On dispose d'un entier composé n>3 impair dont on cherche un diviseur non trivial

Université Bordeaux 1 MHT812 Master

Mathématiques Année 20092010

FEUILLE D'EXERCICES n^o22 Travail sur machine

Exercice 1 [Recherche de racines primitives modulo p]

1) Programmer l'algorithme vu en TD 21 dont on rappelle brièvement le principe. Soit p >2 un nombre premier. On suppose connue la factorisation p−1 =Q

i`^e_iⁱ.

• Pour toution cherche un élémentgid'ordre`<sup>e</sup><sub>i</sub><sup>i</sup>. Pour cela on tire uniformément au hasard h entre 1 et p−1, on pose gi = h<sup>(p−1)/`eii</sup> modp et on teste si gi

convient, en calculant par exemple g^`

ei−1 i

i mod p.

• Une fois tous les g_i trouvés, g = Q

ig_i est d'ordre p−1 et est bien racine primitive modulo p.

2) On pourra comparer avec l'algorithme naïf qui consiste à tirer uniformément au hasard g entre 1 et p−1 et à regarder si g est d'ordre p−1, i.e. vérie g^(p−1)/`i 6= 1 mod p pour touti.

Exercice 2 [Factorisation par l'algorithme de Dixon]

Programmer l'algorithme de factorisation de Dixon, dont on rappelle ici les diérentes étapes. On dispose d'un entier composé n>3 impair dont on cherche un diviseur non trivial.

• On calcule tous les premiers p₁, p₂, . . . , p_h inférieurs à une borne B xée. Si l'un des pi divise nc'est ni.

• On choisit uniformément au hasard unbentre 2 etn−2. Sipgcd(b, n)>1c'est ni. Sinon, on factoriseb² mod nsur lesp_i. Si cette factorisation est complète, i.e. sib² mod nestB-friable, on mémorise bet leh-uplet(α1, . . . , α_h) tel que b² mod n=p^α₁¹. . . p^α_h^h.

• On recommence jusqu'à avoirh+ 1telsb. On les notebj et la matrice dont les colonnes sont les h-uplets associés (α_i,j)_16i6h.

• On cherche(e_j)∈ {0,1}^h+1 tels queS= (α_i,j)(e_j) = 0 dansF^h₂.

• On pose (γ₁, . . . , γ_h) = ¹₂S, s = Q

ej=1b_j, t = Qh

i=1p^γ_iⁱ. On sait alors que s²−t²≡0 modn.

• Sipgcd(s+t, n)oupgcd(s−t, n)est strictement inférieur àn, c'est ni. Sinon, on cherche d'autres b(étapes 2 et 3) et d'autres relations (étape 4).