F ICHE : D ÉRIVÉES ET PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

Lycée Kléber PC* 2ème année

F ICHE : D ÉRIVÉES ET PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

Domaine de définition et de dérivabilité des fonctions usuelles

• sh :R→Rest dérivable surR.

• ch :R→[1,+∞[est dérivable surR.

• th :R→]−1, 1[est dérivable surR.

• arcsin : [−1, 1]→£

−^π₂,^π₂¤

est dérivable sur]−1, 1[.

• arccos : [−1, 1]→[0,π]est dérivable sur]−1, 1[.

• arctan :R→¤

−^π₂,^π₂£

est dérivable surR.

Domaine de définition et de dérivabilité des fonctions usuelles Dans chaque ligne,f^′est la dérivée de la fonctionf sur l’intervalleI.

f(x) I f^′(x)

a^x (a>0) R a^xlna log_ax(a∈R^∗₊\ {1}) R^∗_{+ ln}¹_a¹_x x^α(^α∈R) R^∗₊ αx^α−1

ch(x) R sh(x)

sh(x) R ch(x)

th(x) R 1−th²(x)=_ch2¹(x)

coth(x) R^∗ _sh⁻2¹(x)

arcsin(x) ]−1, 1[ p¹

1−x²

arccos(x) ]−1, 1[ p⁻¹

1−x²

arctan(x) R ₁¹

+x²

Primitives des fonctions usuelles

Dans chaque ligne, F est une primitive de f sur l’intervalle I. Ces primitives sont uniques à une constante près notéeC.

f(x) I F (x)

a^x (a∈R^∗₊\ {1}) R _ln¹_aa^x+C

x^α(a∈R\ {−1}) R^∗₊ α¹+1x^α+1+C(^α_∈R)

sh(x) R ch(x)+C

ch(x) R sh(x)+C

1−th²(x)=_ch2¹(x) R th(x)+C

p1

1−x² ]−1, 1[ arcsin(x)+C

1

1+x² R arctan(x)+C

Primitives des fonctions usuelles

Dans chaque ligne, F est une primitive de f sur l’intervalle I. Ces primitives sont uniques à une constante près notéeC.

f(x) I F (x)

λ(constante) R λx+C

x R x²

2 +C

xⁿ(n∈N^∗) R xⁿ⁺¹

n+1+C 1

x ]−∞, 0[ou]0,+∞[ ln|x| +C 1

xⁿ oùn∈N, nÊ2 ]−∞, 0[ou]0,+∞[ − 1

(n−1)xⁿ⁻¹+C p1

x ]0,+∞[ 2p

x+C

lnx R^∗₊ xlnx−x+C

e^x R e^x+C

sinx R −cosx+C

cosx R sinx+C

1+tan²x= 1 cos²x

i

− π 2+kπ,π

2+kπh

, k∈Z tanx+C

Opérations et primitives On suppose queu est une fonction dérivable sur un intervalleI

• Une primitive deu^′uⁿsurIest^un+1

n+1 (n∈N^∗)

• Une primitive de ^u′

u²surIest₋¹ u.

• Une primitive de ^u′

uⁿ surIest− 1

(n−1)uⁿ⁻¹.(n∈N,nÊ2.

• Une primitive de_p^u′

u surIest2p

u(En supposantu>0surI.)

• Une primitive de^u′

u surIestln|u|.

• Une primitive deu^′e^usurIeste^u.

Plus généralement, siu>0surIet sia∈R, une primitive deu^′u^asurIest :

Z u^′u^a=





 1

a+1u^a+1+C sia∈R\ {−1}

lnu +C sia= −1