Photoionisation des atomes lourds : étude théorique dans un modèle non relativiste à potentiel central

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Photoionisation des atomes lourds : étude théorique dans un modèle non relativiste à potentiel central

Françoise Combet Farnoux

To cite this version:

Françoise Combet Farnoux. Photoionisation des atomes lourds : étude théorique dans un modèle non relativiste à potentiel central. Journal de Physique, 1969, 30 (7), pp.521-530.

�10.1051/jphys:01969003007052100�. �jpa-00206812�

521.

PHOTOIONISATION

DES

ATOMES LOURDS :

ÉTUDE THÉORIQUE ^DANS

^UN

^MODÈLE

NON RELATIVISTE

A POTENTIEL CENTRAL

Par Mlle

FRANÇOISE

^COMBET

FARNOUX,

Laboratoire de Chimie Physique ^{de la} Faculté des Sciences de Paris, bâtiment 350, 9I-Orsay.

(Reçu

^{le 7} février 1969, rivisd le 14

avril.)

Résumé. 2014 Nous avons calculé dans un modèle

monoélectronique,

^non relativiste et à

potentiel

central, les sections efficaces de

photoionisation

^{relatives aux} sous-couches 4d, 4f,

5p,

5d, 5f,

6p

pour des ^{atomes de} numéro

atomique

Z ~ ^71. Cette étude montre à

quelles

^sous-

couches sont

imputables

^les

importantes

variations

(distinctes

^des

discontinuités)

^du coefficient

d’absorption

des rayons X ultra-mous, ^observées

expérimentalement

pour différents ^atomes lourds. Elle met aussi en évidence l’évolution du

comportement

^{de ces} différentes sous-couches

lorsque

^{Z varie et} que

l’énergie

^des

photons

^se

déplace

^du domaine de l’ultraviolet lointain aux

rayons X mous,

expliquant pourquoi

les sections efficaces des couches les

plus

externes de l’atome

présentent

des variations

plus

accentuées que celles des sous-couches

plus

^{internes de}

même l, bien que ^le

potentiel

utilisé dans les calculs soit le même pour ^tous les électrons.

Abstract. ²⁰¹⁴ We have

performed

calculations of

photoionization

^cross sections for subshells 4d, 4f,

5p,

5d, 5f,

6p

ⁱⁿ

heavy

^atoms

(atomic

^number Z ~

71) using

^{a one} electron and non

relativistic model, ^{with a central}

potential.

This work shows what subshells are

responsible

for

important

variations showed

by photoabsorption

measurements in the ultrasoft X ray range

(far

^from

absorption edges)

for various

heavy

atoms. In addition, ^it

predicts

^{in what}

manner the contribution of these various subshells is

dependent

^{on Z and}

photon

energy

(varying

^{between the limits of vacuum} ultraviolet and soft X ray

ranges),

^{and it}

explains why

the variations of cross sections are more

important

^for external subshells in atom than for inner shells of ^same l,

although

^the

potential

^{used in} the calculations is the same for all the electrons.

IE JOURNAL ^DE PHYSIQUE TOME 30, JUILLUT 1969,

Introduction. ^- Des études

expérimentales

^r6-

centes

[1],

^{dues a} des chercheurs de notre laboratoire

en collaboration avec un groupe de recherches du Laboratoire de

Physique

de l’Istituto

Superiore

^di

Sanita

(Rome),

^{ont mis en evidence}

d’importantes

variations du coefficient

d’absorption

des rayons ^X tres _mous, distinctes des

discontinuités,

pour diff6rents

atomes lourds. Parallelement a ces travaux, des etudes

theoriques

^{bas6es sur} des calculs de sections efficaces de

photoionisation

^{des atomes libres}

[2]

^{nous ont}

permis

de montrer, ^a

partir

d’un modèle non

hydrog6noide

^a

un seul

électron, l’origine

de l’ existence de maximums

d’absorption

^{dans la} contribution de certaines sous-

couches a la

photoionisation

^dans le domaine de

longueurs

d’onde étudié

exp6rimentalement (20

^a

130

Å).

^La

juxtaposition

des maximums relatifs aux

sous-couches 5d ^et

4f,

^a

laquelle s’ajoutent

les contri- butions moindres des sous-couches

5s, 5p, 4d, interprete

assez bien l’allure des courbes

experimentales

^obtenues

pour 1’or et le

bismuth,

^{sans toutefois fournir un accord}

quantitatif parfait.

L’extension des

expériences

^{et des}

calculs au

platine

^{et au tantale}

[3]

^a

permis

^d’aboutir

aux memes conclusions : ces variations du coefficient

d’absorption,

inattendues si on se réfère au mod6le

theorique hydrog6noide

^{avec écran}

qui

^{semble conve-}

nir dans le domaine des _{rayons X} de

plus grande frequence,

^sont trop

prononc6es

pour n’etre

qu’un

effet du _passage de 1’atome libre a l’atome lie dans les 6chantillons

m6talliques

utilises pour les

experiences.

D’ailleurs,

^des

1964,

^{D. L. Ederer}

[4]

^montrait que le spectre ^d’un gaz, le

xenon, pr6sentait

^un

large

maximum

d’absorption

^a

quelques

dizaines d’eV des discontinuites

N1yNy (vers

¹²⁵

A)

^et

rapprochait

^ce

r6sultat inattendu d’un autre,

plus ancien,

^{relatif au}

tellure

[5].

^A

partir

de calculs effectues

par J.

^{W. Coo-}

per

[6]

^{dans un modele}

analogue

^{a celui} que ^nous

utilisons,

^Ederer

sugg6rait

^de considerer ces maximums

comme

caractéristiques

^{de la}

photoionisation

^en

couche

4d;

_pourtant l’accord était loin d’etre

excellent,

le calcul mettant en evidence ^un maximum

trop

^6troit

et six fois

plus important

^en

amplitude

que le maxi-

mum

experimental.

A la meme

époque,

Lukirskii et al.

[7], malgr6

^le

d6saccord

quantitatif

pour le

xenon, interpr6taient

leurs resultats

experimentaux

^{relatifs a des mesures du}

coefficient

d’absorption

^du

^Te, Sn, Pb, PbTe, SnTe,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003007052100

dans le domaine

d’6nergie

^{de 50 a 500}

eV,

^en supposant que les

spectres

^{de ces atomes}

pouvaient presenter

^des

maximums dus a la

position

des n0153uds des fonctions d’onde mises

en jeu

^{dans le} processus

d’absorption

par des

electrons d,

^{et non a} la distribution

6nerg6tique

^des

6tats des electrons dans le solide. Nos

calculs,

^{comme les}

travaux r6cents de S. T. Manson

et J.

^W.

Cooper [8],

^,

U. Fano

et J.

^W.

Cooper [9],

^{M. C. Guire}

[10],

^confir-

ment ces

hypotheses

et montrent

qu’il

faut rechercher les causes des 6carts entre la theorie et

1’experience

dans les

approximations

^{du modèle}

theorique atomique

utilise. 11 faut noter a ce propos que la m6thode semi-

empirique

^{de M. C. Guire}

[10] permet justement

d’obtenir une courbe

theorique

de la section efficace d’ionisation relative a la sous-couche 4d du

xenon,

tres voisine de la courbe

eXpérimentale, grace

^a

1’adop-

tion de

potentiels

coulombiens differents dans les

regions

interne et externe de 1’atome. Cette m6thode

s’appa-

rente a la m6thode du d6faut

quantique

utilis6e par Seaton

[11,12] ;

^{elle a}

cependant

^une

port6e plus grande,

du fait _que 1’introduction de deux

parametres ajustables

a des resultats

experimentaux (pour

^rendre compte

respectivement

^{des effets d’6cran interne et}

externe)

permet de définir avec

plus

^de

precision

^le

potentiel pres

du noyau.

Toutefois,

^{dans la mesure ou l’on a}

deja

^{fait la} preuve

qu’un

^modele

atomique

relativement

simple

peut ^{mettre en} evidence 1’allure

générale

^{de la}

variation des coefficients

d’absorption

^{et la}

position approximative

^{des maximums}

d’absorption

^dans

1’6chelle des

fréquences,

^{une 6tude}

syst6matique

^{de la}

variation des sections efficaces d’ionisation relatives

aux electrons des differentes sous-couches en fonction de

1’energie

^des

photons hv

^{et du num6ro}

atomique

^Z

de

1’absorbant,

peut ^{aider a}

l’interprétation

^{et à}

l’orientation

d’expériences

^{futures. Dans cet}

esprit,

nous avons

d6jh publi6 [13]

^{une note aux}

Comptes

Rendus de I’ Académie des Sciences dont le

present

article

d6veloppe

^et

explique

les resultats concernant

les sous-couches

4d, 4f, 5p, 5d, 5f, 6p,

^{des atomes}

lourds

(Z > 71)

pour

lesquels

^{aucune 6tude}

systé- matique

^{n’a ete effectuee}

jusqu’a present.

^L’ensemble

de nos travaux

qui

^{met en} evidence 1’evolution du

comportement

^{de ces} sous-couches

lorsque

^{le domaine}

d’6nergie

^se

d6place

^de l’ultraviolet lointain aux

rayons X ^{mous a} aussi l’int6r6t de

compl6ter

^{une 6tude}

analogue

^tres

r6cente, d6velopp6e parallèlement

par S. T. Manson ^et

J.

^W.

Cooper [8],

concernant

plus sp6cialement

les sous-couches

3p

^{et 3d des atomes de}

num6ro

atomique

Z > ^36.

£tude gdndrale

du mod6le a

potentiel

central utilise.

- En

approximation dipolaire,

la section efficace

d’absorption

^d’un

photon d’6nergie

hv par ^{un atome}

neutre

(de

^num6ro

atomique Z) qui

passe d’un ^6tat initial decrit _par la fonction

d’ onde i

^{a un 6tat final}

decrit _par la fonction

d’onde ,

^{s’6crit :}

e :

charge

^de

1’electron,

m : masse de

1’61ectron

c : vitesse de la

lumière,

Xn ⁼ rn . an : coordonn6es

d’espace

^{et de}

spin

^du

nieme

electron,

dr : element de volume construit sur 1’ensemble des coordonn6es des electrons.

La sommation

indiqu6e

^dans

(1)

s’effectue sur tous

les 6tats initiaux et finaux

possibles.

Dfi

^{est la}

composante

suivant la direction de

pola- risation j

^du

photon

^{du vecteur}

Dfil

^{Or :}

Les vecteurs p, v, r, 6tant

respectivement

^les

op6ra-

teurs moment linéaire

total,

^{vitesse totale et somme}

des _rayons vecteurs des electrons :

et

1’equation (1)

^{s’6crit aussi :}

oc : constante de structure

fine,

ao : rayon de

Bohr,

§ : ^d6signe

la fonction d’onde du

systeme

^constitue

d’un ion

positif et

de 1’electron

ejecte

^{avec 1’6ner-}

gie cin6tique

^{s. I 6tant}

1’energie

^du

photon

pour

laquelle

1’electron ^est lib6r6 avec une

energie cin6tique nulle,

^{on a : hv = I} + ^e.

Faisant

I’hypoth6se

^du

champ central, §j

^et

t.J;

^sont

choisis sous forme de

produits antisymétrisés

^{de fonc-}

tions

monoélectroniques,

^{et si on}

applique

le th6or6me de

Koopmans, t.J;i et t.J;

^{ne different que par} la fonction

monoélectronique

^{relative a} 1’61ectron en

jeu.

^Dans

1’6tat discret

initial,

celle-ci s’ecrit :

elle est normalis6e a l’unit6.

Dans 1’etat

final, l’électron en jeu

^{est decrit} par ^une fonction du

continuum, cp(JE) correspondant

^au poten- tiel dans

lequel

^{se meut} 1’electron

apr6s ionisation;

elle ne differe d’une fonction discrete de meme I que par la

partie

^radiale

PE, l(r);

^{elle doit etre normalis6e}

par unite

d’énergie

suivant la relation :

8 : fonction de

Dirac. j d6signe

1’ensemble des nombres

quantiques qui

caract6risent la fonction d’onde. En

523

accord avec cette

normalisation, Pe.l(r)

^se

comporte

asymptotiquement

^{comme e -1/4} et, pour ^r tendant

vers

l’infini, peut

^etre

repr6sent6e

par

1’expression :

z ⁼ 1 dans le cas d’un atome neutre, ^car la

charge

de l’ion r6siduel

6gale

^{Z - N}

+1

^{si N}

d6signe

^le

nombre d’électrons du

syst6me

^initial.

81(e)

^{est le}

deplacement

^de

phase

^{da a la nature non} coulombienne du

potentiel

pour les faibles valeurs de r.

Dans les

hypotheses pr6c6dentes,

^les

spins-orbitales

des deux

fonctions ’-¥i et ’-¥ f appartiennent

^{a un meme}

système

^{de fonctions}

orthonormales;

donc l’élément de

matrice ^{I./J; E}

^z

^rzl./J;

^{dr est}

^6gal

^{au terme}

^provenant

des

spins-orbitales p(js)

^{et u.,}

qui

^different

dans

et

§j,

^{et se r6duit a}

l’int6grale

^{relative a} 1’electron

qui participe

^a la transition I -->- I _±

1,

^{soit :}

(a

^un coefficient

pr6s provenant

^de

1’integration

^sur

les

parties angulaires).

^En

supposant

^donc que le processus d’ionisation concerne un electron de la sous-

couche nl

(potentiel

d’ionisation

Ini),

la section efficace d’ionisation relative a la sous-couche consideree s’écrit

sous la forme :

a., ^est

exprime

^en

cm2,

^les

energies Inl

^{et e 6tant en}

rydbergs. Cl-1

^et

Cl + 1

^{sont des} coefficients

num6riques qui

^tiennent compte ^de

l’int6gration

^sur les coordon- n6es

angulaires

^{et de}

spin

^et de la sommation sur tous

les 6tats initiaux

possibles.

Les valeurs de ces coefficients

ont ete tabul6es _par Bates

[14]

^{en tenant}

compte

^du

couplage LS,

^{mais si on se}

place

^{dans le cas} de 1’ionisa- tion d’une sous-couche

complete (occupee

par

N nl

^elec-

trons) :

Etant

donne les relations

(6crites ci-dessus) qui

^lient

les ^vecteurs p, v, r, d’autres

expressions peuvent

^etre utilis6es _pour calculer les

intégrales Rnl,l:l: 1 (E),

^donc

6nl(E).

Plusieurs auteurs, dont S. Chandrasekhar

[15]

^,

ont discute l’int6r6t de l’une ^ou 1’autre de ces

formules,

du fait _que les fonctions d’onde utilisees sont des fonctions

approch6es

^{et que} la contribution

pr6pon-

derante aux diff6rents elements de matrice

provient

de distances differentes du _noyau. Pour ce

travail,

6tant donne les différentes

approximations effectu6es,

nous avons utilise les formules 6crites

ci-dessus,

^à

partir

^du rayon ^vecteur. 11 faut noter, ^en

effet,

que

l’utilisation de la formule

(4) qui

suppose

6gale

^{a 1}

l’int6grale

^de recouvrement des fonctions d’onde autres que celles de 1’61ectron

qui participe

^a

l’ionisation, implique

^bien

l’approximation

de la non-relaxation du c0153ur de l’atome

apr6s ionisation,

^et entraine 1’assi- milation des

energies

^{- Enl} des orbitales mono6lectro-

niques

de 1’atome dans 1’etat initial aux valeurs des

potentiels

d’ionisation

I.,

des différentes sous-couches.

Nous ^avons choisi comme fonctions radiales des 6tats discrets et comme

energies

^{- Enl} les valeurs

propos6es

par F. Herman ^et S. Skillman

[16],

calcul6es dans

l’approximation

^de

Hartree-Fock-Slater, qui

^tient

compte

des effets

d’6change

par l’interm6diaire d’un

terme

proportionnel

^{a la}

puissance 1/3

de la densite

electronique.

^De

plus,

les calculs de F. Herman et

S. Skillman traitent les

configurations

^a couches in-

compl6tes

^{comme celles a couches}

completes ;

^{dans tous}

les _cas, la fonction d’onde totale _y est

repr6sent6e

par

un seul

determinant ;

^{la structure en}

multiplets

^est

completement ignor6e

^et

chaque configuration

^elec-

tronique

^{ne tenant} compte que du nombre d’61ectrons pour

chaque orbitale,

la formule

(4)

^a pu etre aussi utilisée dans ce travail _pour l’ionisation de sous-couches

incompletes (Nnl desi.gne toujours

le nombre d’61ec-

trons).

Pour calculer les fonctions d’onde radiales du

continuum, j’ai suppose,

^comme

J.

^W.

Cooper [17]

et

Hargreaves [18]

pour le

lithium, qu’apr6s ionisation,

1’electron

d’6nergie

^{e se meut} dans le meme

champ

central _que celui

auquel

il était soumis dans 1’etat initial. Autrement

dit,

^dans

1’equation

differentielle

homogene (5)

satisfaite _par la fonction du conti-

nuum

PE,l(r) :

V(r)

^{est le}

potentiel

attractif de Herman et Skillman pour

l’atome.

consid6r6. Dans

chaque

^cas,

Pe, z(r)

^est

obtenu par

integration num6rique

^de

1’equation (5)

par la m6thode de Numerov : la fonction ainsi obtenue pour

chaque

^{valeur de e est en} realite la fonction du continuum non

normalisée,

dont la normalisation s’effectue a

partir

^de

l’amplitude asymptotique;

^le

proc6d6 num6rique

utilise du a B.

Stromgren

^{a 6t6}

decrit _par Bates et Seaton

[19].

^{Tous ces calculs :}

interpolation

des valeurs du

potentiel

^et des fonctions

discretes,

afin d’obtenir une meilleure

precision

^aux

grandes

^valeurs

de r, integration num6rique

^de

1’6qua-

tion de

Schrodinger

pour les fonctions du

continuum,

normalisation de ces derni6res et enfin determination des elements de matrice des transitions

possibles,

^ont

ete

programmes

^{en Fortran} IV pour l’Univac 1107

(Orsay).

Application

^{du mod6le aux atomes lourds}

(Z > 71).

- Lorsque

^{nous nous} int6ressons aux atomes neutres

de num6ro

atomique

Z > ⁷¹

(après

^{les terres}

rares),

la sous-couche

4f est complete

^{et les} differentes confi-

gurations

de 1’etat fondamental a

partir desquelles

^sont

calcul6s les fonctions d’onde et le

potentiel

^{de F. Her-}

man et S. Skillman se

distinguent

par le

remplissage progressif

de la sous-couche

5d;

^{celle-ci est}

complete pour Z

^{= 79}

(or) ;

^a

partir

^{de Z =}

^81,

^commence

le

remplissage

de la sous-couche

6p,

^achev6 pour le radon

(Z

⁼

86).

^{Pour 87 Z}

^91,

s’effectue le

remplissage

de la sous-couche 7s et s’amorce celui de la

6d, interrompu

d’ailleurs a Z ⁼ 91

(protactinium)

par le

remplissage progressif

^{de la} sous-couche

5f.

C’est

pourquoi

^{cette 6tude et ces calculs concernent}

plus sp6cialement

^les

sous-couches np (n

⁼

5, 6),

nd

(n

⁼

4, 5), nf (n

⁼

4, 5)

et couvrent un domaine

3d’énergie

^{assez 6tendu}

puisque

^les

potentiels

^d’ioni-

sation des sous-couches 4d

(Z

⁼

103)

^et

6p (Z

⁼

82)

sont

respectivement 84,4 Ryd

^et

0,42 Ryd (valeurs

de F. Herman ^et S.

Skillman).

^Le

potentiel

^utilise

6tant le meme pour ^toutes les sous-couches d’un ^atome

donne,

la fonction du continuum

Pgj,(r) qui intervient

dans le calcul de 1’element de matrice

Rnl,l,(E)

^{est la}

meme

quel

que soit n.

D’apr6s 1’equation (5)

^du

paragraphe precedent,

^on

comprend

que le

potentiel

attractif

V(r) joue

^{dans le sens d’une}

augmentation

^du

nombre de n0153uds de la fonction du

continuum,

^de

meme que le terme

d’6nergie

^{s; le terme de}

repulsion centrifuge

intervient ^en sens inverse. D’ou

l’ importance,

comme le

souligne

^aussi l’article recent de A. R. P. Rau et U. Fano

[20],

de la variation en fonction de

Z, l,

^r

du

potentiel

^{effectif :}

A

partir

^du

potentiel

^de

Thomas-Fermi,

^M.

Goep- pert-Mayer [21]

^{mettait en evidence} que

U(Z, l)

^ne

pouvait presenter

de barri6re de

potentiel positive

que si 1 >

2;

par contre, ^a

partir

^du

potentiel

^{de Herman}

et

Skillman,

la courbe

repr6sentant U(Z, 2) pr6sente

un

puits

^de

potentiel n6gatif

^a l’int6rieur de

1’atome,

suivi d’une

16g6re

barriere de

potentiel positive

^{et d’un}

autre

puits n6gatif large

^a

partir

^{de r =}

3a,,

pour certaines valeurs de Z

(par exemple

^{Z =}

18, 29, 36,

car pour ^{p ces} elements

V(r) ^{( )} r 2

^{r a p}

^{partir de r}

^o

^{3a . o)}

Par contre, pour les atomes

qui

^nous intéressent

ici, U(Z, 2)

^ne

pr6sente

^a l’int6rieur de 1’atome _que le

puits

^de

potentiel n6gatif,

^{alors que pour}

U(Z, 3)

^la

barri6re de

potentiel positive

^est

toujours pr6sente (en

L’amplitude

^{et la}

position

de la barriere de

potentiel

n’ont _pas une allure de variation monotone en fonction de Z

(pour

^{I =}

3, l’amplitude

maximale de la barriere de

potentiel

^se

pr6sente

pour l’or : soit

1,13 Ryd).

On sait que pour ^un

potentiel

^attractif

v(r) qui

^tend

vers 0

plus rapidement

que le

potentiel

^{de Coulomb}

aux

grandes

^valeurs

de r,

^{un th6or6me}

general [22]

établit _que

8z(o)

⁼

nNz, Nz

6tant le nombre d’6tats lies de moment

angulaire

^{1 obtenus a}

partir

^du

poten-

tiel

V(r).

^Le

potentiel

utilise dans cette 6tude 6tant coulombien aux

grandes

^valeurs

de r,

^{cette relation}

FiG. 1. ^- Variations du

potentiel

^effectif

(en rydbergs)

en fonction de la distance radiale r (unite :

ao).

concernant le

deplacement

^de

phase 31

pour

1’energie

⁰

n’est

qu’approximativement

vérifiée. Par contre, la relation 6tablie _par Seaton

[11], qui

^{relie le}

d6place-

ment de

phase

pour les faibles valeurs de _E, aux valeurs

extrapolees

^{du defaut}

quantique (s)

^est

rigoureuse-

ment correcte.

al(O)

⁼⁼

7p.,(O)

^n’est

d’ailleurs,

^selon

Seaton, qu’une generalisation

^de la relation

8, (0)

⁼

nNz

si on consid6re

p., (0)

^comme l’accroissement du nombre d’états

lies,

^{du au}

potentiel

^non coulombien pour les

petites

valeurs de r.

Quoi qu’il

^en

soit,

^si la relation

81(0)

⁼

7cN,

^ne

peut

etre utilis6e _pour calculer

rigou-

reusement la valeur du

deplacement

^de

phase,

^nous

avons v6rifi6 _que, dans les cas

qui

^nous int6ressent

ici,

l’onde du continuum

Po,z(r) pr6sente

^{autant de maxi-}

mums dans la

region

interne de 1’atome _que celui-ci comporte de sous-couches

(nl) occupees,

^{comme le}

montrent les

figures 2, 3,

^4.

Quand

^e augmente, les n0153uds ont tendance a se

rapprocher

^{les uns des autres.}

Avant d’6tudier

s6par6ment chaque sous-couche,

^il

est int6ressant de faire

quelques

remarques

generales qui

permettront ^de

pr6voir

^le comportement ^{des diff6-}

rents elements de matrice

Rnz,z-::t 1 (E),

^en fonction de _n,

l,eetz

1)

^{La relation}

Rnz,z-::t 1 (E)

⁼

KZ-::t 1 (E) R,,,,, 1 (El

^mon-

tre que la section efficace

depend

^a la fois de la variation de

KZ-::t 1 (E),

^constante de normalisation de la fonction du continuum

Pg,l-::t 1 (r )

^et de la valeur du recouvrement

de la fonction de 1’etat initial avec la fonction du conti-

nuum

correspondante, Rnz, z -::t 1 (E) ;

^ces deux facteurs de variation ne sont pas totalement

independants puisqu’il

existe une relation entre

Kz(E)

^et

al(e) [1 1],

^et

qu’un

accroissement de ^7v de

Z(E) signifie

^le passage de l’extérieur a l’int6rieur de

1’atome,

^{d’un n0153ud de la}

525

FIG. 2. ^- Bismuth : recouvrement des fonctions

P4f(r) (-.-.)

^et

Psp(r) (----),

^{avec la fonction du conti-}

nuum

Po,d(r) (- ) .

FIG. 3. ^- Bismuth : recouvrement de la fonction

P5d(y) (---)

^{avec les fonctions} du continuum

Pef(r) ( )

pour e ^{= 0 et s =} 11,5

Ryd.

FIG. 4. ^- Bismuth : recouvrement de la fonction

P4f(r) (---)

^{avec les fonctions du continuum}

PS;g(r) (-) )

pour s ^{= 0 et e =} 11,5

Ryd.

La distance radiale y est

exprim6e

^en unites ao et les fonctions d’onde en unites

ao 1/2.

fonction du

continuum,

^{donc une} modification du

recouvrement.

2)

^Tandis que dans

l’approximation hydrog6noide Rnl,l:!: 1 (E)

^est

toujours positif,

l’utilisation dans les calculs d’un

potentiel

^{central mais non coulombien}

met en evidence la

possibilite

^{de trouver} l’élément de matrice

n6gatif,

^{dans un} certain domaine

d’énergie

au-dela du

seuil,

^{a condition} que n > I + ^{1. Cette} eventualite se

produit

si la sous-couche

(n,

^{I +}

1) existe,

^mais n’est pas

occup6e

dans 1’6tat fondamental :

en

effet,

^{cette condition}

implique

que les nombres de n0153uds de la fonction

Pnl(r)

^et de l’onde du conti-

nuum

Po, + 1 (r)

different d’une

unite,

^ce

qui peut

^entrai-

ner un recouvrement

n6gatif.

Par contre,

R.1,1,1(e)

^est

toujours positif

pour les sous-couches sans noeuds

(n

^{= I} +

1) :

^{: dans ce cas,}

la sous-couche

(n,

¹ +

1)

^n’existe pas. De

meme, Rnl,l -1 (E)

^est

positif

^{dans tous les cas}

(la

sous-couche

(n,

^{I +}

1)

^est

toujours occup6e quand (nl) 1’est).

3)

^On peut ^donc

pr6voir

que pour les atomes lourds

qui comportent plusieurs

sous-couches de meme I

occupees,

^le recouvrement a

plus d’importance

pour les sous-couches les

plus

externes,

cependant

que la contribution du facteur de normalisation reste la meme que pour des sous-couches

plus profondes

^{de meme 1.}

KI(e) depend

de la variation du

potentiel V(r).

^Pour

ces sous-couches externes, la condition ci-dessus

(sous-

couche

(n,

^I +

1)

^non

occup6e)

^est presque

toujours remplie

^{et un}

changement

^de

signe

^de

R,,,,, I+, (s)

^pour

une valeur _eo

plus

^{ou moins}

proche

^{du seuil est}

attendu, signifiant l’apparition

d’un minimum situe entre deux maximums _{pour (JnZ.}

Pour des sous-couches assez

profondes, Rnl, L + 1 (E)

varie _peu avec e : la

dependance

^de

l’ énergie

^{des diffé-}

rents elements de matrice ^est

r6gie principalement

par le facteur de

normalisation,

^surtout

pres

^des

seuils;

en

effet,

pour les

petites

valeurs de _E, la

plus

^forte

contribution a la

photoionisation provient

^{de distances}

radiales relativement

grandes,

pour

lesquelles

^le

poten-

tiel effectif

peut presenter

^{une barri6re}

positive

^dont

l’amplitude

retarde le recouvrement des deux fonctions.

Les calculs montrent que les

plus grandes

^variations

de

KI(e)

^se

produisent

pour les

grandes

valeurs de I

(I

⁼

3, 4)

^{dans un domaine}

d’énergie

^{limit6 a}

quelques rydbergs

au-dessus du seuil

(voir

^tableau

VII).

A. SECTIONS EFFICACES RELATIVES AUX SOUS-COU-

cHES np (n

⁼

5, 6).

^- L’ionisation des

sous-couches np

met en

jeu

les transitions

np-es

^et

np-ed.

^{Comme nous}

1’avons mis en evidence dans la

pr6c6dente

^note

[13], Rnp, s (E)

^d6croit

positivement depuis

^une valeur maxi-

mum au seuil. Si Z

79, R5p,d(E), négatif

^au

seuil,

s’annule _pour ^{c =} _EO’ valeur au-dela de

laquelle

1’element de matrice

pr6sente

^{un maximum}

positif

avant de d6croitre lentement. Pour

79 5

Z

86,

bien _que la sous-couche 5d soit

complète, EO

^existe

toujours

^{mais se}

rapproche

^{du seuil}

(le potentiel V(r)

croit avec

Z).

^{Ceci montre} que le resultat

pr6conis6

par U. Fano et

J.

^W.

Cooper [9],

^{a savoir}

Rnl,Z + 1 (E)

positif

^a

partir

de la valeur de Z

qui correspond

^au

remplissage

^total de la sous-couche

(n, I + 1),

^n’est que tres

approximatif.

Au-dela de Z ⁼

86,

^{la couche}

6p

est

complete

^et

R5,,,(e)

^n’est

plus negatif mais

^croit

positivement depuis

^le

seuil jusqu’a

^un faible maximum

assez

plat.

^Autrement

^dit,

^{si on} calcule les sections efficaces

partielles a, (5p-es)

^et

0’2(5p-Ed) (6

⁼ 61

+72),

on trouve que, pour Z

86,

62

pr6sente

^{deux maxi-}

mums, l’un

important

^{au seuil ou tres}

pres

^{du seuil}

(maximum

^{dit «} de resonance » par ^{U. Fano et}

J.

^W.

Cooper), ^l’autre,

loin du seuil et tres

faible;

pour Z >

86,

la sous-couche

5p

^6tant

plus interne,

seul subsiste le deuxieme maximum de _{62, peu} accuse.

Or les calculs ont montre _que ce deuxi6me maximum

ne se retrouve pas pour ⁶

totale,

dont la variation est

decroissante

depuis

^une valeur maximale au seuil ou

tres

pres

^{de ce}

dernier,

^comme

l’indique

le tableau I.

Ce detail est

int6ressant,

^{car il est du a un r6sultat}

inhabituel en

approximation hydrog6noide,

^{a savoir :}

I R5P. 8(0) toujours

^{tres voisin ou}

supérieur it I R5p, , (0) ^[ (voir

^tableau

I),

^{et au fait} que les courbes relatives

a

R5p, s(s)

^et

R5p,d(E)

^{ne se}

coupent qu’apres

^{le maxi-}

mum de

R5p,d(E) (voir fig. 7).

Le tableau II resume la variation en fonction de Z de

l’amplitude

du maximum de (j6p

(au seuil).

^{Nous ne}

d6taillerons _pas ces calculs

qui

^{donnent des resultats}

analogues

^{a ceux relatifs a} a5,, ^a ceci

pres

que,

lorsque

Z croit a

partir

^de

^86,

les couches 6d et

7p

^{ne se}

compl6-

tant pas, 1’element de matrice

R6p, d(e)

^{ne devient}

jamais positif au

^seuil.

11 faut remarquer

l’importance

^de

1’amplitude

^du

maximum de (j6p pour le

radon,

^a

rapprocher

^{de celle}

du maximum de C75-,, pour le xenon

[13] (1).

B. SECTIONS EFFICACES RELATIVES AUX SOUS-COU- CHES nd

(n

⁼

4, 5).

^{- Elles mettent}

en jeuleselements

de matrice

Rnd, p (E)

^et

Rnd, f(E).

^{Les calculs nous}

montrent que

R4d, p(E)

^et

R5d, p(E)

d6croissent en restant

(1)

^{Une erreur s’6tant}

ghss6e

^{dans la}

precedente

^note,

remplacer

^{la valeur 70 Mb de}

(j5p(0)

^{pour le xenon}

par 130 Mb.

TABLEAU I

TABLEAU I

(suite)

A, ^{E :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du maximum de _a5P 3*

TABLEAU II

A, ^{E :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du maximum de _0"6p.

527

positifs depuis

^{une valeur maximale au}

^seuil, Ueff(Z, 1)

ne

pr6sentant

^aucune barriere de

potentiel positive

^a

l’int6rieur de 1’atome. La sous-couche

4f etant occup6e

dans 1’etat fondamental des atomes

qui

^{nous int6res-}

sent, l’onde

Po, 3(r)

comporte ^{au moins un noeud à} l’int6rieur de

l’atome;

^{comme le montre la}

figure 3,

le recouvrement ne

peut

croitre que

lorsque

le deuxi6me n0153ud _y

participe,

c’est-a-dire

lorsque

^{E est devenu}

supérieur

^a

I’amplitude

de la barriere

presentee

par

U,,(Z, 3),

^soit

^0,55 Ryd

pour le bismuth

(voir fig. 1).

Bien _que la sous-couche

4f soit completement remplie

a

partir

^{de Z =}

^70,

^{ce n’est}

qu’a partir

^{de l’or}

(Z

⁼

79)

que

disparait

le minimum voisin du seuil et

negatif de R41,f(e), ^lequel

^croit

positivement jusqu’a

un maximum

positif d’amplitude

faible. Les resultats du tableau III montrent que le

premier

^maximum

de _’g4, est

repouss6

^au seuil des _{que Z} atteint la va-

leur

72;

^il

disparait

^{pour Z =}

^83,

valeur au-dela de

laquelle

^{il ne} subsiste pour 0’4d

qu’une legere

^croissance

depuis

^{le seuil}

jusqu’a

^{un maximum}

d’amplitude faible, qui

tend aussi a se

rapprocher

^du

seuil lorsque

la sous-couche

5f

^se

remplit (la

sous-couche 4d est

devenue interne _pour

1’atome). Toutefois,

^{le radon}

(Z

⁼

86) pr6sente

^{encore un maximum} voisin du seuil du a une

légère

croissance de

R4d, p (e)

^avant la d6crois-

sance habituelle.

Quant

^a

R5d,(E),

^{I il est}

n6gatif

pour ^{E =}

0,

^et

pr6sente

^{un minimum}

n6gatif

^avant de s’annuler et de croitre

jusqu’a

^un

16ger

^maximum

positif.

^{Au fur et a}

mesure que Z

croit,

^les

positions

dans 1’6chelle des

energies

des maximums et minimums

respectifs

^varient.

Pour tous les atomes

lourds,

a5d

pr6sente

^{alors un}

premier

^maximum

important (le

^{maximum de reso-}

nance)

^assez

proche

^{du seuil et un} deuxieme maximum

d’amplitude

^{tres faible}

(a plus

^{de 20}

Ryd

^du

seuil),

³

comme le montre le tableau IV. On remarque que le

TABLEAU III

TABLEAU III

(suite)

A l, ^{El :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du 1 er maximum de _G4d.

A2, ^{E2 :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du 2e maximum de (j4d.

TABLEAU IV

A l, ^{El :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du 1 er maximum de _a5d- A2, ^{E2 :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du 2e maximum de _(J5d.

maximum de resonance atteint ^son

amplitude

^maxi-

male,

^{151 Mb}

(1

^{Mb = 10-18}

cm2),

pour le radon

(Z

⁼

86)

^et celle-ci d6croit

brusquement

ensuite : elle n’est

plus

que de 10 Mb pour ^{Z =} 88.

Ceci

rappelle

les resultats

[13]

concernant C41 pour 40 Z 72 : en

effet,

pour ^ces

elements,

^{nous avons}

mis en evidence

pr6c6demment

1’existence d’un _pre- mier maximum de resonance pour (74d, dont

l’amplitude

avait la valeur maximale _pour le xenon

(Z

⁼

54)

et d6croissait

brusquement

^a

partir

^{de Z = 55. Ces}

variations

brusques

^{sont sans doute}

imputables

^{a la}

variation non monotone du

potentiel (en

^fonction

de

Z) :

^bien que celui-ci ne soit pas ^assez intense _pour lier un electron

4f a

1’atome de cesium

(Z

⁼

55),

^{3 ou}

un electron

5f

^{a l’atome} de radium

(Z

⁼

88),

^la

majeure partie

de la force d’oscillateur relative ^aux transitions

4d-ef ou 5d-ef a

^ete transferee a celle concer- nant les transitions discr6tes

permises 4d-4f

^ou

5d-5f,

les fonctions

4f et 5f devenant

moins 6tal6es.

Ces

r6sultats,

^de meme que ^ceux de S. T. Manson

et

J.

^W.

Cooper [8]

^{relatifs a la} sous-couche 3d

(ces

auteurs

pr6voient

que 1’allure de variation _{de 0’3d} en

fonction de Z se modifie de la meme maniere pour 79 Z

103,

^{avant le}

remplissage

de la couche

5f,

que pour 45 Z

70,

^{avant le}

remplissage

^{de la}

4f )

sont tout a fait en accord avec

1’interpretation theorique

^fournie par

J.

^Friedel

[25]

d’une anomalie observ6e

[26]

concernant la

position

des disconti- nuit6s

M1V Mv

des m6taux lourds : celle-ci ^est le r6sultat de la transition d’un electron 3d vers le bas de la bande

5f,

^ce

qui

^{se traduit}

exp6rimentalement

^par

un

d6calage

^en

energie (par rapport

^a

1’emission) 3(hv)

de la

position

des discontinuites

d’absorption M1V M,.

Ce

d6calage repr6sente

donc la diff6rence

d’6nergie

entre le haut de la bande de conduction et le bas de la bande

5f;

^{il devient}

n6gatif

au-dela du radon

(Th, Pa, U),

^montrant que la bande de conduction de ces

derniers m6taux doit avoir un fort caract6re

5f,

^de

meme

qu’on

montrerait _que celle des m6taux de num6ro

atomique supérieur

^a 55 doit avoir un fort caract6re

4f.

Rappelons qu’en

^ce

qui

^{concerne le xenon il nous}

semble,

^en faisant la

comparaison

^entre la theorie et

1’experience,

que le

potentiel

^{utilise est} certainement trop

attractif, puisqu’il

^s’ensuit pour 64d ^un maximum

(de resonance) theorique plus pres

^{du seuil} que le maximum

experimental,

^{dans un cas ou un mod6le}

d’atome libre devrait etre

ad6quat.

Le maximum de resonance da au minimum

n6gatif

^de

R5d, f(E)

^s’affai-

blit en

amplitude lorsque

^Z augmente au-dela de la valeur

86,

^{mais ne}

disparait

pas ^comme le fait celui de _cr4d au-delh de Z ⁼

73,

^{du fait} que la sous-couche

5f

est

tout juste complete

pour Z ⁼ 103.

C. SECTIONS EFFICACES RELATIVES AUX SOUS-COU- CHES

nf (n

⁼

4, 5).

^- Comme le mettait en evidence la

pr6c6dente

^note

[13],

^{il faudra}

distinguer

^le compor- tement de la sous-couche

4f de

celui de la sous-couche

5f,

cette dernière ayant ^un

n0153ud,

^tandis que la

premiere

n’en a pas. L’onde Ed ^est la _{meme que} celle

qui

^inter-

vient dans 1’element de matrice

Rnp, d(E).

^{Sur la}

figure 2,

^{relative au}

bismuth,

^on remarque que les trois noeuds de la fonction

PO,d(r)

^{sont situes assez}

profondément

^{dans le c0153ur de 1’atome} pour entrainer

un recouvrement

positif

^avec la fonction

4f toujours positive. R5f,d(o),

comme nous 1’avons

pr6vu,

^est

aussi

positif et

^{d6croit en le restant}

lorsque

^e augmente.

Avant de d6croitre

aussi, R4f, d(e) pr6sente

^{souvent un}

tres

leger

^maximum

pres

^du seuil : U. Fano

etj.

^{W. Coo-}

per

[9]

pensent

qu’il s’agit

^d’une

16g6re depression

^au

seuil,

^{due a la}

repulsion centrifuge. U,,(Z, 4)

^6tant

toujours positif

^a l’int6rieur de

1’atome,

^l’onde Eg

(du continuum)

^ne

p6n6tre

pas dans le c0153ur de l’atome

et 1’element de matrice

R4f, g(E)

^{a une} faible valeur

positive

^au

seuil, puis

^croit

jusqu’a

^ce que le

premier

n0153ud de la fonction

Pe, g(r) participe

^au recouvrement;

ensuite la décroissance ^est lente. Par contre,

R5f, g(e)

^est

n6gatif

^au

seuil,

passe par ^un minimum

n6gatif

^assez

pres

^du

^seuil, puis

^devient

positif

^et

pr6sente,

^{loin du}

seuil,

^un

16ger

^maximum

positif.

^Le comportement de

R5f,,(e)

^{est en cela tout a fait}

^analogue

^{a celui}

de

R4d, f()

pour Z inferieur a

73,

^{et de}

R5d, f(E)

^pour

les elements 6tudi6s ici. 11 entraine pour ’g5f 1’existence d’un maximum de resonance voisin du seuil

(ta-

bleau

VI)

^dont

l’amplitude

^{va en} augmentant ^{avec Z}

(ce qui

^{est normal}

puisque

le nombre d’electrons

N5 f croit)

^{et d’un autre} maximum tres faible et tres

plat

^a

une trentaine de

rydbergs

^du seuil. Par contre, a4f ^ne

pr6sente

pas de maximum de resonance

(c’est-a-dire

de maximum etroit du au minimum

n6gatif

^{de 1’ele-}

ment de matrice

qui

^{met en}

jeu

^l’onde

eg),

^{mais un}

maximum

large

traduisant le maximum

positif

^de

1’element de matrice

R4f, g(E) à

^{10 ou 15}

rydbergs

environ du seuil. On note sur le tableau V _que

l’ampli-

tude de ce maximum d6croit lentement

lorsque

^Z

TABLEAU V

A, ^{E :}

Amplitude

^et

position (a partir

^du

seuil)

du maximum de _af.