À propos du théorème de Belyi

J

EAN

-M

ARC

C

OUVEIGNES

À propos du théorème de Belyi

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

8, n

o

_{1 (1996),}

p. 93-99

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1996__8_1_93_0>

© Université Bordeaux 1, 1996, tous droits réservés.

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À

propos du théorème de

Belyi

par JEAN-MARC COUVEIGNES

RÉSUMÉ. Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe _algébrique C lisse projective et _{géométriquement connexe,} définie sur

_Q,

il existe une

fonction f non ramifiée en dehors de {0, 1, ~}. Nous _{montrons que cette} fonction _peut être choisie sans _{automorphismes,} c’est-à-dire telle que pour

tout _{automorphisme} non trivial a de _C, on ait f o _{a ~ f.} Nous en déduisons

que si K ~ C est une extension finie de _Q, toute K-classe _{d’isomorphisme} de courbes algébriques lisses _{projectives géométriquement} connexes _peut être caractérisée _par un dessin d’enfant de Grothendieck, c’est à dire _par une

classe _{d’isomorphisme topologique} de revêtements de la _{sphère privée} de trois _points. Nous en donnons _{quelques exemples.}

ABSTRACT. A famous theorem of Belyi asserts that on _any smooth

projec-tive _{geometrically} connected _algebraic curve C defined _{over Q} there exists a

function f unramified outside

_{0,1,~}.

We show that this function can be choosen without non trivial _{automorphism.} As a _{conséquence,} for K C C a finite extension of _Q, any K-isomorphism class of smooth _projective

geomet-rically connected algebraic curves can be characterized _by a dessin _d’enfant

de _{Grothendieck,} i.e. an _isomorphism class of finite connected topological coverings of the _sphere minus three _points. We _give a few _examples of this situation.

1. Introduction et définitions

Dans tout cet article le mot courbe

_désignera

une courbe lisse

_projective

et

_{géométriquement}

connexe. On

_appelle

_fonction

de

_Betyi

une fonction

algébrique f

d’une courbe C définie sur

C,

à valeurs dans non ramifiée en dehors de

{O, 1, oo}.

La

paire

(C, f )

est

_{appelée paire}

de

_Belyi.

Deux

_paires

de

_Belyi

_pour i e

_{1,2}

sont dites

_isomorphes

s’il existe un

_{isomorphisme i :}

_Ci

2013~

C2

tel _que

f 1

=

f 2

o _{i. Une classe}

d’isomorphisme

de

_paires

de

_Belyi

est

_appelée

un dessin

_d’enfant

selon la

_terminologie

de Grothendieck dans

_[GR].

1991 Mathematics Subject Classification. 11R32-11Y40. Mots-clés : _{Corps globaux,} revêtements.

Le groupe des

automorphismes

agit

paires

Belyi

par

conjugaison

des coefficients. Cette action est

_compatible

avec la relation

d’équivalence

et définit une action de

Aut(C)

sur les dessins. En

fait,

on

montre _que tout dessin a un nombre fini de

conjugués

et que tout dessin contient une

_paire

de

Belyi

définie sur le

sous-corps Q

C C. Ainsi l’action de

_Aut(C)

se limite à une action de

r,

le groupe de Galois absolu de

Q.

Le stabilisateur

Fp

d’un dessin dans r est

_appelé

_groupe des modules du dessin. Le sous _corps

KT

de Q

c C fixé _par

_rD

est

_appelé

_corps des modules du dessin.

Nous

_appelons

_groupe

_{d’automorphismes}

_Aut(D)

_{d’un dessin D le groupe}

des

_{automorphismes}

d’une

_paire

de

_Belyi

de ce dessin.

Si une

_paire

de

_Belyi

est définie sur un _corps de nombres K C C on

dit que K est un _corps de

définition

du dessin D associé. Tout _corps de

définition de D contient le _corps des modules

rD.

Si

_Aut(D)

est

_trivial,

alors le _corps des modules est un _corps de définition.

Plus

_{précisément,}

il existe une

_unique

Kv-classe

_{d’équivalence}

de

_paires

de

Belyi

associées à D. C’est la descente de

_Weil,

_[WE].

Plus

_{généralement,}

on définit le dessin réduit

_Do

d’un dessin V comme le

_quotient

de _{D par}

Aut(D)

et on montre

_(~C1~)

_que le _corps des modules de D est un _{corps de}

définition de son dessin réduit et

_qu’il

existe une

Kv-classe

_{d’équivalence}

canonique

de

_paires

de

_Belyi

associée à

Do

vu comme dessin réduit de D.

On

_peut

ainsi associer à tout dessin D une

Kv-classe

_{d’isomorphisme}

de

courbes lisses

_projectives,

_que l’on note

_C(D).

En

_particulier,

si D est sans

automorphismes,

c’est

_simplement

la classe associée à un modèle défini sur

Kx

du dessin D.

Réciproquement,

étant donné une extension finie K de

Q,

on se demande

si toute K-classe

_{d’isomorphisme}

de courbes est obtenue ainsi

_(rappelons

que dans tout cet article on entend _par courbe une courbe

_algébrique

lisse

projective

et

_{géométriquement connexe).}

On sait bien que toute courbe

définie sur K admet une fonction de

Belyi,

c’est le théorème de

_Belyi,

mais il reste à voir si cette fonction

_peut

être choisie sans

_{automorphismes.}

C’est ce

_qu’on

se _propose de démontrer ici. Nous remercions J. Oesterlé

d’avoir attiré notre attention sur ce

problème.

THÉORÈME. Pour toute courbe Esse

_projective

définie sur une extension

finies K

_{de Q}

dans

_cC,

il existe une fonction de

Belyi

sans

_{automorphismes}

2. Preuve du théorème

Dans toute cette section K est une extension finie

de Q

dans C. Nous

procéderons

en trois lemmes.

LEMME 1

_(BELYI~.

Soit C une courbe définie sur K

_{et 0}

une fonction de C

dans

Pl

définie sur

_K,

alors il existe un

polynôme

P(x)

à coefficients dans

Q

tel _que les valeurs

_singulières

de P

_{o 0}

soient dans

_{{O, 1, oo}.}

Preuve. On compose successivement à

gauche

par des

polynômes

annula-teurs des valeurs

_singulières

irrationnelles _{ainsi que} dans la _preuve de

_Belyi

([BE]).

On obtient alors une fonction

₀₀

dont toutes les valeurs

_singulières

sont rationnelles. Soient S et s la

_plus

_grande

et la

_plus

_petite

des valeurs

singulières

finies de

_00.

Si s = S _on

compose

4&#x3E;0

par le

polynôme z - z -

s

et c’est fini. Sinon on _compose

00

_par le

polynôme

On obtient alors une fonction dont toutes les valeurs

_singulières

finies

sont entre 0 et 1. S’il

_n’y

a _pas d’autre valeur

_singulière

_que alors c’est fini. Sinon soit 0 a 1 l’une d’elles. On

_peut

écrire

avec On _compose alors _par le

polynôme

On vérifie _que = 1 et _que les valeurs

_singulières

de

_Am,n

sont

dans

_{{O, 1, oo}.}

De

_plus,

et c’est le seul

_point

nouveau _{par rapport} à

_Belyi,

on _{remarque que}

Ainsi,

en

_composant

_par

Am,n

on diminue le nombre de valeurs

sin-gulières

hors de

_{0,1,00}

et les valeurs

_singulières

finies de la fonction obtenue sont

_toujours

dans

_[o,1~.

Conséquence.

La fonction de

_{Belyi Q}

P

_{o 0}

obtenue a les mêmes

_pôles

que

0.

Plus

précisément,

pour toute fonction

f

sur C notons

_{( f )o}

la

_partie

positive

du diviseur de

_f

et sa

_partie

négative

si bien _que

( f )

=

( f )a - ( f ) ~.

. Alors si p est le

degré

du

polynôme P,

on a

Soit alors

C

la courbe obtenue à

_partir

de C _{par extension} des scalaires de K

_{à Q}

et notons

_Aut(C)

son _groupe

d’automorphismes.

Tout diviseur

D de C

_peut

se voir comme diviseur de

C.

On

appelle

alors groupe des

automorphismes

de D l’ensemble des

_{automorphismes}

de C

_qui

stabilisent

D. De même pour toute fonction

_f

sur

_C,

un

_{automorphisme}

de

_f

est un

élément a de

Aut(C)

tel _que

f

=

_f

o a. On note

_Aut(D)

et

_{Aut ( f )}

les ensembles ainsi définis. On a

Dans la situation

_qui

nous

intéresse,

_{supposons que} le diviseur

(~)oo

n’a

pas

d’automorphismes.

Alors

p. (0).

n’en a _pas non

_plus

et donc n’a _pas

_{d’automorphismes.}

On en déduit le

LEMME 2. Soit C une courbe définie sur 1~.

_{Supposons qu’il}

existe sur C un diviseur

positif

D sans

_{automorphismes}

et défini sur alors il existe

une fonction de

BeIyi

définie sur K et sans

_{automorphismes,}

de C dans

Preuve. Soit _{g le genre de C.}

_D’après

le théorème de Riemann-Roch on

sait _{que pour} tout diviseur E sur C de

_{degré deg(E)}

_supérieur

à

_{29 -}

_2,

la dimension

_l(E)

de

_l’espace

linéaire associé

_,C(E)

est

_deg(E)

+ 1- g. On en

déduit _que si

_deg(E)

est

_supérieur

à

_2g-1

il existe une fonction

_f

dans

£(E)

dont le diviseur des

_pôles

est exactement la

_{partie positive}

de E. Soit

maintenant un entier m tel _que

deg(mD)

&#x3E;

_{2g - 1.}

111 existe une fonction

f

telle _que = mD n’a _pas

d’automorphismes.

On obtient alors _une

fonction de

_Belyi

sans

automorphismes

en

_appliquant

la construction du lemme 1 à la fonction

_{f .}

LEMME 3. Soit C une courbe définie sur K. Il existe sur C un diviseur

positif

défini sur K et sans

automorphisme

non trivial.

Preuve. Nous montrons d’abord

_qu’il

existe un diviseur

_positif

défini sur

K dont le groupe

d’automorphismes

est fini. Ensuite nous décrivons un

procédé

pour faire diminuer ce _groupe

d’automorphismes jusqu’à

le rendre

trivial.

Soit _{g le genre de la courbe.}

_{Si g}

=

0,

tout ensemble contenant _au moins

trois

_points

distincts a un _groupe

_{d’automorphismes}

fini. En

effet,

tout

automorphisme

stabilisant n

_points

induit une

_permutation

de ces n

_points.

Mais la connaissance de

_l’image

de n

_points

distincts avec n &#x3E; 3 sufht à déterminer une

_homographie.

111 _y a donc au

plus

n!

automorphismes.

Si

9 = 1 on choisit un

point

0 sur

C

ce

_qui

fait de

C

une courbe

_elliptique,

et

on note que tout

_{automorphisme}

de

C

s’écrit

où 0153

_désigne

la loi d’addition sur la courbe

elliptique,

C est un

_point

de

C

et

[E]

est un

automorphisme

de la courbe

elliptique

(C, 0).

Un

point

fixe vérifie

alors

_{l’équation}

_{( [~]}

e et comme le

degré

de

l’endomorphisme

est borné par

quatre

on en déduit

_{qu’un automorphisme}

d’une courbe

de genre 1 a au

_plus

_quatre

_points

fixes

(cf

[SI,

_page

103]

_pour tout

_ceci).

Ainsi,

tout

_{automorphisme}

fixant 5

_points

est trivial et donc un ensemble

de n

points

distincts avec n &#x3E; 5 a au

plus

n!

automorphismes. Si g

&#x3E;

_1,

la courbe elle même n’a

qu’un

nombre fini

_{d’automorphismes. N’importe}

quel

ensemble défini

sur Q

et non vide fera l’affaire. Nous obtenons dans

tous les cas un diviseur

positif

de groupe

d’automorphismes

Aut(D)

fini.

Soit maintenant une courbe C définie sur K et un diviseur

positif

D défini sur K dont le groupe

d’automorphismes

Aut(D)

est fini et non trivial. Nous

allons montrer

_qu’il

existe un diviseur

D2

plus grand

_{que D} tel _que le groupe

d’automorphismes

de

D2

soit strictement

_{plus petit}

que

Aut(D).

Soit L le _corps des fonctions de C et M =

QL

le

corps des fonctions de

C.

Le groupe

Aut(D)

C

Aut(C)

_agit

sur M. Notons le sous-corps de

h4 fixé _par

_Aut(D)

et soit

1LD

= L. Alors M car

Aut(D)

est

non trivial. Comme

Aut(D)

_n’agit

_pas

sur Q

on en déduit _que

L D 0

L.

Soit alors

_f

une fonction de L non fixée _par

Aut(D).

Si a est un

rationnel,

la fibre

_{f ~1 (a)}

n’est _pas stabilisée par

Aut(D)

sauf pour un nombre fini de

valeurs de a. 111 existe donc une fibre non

_singulière

non stabilisée

par

Aut(D)

et

disjointe

du

support

de D. Soit

Di

le diviseur

_positif

associé

et _posons

D2

= D ₊

(deg(D)

₊

1)Dl.

Alors,

tout

_{automorphisme}

de

_D2

respecte

la distribution des

_{multiplicités}

et donc induit un

automorphisme

de D

_(tous

les

_points

du

_support

de D ont

_{multiplicité}

au

_plus

deg(D))

et

Aut(D)

Aut(D)

pas

Dl.

3. Conclusion

Bien que la preuve donnée

plus

haut soit "constructive" il ne faut _pas

trop compter

calculer des revêtements

explicites

de cette manière. Dans le cas

particulier

des courbes de genre

0,

une construction

_plus

contournée nous a

permis

d’exhiber un dessin _pour toute

_conique

définie sur

_Q.

Nous en montrons

_simplement

un

_exemple

sans _preuve, laissant au lecteur le

soin de deviner une

généralisation

adéquate.

Pour

plus

de

détails,

et des

preuves, voir

[Cl], [C2].

Considérons dans

p3

la

_conique

_{d’équations}

que nous

_appelons

_C1,2,3,5

·

Alors,

il existe une fonction de

Belyi 0 :

_C1,2,3,5

-

1

_sans

automor-phismes correspondant

au dessin suivant

Nous

_rappelons

que ce dessin est obtenu comme

_préimage

du

_segment

[0,1]

par 0

tracée sur la surface de Riemann associée à

_~1~3,5.

· Les

points

au dessus de 0 sont

_{représentés}

_par des ronds noirs. 111 _y a 6

_points

au dessus

de 1 ramifiés d’ordre 4. Les autres

_points

au dessus de 1 sont non ramifiés

et ils

_{correspondent}

aux extrémités libres du dessin.

Notons enfin _que

_C1,2,3,5

est

_isomorphe

à la

_conique

de

_Legendre

d’équation x2 + y2

+ 5.11.z2

= 0. Elle _a donc des

_points

_{rationnels sur tous}

La fonction de

_{Belyi 0}

est définie de la

_façon

suivante. On pose 6 =

(10a-1

+

9b-1

+

8c-1

+

6d-’)/ll

et pour tout

_point

P =

(a, b, c, d)

_sur

C1,2,3,5

on

définit 0

_par

BIBLIOGRAPHIE

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Jean-Marc COUVEIGNES Universiteit Utrecht

et

A2X, Université Bordeaux I