9
Produit scalaire
32
Leçon
Niveau Première S
Prérequis vecteurs, norme de vecteurs Références [104], [105], [106], [107]
32.1
Définition dans le plan
Définition 32.1 — Produit scalaire. On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v et on note #»u ·#»v
le nombre réel défini par : #» u ·#»v = 1 2 h k#»u + #»vk2− k#»uk2− k#»vk2.i R 32.2 Si #»u= #»0 ou #»v = #»0 alors #»u·#» v = 0.
Théorème 32.3 Si(O, #»ı, #») est un repère orthonormée (c’est-à-dire (#»ı, #») est une base orthonor-male) et si #»u = (x, y) et #»v = (x0, y0) alors :
#»
u ·#»
v = xx0+ yy0.
Dv
•Démonstration du théorème32.3—On a : #»u+ #»v = (x + x0, y+ y0) et donc : k#» u+ #»vk2= (x + x0)2+ (y + y0)2. D’où : #» u·#» v =1 2(x + x0)2+ (y + y0)2− (x2+ y2) − (x02+ y02) = xx0+ yy0. •
Exemple 32.4 Soit #»u = (3, −1) et #»v = (2, 6) alors
#»
u ·#»v = 3 × 2 + (−1) × 6 = 6 − 6 = 0.
On dira que #»u et #»v sont orthogonaux.
32.2
Propriétés
Propriétés 32.5 Pour tous vecteurs #»u, #»v et #»w:
1. #»u ·#»v = #»v ·#»u
2. #»0 · #»u = #»u ·#» 0 = 0 3. Pour tout réel k, k #»u ·#»
v = #»u · (k#»
4. #»u · (#»v + #»w) = #»u ·#»v = #»u ·#»v + #»u ·w#»
5. #»u ·#»
u est noté #»u2est appelé carré scalaire de #»u.
6. #»u2= k#»uk2 (carré de la longueur du vecteur #»u) 7. (#»u+ #»v)2 = #»u2+2#»u·#»
v+ #»v2(cela signifie que(#»u+ #»v)·(#»u+ #»v) = #»u· #»u+2#»u· #»v+ #»v· #»v)
8. (#»u −#» v)2 = #»u2− 2#» u ·#» v + #»v2 9. (#»u + #»v) · (#»u − #»v) = #»u2−#»v2 Dv
• Démonstration des propriétés 32.5-1, 32.5-3 et 32.5-4 — 1. D’après la définition du produit scalaire : #» u·#» v =hk#» u+ #»vk2− k#» uk2− k#» vk2i=hk#» v + #»uk2− k#» vk2− k#» uk2i= #»v · #» u . 3. On se donne un repère orthonormé(O, #»ı, #») et trois vecteurs #»u = (x1, y1), #»v = (x2, y2),
#»
w= (x3, y3). On utilise la formule du théorème32.3:
#» u· (#» v + #»w) = x1(x2+ x3) + y1(y2+ y3) = x1x2+ x1x3+ y1y2+ y1y3 = x1x2+ y1y2+ x1x3+ y1y3= #»u·#»v + #»u·w.#» 4. De même, (k #»u) · #»v = kx1x2+ ky1y2= kx2x1+ ky2y1= #»u· (k#»v) = kx1x2+ ky1y2= k(x1x2+ y1y2) = k × (#»u · #»v). •
Propriété 32.6 Dire que deux vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux équivaut à dire que #»u ·#»
v = 0. R 32.7 Si on note #»u=AB# »etBC# »: #» u ⊥#» v ⇔ k#» u+ #»vk2= #»u2+ #»v2⇔ AC2= AB2+ BC2.
32.3
Autres expressions du produit scalaire
Théorème 32.8 Si #»u 6= #»0 et #»v 6= #»0
#»
u ·#»v = k#»uk k#»vk cos(#»u, #»v).
Propriété 32.9 Soient #»u et #»v deux vecteurs non nuls colinéaires :
1. S’ils ont même sens alors #»u ·#»v = k#»uk × k#»vk
2. S’ils ont sens contraire alors #»u ·#»v = − k#»uk × k#»vk.
A u B v
A u= p(v) B v
90˚
FIGURE32.1 – Projection orthogonale de v sur une droite portant u
Propriété 32.11 Etant donné deux vecteurs non nuls #»u et #»v. Si on note p(#»v), la projection
orthogo-nale de #»v sur une droite portant #»u alors on a : #» u ·#»v = #»u · p(#»v). A D C B O H E F
FIGURE32.2 – Figure de l’exemple
Exemple 32.12 —
# »
AD·AB# »= 0 carAD# »etAB# »sont orthogonaux.
— AD# »·CB# »= −3 × 3 = −9 carAD# »etCB# »sont colinéaires et de sens contraires.
— AD# »·AO# »=AD# »·AH# »= 3 × 1, 5 = 4, 5 car le projeté orthogonale deAO# »sur(AD) est # »
AH
et queAD# »etAH# »sont colinéaires et de même sens.
— Les produits scalairesAD# »·AC# »,AD# »·BD# »etAD# »·EF# »sont tous égaux entre eux. En effet, si
on projette orthogonalementAC# »,BD# »etEF# »sur(AD), on obtient à chaque fois # »
AD. Donc tous ces produits scalaires sont égaux àAD# »·AD# »= 3 × 3 = 9.
Dv
•Démonstration —On part du principe que l’on ait démontré : #»
u·#» v =1
1. Supposons que #»u 6= 0 et#»
v 6= 0. On pose #» ı = #»u
k#»
uk. Soit #» le vecteur tel que(#»ı, #») =
π
2 et k#»k = 1. Ainsi, nous avons ainsi construit une base (#»ı, #») orthonormale directe.
Dans cette base(#»ı, #»), on a, en notant θ = (#»u ,#» v) : #»
u(k#»uk , 0) ; #»v(k#»vk cos θ, k#»vk , sin θ) ; v#»0(k#»vk cos θ, 0) où l’on notev#»0le projeté orthogonal de #»v sur #»u. D’où :
#» u·#»
v = k#»uk k#»vk cos θ et #»u ·v#»0= k#»uk k#»vk cos θ. D’où les formules des propriétés précédemment citées.
2. Si #»uet #»v sont colinéaires alors θ= (#»u ,#»
v) = 0 et cos θ = 1.
•
32.4
Produit scalaire dans l’Espace
32.4.1 Extension de la définition à l’Espace
Définition 32.13 Soient #»u et #»v deux vecteurs de l’Espace. Il existe trois points A, B et C tels que
#»
u =AB# »et #»v =AC# ». Il existe toujours un plan P contenant A, B et C.
On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v de l’Espace le produit scalaire des vecteursAB# »
etAC# »dans le plan P. R 32.14 1. On a alors : #» u·#» v = 1 2 h k#» u+ #»vk2− k#» uk2− k#» vk2i. Cette égalité est bien indépendante du plan P choisi.
2. Quitte à se placer dans le plan P, les différentes expressions du produit scalaire (sauf l’expression dans un repère du plan) des sections précédentes restent valables.
3. Les règles de calcul sur le produit scalaire (bilinéarité, carré scalaire, identités remarquables) restent les mêmes que dans le plan.
32.4.2 Expression analytique du produit scalaire
Propriété 32.15 On se place dans un repère(O, #»ı, #»,#»
k) orthonormé de l’Espace. Soient #»uxy z et #» v x0 y0 z0 . Alors : #» u ·#»v = xx0+ yy0+ zz0. Dv
•Démonstration — #» u·#» v = 1 2 h k#» u+ #»vk2− k#» uk2− k#» vk2i = 1 2(x + x0)2+ (y + y0)2+ (z + z0)2− (x2+ y2+ z2) − (x02+ y02+ z02) = 12x2+ 2x0+ x02+ y2+ 2yy0+ y02+ z2+ 2zz0+ z02− x2− y2− z2− x02− y02− z02 = 12[2xx0+ 2yy0+ 2zz0] = xx0+ yy0+ zz0. •
R 32.16 On retrouve en particulier les deux résultats suivants, valables dans un repère orthonormé de l’Espace : — Si #»uxy z alors #»u2= k#»uk2= x2+ y2+ z2. — Si A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) alors : AB= kABk =pAB# »2=p(xB− xA)2+ (yB− yA)2+ (zB− zA)2.
32.5
Applications
32.5.1 Vecteur normal à une droite
Définition 32.17 On dit qu’un vecteur #»n est normal à une droite D si #»n 6= #»0 et si #»n est orthogonal
à la direction de D.
D n
FIGURE32.3 – Le vecteur n est normale à la droite D
Théorème 32.18 Soit D une droite passant par A et de vecteur normal #»n M ∈ D ⇔ #»
n·AM# »= #»0 .
Théorème 32.19 Soit D une droite d’équation ux + vy + w = 0 dans un repère orthonormal
(O, #»ı, #»). Le vecteur #»n(u, v) est normal à D. 32.5.2 Relations dans un triangle
Théorème 32.20— Formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABC,
Dv
•Démonstration du théorème32.20—Si on note a= BC, b = AC et c = AB, on a : a2= BC2=BC# »2= (BA+# » AC)# » 2= BA2+AC2+2(BA# »·AC) = c# » 2+b2+2b cos(BA,# » AC)# » Orcos(# »
BA,AC) = cos[π + (# » AB,# » AC# »)] = − cos(AB,# » AC# ») = − cos bA. •
Théorème 32.21— Formule des 3 sinus. Soit ABC un triangle (on note a= BC, b = AC, c = BA),
Sl’aire de ce triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle : a sinAb = b sinBb = c sinCb = abc 2S = 2R. Dv
•Démonstration du théorème32.21—On note H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
— Dans le cas où bBest obtus, AH= AB sin(π − bB) = AB sin bB= c sin bB. — Dans le cas où bBest aigu, AH = AB sin bB = c sin bB.
Donc, dans tous les cas, AH = c sin bBet S= 1
2BC· AH = 12acsin bB. D’où
S= 1
2acsin bB= 12absin bC=12bcsin bA.
•
32.5.3 Relations et équations trigonométriques
Soient #»u et #»v deux vecteurs unitaires dans une base orthonormée directe(#»ı, #») tels que (#»ı, #»u) = bet(#»ı, #»v) = a. On a
#»
u = cos b · #»ı + sin b · #» = cos a · #»ı + sin a · #».
Donc #»u ·#»
v = cos a cos b + sin a sin b. De plus, (#»u ,#»v) = (#»ı, #»v) − (#»ı, #»u) = a − b. Donc :
#»
u ·#»
v · cos(#»
u ,#»v) = cos(a − b).
D’où :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. En remplaçant a par π
2 − a, on obtient :
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a. À partir de ces formules, on déduit les suivantes :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
sin 2a = 2 sin a cos a
On a aussi cos X = cos α ⇔ ( X= α + 2kπ X= −α + 2kπ , k ∈ Z sin X = sin α ⇔ ( X= α + 2kπ X= π − α + 2kπ , k∈ Z. 32.5.4 Recherche de lieux géométriques
1. On cherche tout d’abord l’ensemble des points M tels que MA2+ MB2 = k.
Propriété 32.22 Soit I le milieu du segment[AB] (avec A 6= B). Pour tout point M, on a :
M A2+ MB2 = 2IM2+AB
2
2 (Théorème de la médiane).
Etant donné un réel k, on en déduit que l’ensemble des points M tels que MA2+ MB2= k
est un cercle, ou un point ou l’ensemble vide.
Exemple 32.23 Soit A et B deux points tels que AB = 2. On cherche à déterminer
l’en-semble E des points M tels que MA2+ MB2 = 20. On utilise le théorème de la médiane :
M A2+ MB2 = 20 ⇔ 2IM2+AB
2
2 = 20 ⇔ 2IM2+ 4
2 = 20 ⇔ IM2 = 9 ⇔ IM = 3 (car IM >0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon 3.
A I B
E:{M, M A2+MB2=20}
FIGURE32.4 – Construction de l’ensemble E de l’exemple
2. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que M A# »·M B# » = k. Pour cela, on
décomposeM A# »etM B# »en passant par I le milieu de[AB].
Exemple 32.24 Soit A et B deux points tels que AB = 4. On cherche à déterminer
l’en-semble E des points M tels queM A# »·M B# »= 12.
# »
M A·M B# »= 12 ⇔ (M I# »+IA# ») · (M I# »+IB# ») = 12.
Or,IB# »= −IA# ». On a donc :
(# »
M I+IA# ») · (M I# »−IA# ») = 12 ⇔ MI2− IA2= 12 ⇔ MI2− 22= 12.
On en déduit que M ∈ E ⇔ MI2 = 16 ⇔ MI = 4. E est donc le cercle de centre I et de rayon4
A I B
E:{M,M A# »·M B# »=12}
FIGURE32.5 – Construction de E de l’exemple
3. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels queAM# »·#»
u = k. Pour cela, on cherche
un point particulier H appartenant à l’ensemble. On a alorsAH# »·#»
u = k. Ainsi, # » AM ·#» u = k ⇔AM# »·#» u =AH# »·#» u ⇔ (AM# »−AH# ») · #»u ⇔HM# »·#» u = 0 ⇔HM# »⊥ #» u .
L’ensemble est alors la droite passant par H de vecteur normal #»u.
Exemple 32.25 Soit A et B deux points tels que AB = 3. On cherche à déterminer
# »
AH etAB# »soient de sens contraires et tel que AH × AB = 6 ⇔ AH = 63 = 2. Ainsi, on a
bienAH# »·AB# »= −6. Dès lors :
# »
AM ·AB# »= −6 ⇔AM# »·AB# »=AH# »·AB# »⇔ (AM# »−AH# ») ·AB# »= 0
⇔HM# »·AB# »= 0 ⇔HM# »⊥AB.# »
L’ensemble E est alors la droite perpendiculaire à(AB) passant par H.
A
B
H
E:{M, AM·AB=−6}
FIGURE32.6 – Construction de E de l’exemple
32.5.5 Intersection d’une droite et d’un plan
Exercice 32.26 Déterminer l’intersection éventuelle du plan P d’équations 2x − y + 3z − 2 = 0 et
de la droite D de représentation paramétrique :
x= −2 + t y= 1 + t z= 2t , t∈ R. Dv
•Solution —Un vecteur normal de P est #»n−12 3
et un vecteur directeur de D est #»u11 2 . #» n·#» u = 2 × 1 + (−1) × 1 + 3 × 2 = 7 6= 0 donc P et D sont bien sécants en un point. Ce point vérifie :
x= −2 + t y= 1 + t z= 2t 2x − y + 3z − 2 = 0 On a donc : 2(−2 + t) − (1 + t) + 3 × 2t − 2 = 0 − 4 + 2t − 1 − t + 6t − 2 = 0 7t = 7 t= 1
et, par suite :
x= −2 + 1 = −1 y= 1 + 1 = 2 z= 2 × 1 = 2 .
Le point d’intersection de P et D est A(−1; 2; 2). •
32.6
Intersection de deux plans
R 32.27 P un plan de vecteur normal #»net P0un plan de vecteur normaln#»0;
— Si #»n etn#»0sont colinéaires et si A est un point quelconque de P :
— Si A ∈ P0, les plans P sont confondus ;
— Si #»n etn#»0ne sont pas colinéaires, les plans P et P0sont sécants suivant une droite D.
Exercice 32.28 Soit P le plan d’éqaution 2x−y−2z−1 = 0 et P0le plan d’équatin −x+4y+z−3 =
0. Étudier l’intersection éventuelle de plans P et P0. Dv
•Solution —Un vecteur normal à P est #»n−12 −2
et un vecteur normal à P0estn#»0−14 1
. Les vecteurs #»n etn#»0ne sont pas colinéaires donc les plans P et P0sont sécants suivant une
droite D. Pour déterminer une représentation paramétrique de D, on va considérer une des inconnues (ici z) comme le paramètre :
2x − y − 2z − 1 = 0 −x + 4y + z − 3 = 0 z= t ⇔ 2x − y = 2t + 1 −x + 4y = −t + 3 z= t ⇔ y= 2x − 2t − 1 −x + 4(2x − 2t − 1) = −t + 3 z= t ⇔ 7x = 7t + 7 y= 2x − 2t − 1 z= t ⇔ x= t + 1 y= 2(t + 1) − 2t − 1 z= t ⇔ x= t + 1 y= 1 z= t . •
Bibliographie
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