Lycée Blaise Pascal TSI 1 année
F ICHE : F ONCTIONS D ’ UNE VARIABLE RÉELLE
Dans toute la fichef etgsont des fonctions définies sur un intervalleInon trivial deR 8techniques de calcul de limites
• Par factorisation par les termes dominants
• Par multiplication par la quantité conjuguée
• Par usage des limites usuelles ou des croissances comparées.
• En utilisant les équivalents.
• Par application du théorème des gendarmes.
• En reconnaissant le taux d’accroissement d’une fonction dérivable.
• Par changement de variable.
• Par simplification.
Théorème d’opérations sur les limites
Soientf etgdeux fonctions définies au voisinage dea. On suppose quef(x)etg(x)tendent respectivement verslet l′lorsquextend versa. Alors :
• On a :
¯¯f(x)¯
¯−−−−→ x→a |l|
• Siλetµsont deux réels :
λf(x)+µg(x)−−−−→ x→a λl+µl′
• On a :
f(x)g(x)−−−−→ x→a l l′
• Sil6=0,1/f est définie au voisinage deaet : 1 f(x)−−−−→
x→a 1 l
• Plus généralement, sil6=0,f/gest définie au voisinage deaet : f(x)
g(x)−−−−→ x→a
l l′
Théorème des gendarmes
Soientα,f,βtrois fonctions définies sur un voisinageVdea∈Retl∈R. On suppose que : H1 ∀x∈V, α(x)Éf(x)Éβ(x)
H2 α(x)−−−−→
x→a letβ(x)−−−−→ x→a l
alors la fonctionf admet une limite au pointaetf(x)−−−−→ x→a l.
Ce théorème se généralise aux limites infinies : par exemple, si au voisinage dea∈¯I, on a :
H1 f(x)Êα(x). H2 α(x)−−−−→
x→a +∞
alorsf(x)−−−−→ x→a +∞
Théorème de la limite monotone Soient(a,b)∈R2etI=]a,b[.
Sif: ]a,b[→Rest une fonctioncroissantealors il y a deux possibilités :
1. f est majorée et alorsf admet une limite finie lorsquextend versb. On a alorslim b f=sup
I f. 2. f n’est pas majorée et alorsf(x)−−−−→
x→b +∞.
Fonction négligeable devant une autre
Définition :Soientf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. On dit quef(x)estnégligeabledevantg(x) au voisinage dealorsqu’il existe une fonctionεdéfinie sur un voisinage deatelle que :
f(x)=ε(x)g(x)au voisinage dea et ε(x)−−−−→ x→a 0 On note alors :f(x)= o
x→a
¡g(x)¢
Proposition :Soitf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. Signe s’annule pas au voisinage dea, alors : f(x)= o
x→a
¡g(x)¢
⇐⇒ f(x) g(x)−−−−→
x→a 0
Croissances comparées Soientα,βetγdesréels strictement positifs.
• En+∞:
(lnx)γ= o x→+∞
¡xα¢ et xα= o x→+∞
³ eβx´
• En0:
|lnx|γ= o x→0
µ1 xα
¶
et eβx= o x→−∞
µ 1 xα
¶
Fonctions équivalentes au voisinage d’un point
Définition :Soient f etg deux fonctions définies au voisinage dea∈R. On dit que f(x)est équivalent àg(x)au voisinage dealorsqu’il existe une fonctionαdéfinie sur un voisinage deatelle que :
f(x)=α(x)g(x)au voisinage dea et α(x)−−−−→ x→a 1 On note alors :f(x) ∼
x→ag(x)
Proposition :Soitf etg deux fonctions définies au voisinage dea∈R. Signe s’annule pas au voisinage dea, alors : f(x) ∼
x→ag(x) ⇐⇒ f(x) g(x)−−−−→
x→a 1
Opérations sur les équivalents
On peut effectuer des :
• produits d’équivalents
• quotients d’équivalents.
• puissances d’équivalents.
Par contre, il ne faut pas :
• Sommer des équivalents.
• Composer des équivalents. En particulier, il ne faut par :
• Prendre des logarithmes d’équivalents.
• Prendre des exponentielles d’équivalents.
Équivalents usuels Soitf une fonction définie au voisinage dea∈Rtelle que
f(x)−−−−→ x→a 0
alors :
ln¡ 1+f(x)¢
x→a∼ f(x) ef(x)−1 ∼ x→af(x) sinf(x) ∼
x→af(x) tanf(x) ∼
x→af(x) shf(x) ∼
x→af(x) tanhf(x) ∼ x→af(x) arcsinf(x) ∼
x→af(x) arctanf(x) ∼
x→af(x) argshf(x) ∼
x→af(x) argthf(x) ∼ x→af(x)
cosf(x)−1 ∼ x→a−f(x)2
2 chf(x)−1 ∼
x→a f(x)2
2 arccosf(x)−π
2 ∼
x→a−f(x)
¡1+f(x)¢α−1 ∼
x→aαf(x) (α∈R)
Propriétés importantes des équivalents Sif(x) ∼
x→ag(x)alors :
• il existe un voisinage deasur lequelf etgsont de même signe.
• sig(x)−−−−→
x→a lalorsf(x)−−−−→ x→a l.
Définition de la continuité
• On dit quef estcontinue ena∈Isi et seulement si f(x)−−−−→
x→a l∈R et l=f(a)
• On dit qu’une fonction f estcontinue sur un intervalleIsi et seulement si la fonctionf est continue en chaque point deI.
Théorème d’opérations sur les fonctions continues
• Sif est continue surIalors¯¯f¯
¯est continue surI.
• Une combinaison linéaire de fonctions continues surIest continue surI.
• Le produit de deux fonctions continues surIest continue surI.
• Le quotient de deux fonctions continues surIest (s’il est défini) continue surI.
• La composée de deux fonctions continues est continue.
Théorème des valeurs intermédiaires
SoientIunintervalledeRetf: I→R. Soit(a,b)∈I2tel quea<b. On suppose que : H1 f est continue sur[a,b].
H2 f(a)É0etf(b)Ê0.
Alors il existec∈[a,b]tel que f(c)=0 .
Continue implique bornée Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteind ses bornes
Théorème de la bijection
Soit une applicationf: I→R. On noteJ=f(I). On suppose que la fonctionf est H1 continue surI.
H2 strictement monotone surI.
alors la fonction f réalise une bijection de l’intervalleIsur l’intervalleJet sa bijection réciproquef−1est une fonction continueet strictement monotone surJde même sens quef.
