Q1
1) 2014 = 2006 + 8
2) 2014 = 1925 + 89
3) et 4) 2014 = 1511 + 503
5) 2014 = 1745 + 269
Q2
Les entiers ci-dessous sont rebelles
9 999 99999 99...999 (un nombre impair de 9) En effet (raisonnement pour 999, valable pour les autres cas)
Si 999 = abc + edf avec abc > edf alors : i) a >0
ii) a+e = 9 et b +d = 9 et c+f = 9
ii) implique que : a et e sont de parité différente b et d sont de parité différente c et f sont de parité différente
Donc Si {a;b;c} contient un nombre pair de nombres impairs alors {e;d;f} contient un nombre impair de nombres impairs
et
Si {a;b;c} contient un nombre impair de nombres impairs alors {e;d;f} contient un nombre pair de nombres impairs
Donc les sommes a+b+c et d+e+f sont de parité différente, elles ne peuvent donc pas être égales. Donc 999 est un rebelle.
Ce raisonnement est valable pour n'importe quel entier composé d'un nombre impair de 9.
Il y a donc une infinité d'entiers rebelles.
Q3
38 40 58 60 78 80 98 100 sont rebelles et pairs
Il semblerait que 100 soit le dernier nombre pair rebelle.
Reste à le démontrer ...
