SECOND DEGRE COURS

MATHS 1

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1

Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

1 Introduction

Ces polynômes sont de la forme P(x) = ax² + bx + c., où a, b et c sont des coefficients réels fixés, avec a non nul, et x une variable pouvant a priori parcourir ℝ tout entier.

Lorsqu’aucun des coefficients n’est nul, on peut appeler « trinôme » ce polynôme (somme de trois monômes…)

Il est clair que lorsqu’on fait varier x, le nombre P(x) varie à son tour.

Nous avons ici pour objectifs :

* de déterminer quelles sont les valeurs de x qui rendent P(x) négatif, nul, ou positif

* d’établir le sens de variation de P(x) – si x croît, P(x) fait-il de même ? Nous admettrons les résultats présentés au-dessous.

2 Equation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c = 0

On se place donc dans le cas très particulier (s’il est possible) de la recherche des valeurs de x qui peuvent rendre P(x) nul.

Ces valeurs de x, solutions de l’équation, sont aussi appelées racines du polynôme P(x). En fonction du polynôme choisi (donc des coefficients a, b et c), ses racines réelles sont au nombre de zéro, une ou deux. Pour déterminer l’existence et les valeurs de ces racines, il faut suivre un protocole bien défini :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Il ne se factorise pas.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle : b x′ = − a

2 . (racine « double ») Sa forme factorisée est P(x) = a(x – x′)².

Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : b b

x x

a a

− − ∆ − + ∆

′= et ′′=

2 2 .

Sa forme factorisée est P(x) = a(x – x′).(x – x′′)

Exemples :

* P(x) = 2x² - 12x + 16

∆ = 12² - 4.2.16 = 144 – 128 = 16 ; ∆ > 0, donc P(x) admet deux racines réelles : (-(-12) – √16)/4 = (12 – 4)/4 = 2 et (-(-12) + √16)/4 = (12 + 4)/4 = 4.

forme factorisée : P(x)) = 2(x – 2)(x – 4)

Remarque : diviser ce polynôme par 2 ne modifie pas ses racines :

½.P(x) = x² - 6x + 8

∆ = 6² - 4.1.8 = 36 – 32 = 4 ; deux racines réelles : (6 – √4)/2 = 2 et (6 + √4)/2 = 4.

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* P(x) = 2x² - 12x + 18

∆ = 12² - 4.2.18 = 144 – 144 = 0 ; ∆ = 0, donc P(x) admet une racine réelle unique : -(-12)/4 = 3.

forme factorisée : P(x) = 2(x – 3)²

* P(x) = 2x² - 12x + 20

∆ = 12² - 4.2.20 = 144 – 160 = -16

∆ < 0, donc P(x) n’admet pas de racine réelle et ne se factorise pas.

3 Signe du trinôme

Le signe du nombre ax² + bx + c est fortement dépendant de celui de a :

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ( ) ) ^{( )}

( )

( ) ( ( ) ) ^{( )} [ ]

( ( ) ) ^{( )}

:

;

;

n'a pas de racine réelle pour tout

a une racine réelle double pour tout

mais 0

a deux racines réelles pour tout

pour tout

P x signe P x signe a x

P x x signe P x signe a x

P x

P x x et x signe P x signe a x x x

signe P x signe a x x

⇔ = ∈

′ ⇔ = ∈

′ =

′ ′′ ⇔ = ∈ − ′ ′′

= − ∈ ′ ′

ℝ ℝ

ℝ

[

]

Remarque :

Si le polynôme est plus simple qu’un trinôme (donc un binôme ou un monôme), il n’est pas nécessaire de mettre en route toute la méthode (∆, racines, règles ci-dessus). Par exemple :

* P(x) = 2x² + 1 est la somme de deux nombres positifs et est donc positif quel que soit x.

* P(x) = 2x² - 1 est négatif ssi ² 1

x ≤2 ssi x  ; 

∈ − 

 

1 1

2 2

* P(x) = 2x² + 6x se factorise : 2x(x + 3), qui est négatif ssi x x

x x

≥ ≤

 

 

+ ≤ + ≥

 

2 0 2 0

3 0 ou 3 0

ssi 0 0

3 ou 3

impossible

x x

x x

≥ ≤

 

 

≤ − ≥ −

  ssi ^{x∈ −}

[

]

4 Sens de variations, extrémum

On admet que :

Si a < 0 :

P(x) est d’abord croissant puis décroissant

Son maximum est obtenu pour x = -b/2a

Si a > 0 :

P(x) est d’abord décroissant puis croissant

Son minimum est obtenu pour x = -b/2a

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5 Récapitulons :

∆ = b ² - 4 ac

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

ax² + bx + c admet deux racines réelles :

ax² + bx + c admet une seule

racine réelle : ax² + bx + c n’admet pas de racine réelle.

x’ = b a

− − ∆

2 ^{x’’ =}

b a

− + ∆ 2

x’ = b a

− 2 ax² + bx + c se factorise :

= a(x – x’)(x – x’’)

ax² + bx + c se factorise :

= a(x – x’)²

ax² + bx + c ne se factorise pas dans ℝ

a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0

ax² + bx + c est du signe de a tant que x n’est pas entre x’ et x’’.

ax² + bx + c est du signe de a (et

vaut 0 ssi x = x’). ax² + bx + c est du signe de a. x’ x’’

b a

− 2

x’’ x’

x’

x’

b a

−

2 b

a

− 2

b a

− 2

b a

− 2

b a

− 2