est une forme indéterminée "(+∞) / (−∞)".

𝑥→+∞lim

𝑥+1

1−𝑥²= lim_𝑥→+∞ ^𝑥(1+

1 𝑥)

𝑥²(_𝑥2¹−1)= lim_𝑥→+∞¹_𝑥× ⁽¹⁺

1 𝑥)

(_𝑥2¹−1) or _𝑥→+∞lim ¹_𝑥= 0, _𝑥→+∞lim 1 +¹_𝑥= 1 et _𝑥→+∞lim _𝑥¹₂− 1 = −1 et par quotient et produit de limites on obtient _𝑥→+∞lim _1−𝑥^𝑥+1₂= 0 ×₋₁¹ = 0

Exemple 3 :

𝑥→1lim

2𝑥−2

1−𝑥² est une forme indéterminée "(0) / (0)".

𝑥→1lim

2𝑥−2

1−𝑥²= lim_{𝑥→1(1−𝑥)(1+𝑥)}^{−2(1−𝑥)} = lim_{𝑥→11+𝑥}⁻² =⁻²₂ = −1

c- Limites des fonctions irrationnelles Propriétés :

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 = [𝑎 ; +∞[ telle que 𝑓(𝑥) ≥ 0

• Si _lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 𝑙 alors _𝑥→+∞lim √𝑓(𝑥) = √𝑙 Exemple : _𝑥→+∞lim √¹_𝑥= √0 = 0

• Si _lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = +∞ alors _𝑥→+∞lim √𝑓(𝑥) = +∞ Exemple : _𝑥→+∞lim √𝑥²+ 1 = +∞

• Si _lim

𝑥→𝑎⁺𝑓(𝑥) = 𝑙 alors lim

𝑥→𝑎⁺√𝑓(𝑥) = √𝑙 Exemple : lim

𝑥→1⁺√𝑥 − 1 = 0.

• Si _lim

𝑥→𝑎⁺𝑓(𝑥) = +∞alors lim

𝑥→𝑎⁺√𝑓(𝑥) = +∞ Exemple : lim

𝑥→1⁺√_𝑥−1¹ = +∞

d- Limites des fonctions trigonométriques Propriétés :

𝑥→0lim

sin 𝑥

𝑥 = 1 ; lim_𝑥→0^{tan 𝑥}_𝑥 = 1 ; _𝑥→0lim^{1−cos 𝑥}_𝑥2 =¹₂ ; ∀𝑎 ∈ ℝ^∗ , lim_𝑥→0^{sin(𝑎𝑥)}_𝑥 = 𝑎

∀𝑎 ∈ ℝ , lim_𝑥→𝑎sin 𝑥 = sin 𝑎 et _𝑥→𝑎limcos 𝑥 = cos 𝑎 et si 𝑎 ≠^𝜋₂+ 𝑘𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℕ alors _𝑥→𝑎limtan 𝑥 = tan 𝑎 Exemples :

• lim

𝑥→0 sin 3𝑥

𝑥 = 3

• lim

𝑥→0 sin 3𝑥

2𝑥 = lim

𝑥→0 1

2×^{sin 3𝑥}_𝑥 = 3 ×¹₂=³₂

• _𝑥→0lim^{1−cos 𝑥}_𝑥 = lim_𝑥→0^{1−cos 𝑥}_𝑥2 × 𝑥 =¹₂× 0 = 0

• _𝑥→0lim^{1−cos 2𝑥}_𝑥2 = lim_𝑥→04 ×^{1−cos 2𝑥}_(2𝑥)2 = 4 ×¹₂= 2

Applications et méthodes sur le site 3- Limites et comparaison

a- Théorème de comparaison Théorème :

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur un intervalle 𝐼 = [𝑎 ; +∞[

• Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) sur 𝐼 et si _lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = +∞ alors lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = +∞.

• Si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) sur 𝐼 et si _lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = −∞ alors lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = −∞

Exemple :

On a 𝑥²+ sin 𝑥 ≥ 𝑥² − 1 et _lim

𝑥→+∞𝑥²− 1= +∞ donc _𝑥→+∞lim 𝑥²+ sin 𝑥= +∞

Remarque :

La même propriété est valable pour une limite en _−∞. Applications et méthodes sur le site

b- Théorème des gendarmes Théorème :

Soient 𝑓, 𝑔 et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle 𝐼 = [𝑎 ; +∞[ . Si 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) sur 𝐼 et si _lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = 𝑙 et _𝑥→+∞lim ℎ(𝑥) = 𝑙 alors _𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = 𝑙.

Exemple : On a ⁻¹

𝑥²+1≤_𝑥^{sin 𝑥}₂₊₁≤ _𝑥2¹₊₁ et _lim

𝑥→+∞

−1

𝑥²+1= lim_{𝑥→+∞𝑥2}¹₊₁= 0 donc _𝑥→+∞lim _𝑥^{sin 𝑥}₂₊₁= 0 Remarque :

Ce théorème est souvent appelé « théorème des gendarmes ». Il est également valable en _−∞ et en un réel 𝑎.

Applications et méthodes sur le site

(Voir aussi limite d’une fonction composée sur le site ) L’explication de tous le cours avec d’autres exemples et exercices en vidéo.

sur le site