Théorie macroscopique du couplage électron-phonon dans les semiconducteurs piézoélectriques

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Submitted on 1 Jan 1965

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Théorie macroscopique du couplage électron-phonon dans les semiconducteurs piézoélectriques

A. Le Bourgeois, J. Tavernier

To cite this version:

A. Le Bourgeois, J. Tavernier. Théorie macroscopique du couplage électron-phonon dans les semiconducteurs piézoélectriques. Journal de Physique, 1965, 26 (12), pp.765-768.

�10.1051/jphys:019650026012076500�. �jpa-00206348�

765.

THÉORIE MACROSCOPIQUE

DU COUPLAGE

ELECTRON-PHONON

DANS LES SEMICONDUCTEURS

PIÉZOÉLECTRIQUES

Par A. LE BOURGEOIS et

J. TAVERNIER,

Laboratoire Central des Industries

Électriques, Fontenay-aux-Roses,

^Seine.

Résumé. - Nous proposons dans ^cet article ^{une théorie}

macroscopique

^du

couplage

^électron- phonon ^{dans les} semiconducteurs

piézoélectriques.

Nous donnons les

expressions

des vecteurs

champ électrique ^et densité de courant. Les formules obtenues sont valables

quelles

que soient la direction de propagation ^{des ondes} ultrasonores et l’orientation d’un

champ électrique appliqué

^de grandeur constante. Ces résultats permettent de retrouver les calculs classiques

d’amplification

ultrasonore.

Abstract, 2014 ^{In this} article, ^we

develop

^a

macroscopic theory

^{of electron}

phonon coupling

ⁱⁿ

piezoelectric

semiconductors. We derive the formulae for the electric field and current

density

vectors. The equations ^are valid for any direction of ultrasonic wave

propagation

and any orien- tation of

applied

^{field of constant} magnitude. From these results, the classical

theory

^{of ultra-}

sonic

amplification

^can be obtained.

LE JOURNAL UE PHYSIQUI ^TOME 26, ^DECEMI3RE 1965,

1. Introduction. ^-

Depuis

^les

premiers

^travaux

publi6s

par ^{D. L.} White

[1], [2], [3]

^sur

l’ampli-

fication

ultrasonique

^{dans les} semiconducteurs

piézoélectriques,

de nombreuses theories ont 6t6 61abor6es sur ce

sujet.

En

particulier

^{H. N.}

Spector [4]

^a

d6velopp6

^une

m6thode bas6e sur l’utilisation

.de 1’6quation

^de

Boltzmann dans le cas ou le

couplage

^{entre les}

electrons et les

phonons

s’effectue par l’inter- m6diaire du

potentiel

^de deformation. La com-

plexit6

des calculs

n’ayant

pas

permis

^{de donner}

une forme

explicite simple

du coefficient

d’ampli-

fication

des ondes.sonores,

^{H. N.}

Spector

n’a pu

exploiter

^ses résultats que pour deux orientations

particulièrement simples

^{de la}

^direction

^de propa-

gation

^{des ondes}

acoustiques

par

rapport

^au

champ 6lectrique

^constant

auquel

^{est soumis} 1’6chantillon.

Dans cet article nous proposons ^{une th6orie} du

couplage électron-phonon

^{dans les} semiconducteurs

piézoélectriques.

Notre but est de donner une

expression

des para- m6tres

electriques (champ,

densite de

courant...),

valable

quelle

que soit l’orientation de

la

^direction

de

propagation

par

rapport

a celle du

champ

^6lee-

trique

^constant.

Bien que les résultats obtenus soient tres

g6n6-

raux

puisqu’ils

^{sont f ormules sous forme intrin-}

s6que,

^{ils ne sont valables que dans}

l’approximation

selon

laquelle

^{le libre} parcours moyen des electrons est

petit

^{devant la}

longueur

^d’onde

acoustique.

Dans le

premier paragraphe

^{nous décrivons la}

m6thode

permettant

d’atteindre le coefficients

d’amplification.

Ce travail a 6t6 effectue au titre de la Convention de Recherche N° 63 FR 241 pass6e ^entre la Direction Generale a la Recherche

Scientifique

^et Technique ^{et le} Laboratoire Central des Industries

Electriques.

-

La détermination

des ^grandeurs electriques (champ

^et

courant)

^fait

l’objet

^des

paragraphes

²

et 3.

Les résultats sont

appliques

^{au cas d’un modele}

simple d’anlplification ultrasonique

^{et en con-}

clusion on

precise

^l’écart

qui

^{existe entre}

1’expr,6s-

sion due

champ piézoélectrique

^{souvent utilis6e et}

la ^forme exacte.

2. Mdthode de calcul du coefficient d ’atténua- tion. ^- Consid6rons un corps

pi6zo6lectrique

^aniso-

trope

^mais

homog6ne.

^{11 est bien connu} que ^si l’on

se fixe une direction

de propagation

it existe trois directions de

polarisation possibles

pour les ondes de

déplacements.

^{Ces trbis} directions sont ortho-

gonales

^{deux a}

deux, chaque

^{onde admettant un}

vecteur d’onde différent dans ^le cas

general.

On

peut

^{ainsi 6crire}

^dans

^le

systeme

^d’axes

defini par les directions de

polarisation

^{le vecteur}

deplacement

^{sous la forme.}

.et le tenseur des deformations

Chaque composante

^{81m est la somme de deux}

termes admettant des facteurs de

propagation

^dif-

férents. En

regroupant

^{les termes} admettant les memes facteurs de

propagation

^on pourra écrire :

S10’ S20 et Sso ayant

^chacun

quatre

^de leurs compo- santes nulles.

Dans des axes

quelconques

^{on aura la m6me}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019650026012076500

766

decomposition.

^Seulement

S107 S2o et Sso

^auront

tous leurs elements non nuls en

general.

D ans tout ce

qui

^{suit nous nous bornerons au cas}

ou il n’existe

qu’une

seule de ces ^cc ondes de défor- mation ^»

Les

grandeurs élastiques

^et

6lectriques

^{sont li6es}

par les

equations :

ou

D et E

repr6sentent respectivement

^{les vecteurs}

induction

électrique

^et

champ électrique, e

^{le ten-}

seur de

susceptibilite dielectrique,

^{8 le transform6}

du tenseur

piézoélectrique ;

^{par le tenseur}

^d’élas-

ticité

C (8

⁼

=C: 7=C)

^et

^N

le tenseur des con-

traintes.

(Rous

^avons

indique

par des

points places

^les

uns au-dessus des autres le nombre de contractions effectuees entre ces diff6rents

tenseurs.)

Signalons que la

^deuxi6me

equation

^n’est

qu’ap- proch6e.

^{Elle est}

cependant toujours

^{valable en}

pratique.

A ces deux

equations

^nous

joindrons

^les

6qua-

tions de Maxwell.

l3tant

^donne la lin6arit6 de toutes les

equations

nous retrouverons les memes facteurs de propa-

gation

^dans

D, E, S

^{et N. N ous en}

profiterons

pour

d6crlr6

l’atténuation ou

1’amplification

^{de toutes}

ces

grandeurs

par une

cgnstante

d’affaiblissement oc

deimie

par :

u 6tant le vecteur unitaire de la direction de propa-

gation ^{et Vs}

la vitesse du son. Nous ferons

l’hypo-

th6se que a ^est faible devant

co/v,

c’ est-à -dIre _que l’affalblissement est falble sur une distance

6gale

^à

la

longueur

^d’onde.

, On

peut

^{alors montrer a 1’aide des}

equations qui régissent le probleme (que l’ énergie électrlquedissipée

se transforme en

6nergie elastique

^et done que, ^si 0

repr6sente

la valeur moyenne ^{du flux}

d’énergie élastlque,

^on

peut

^{écrire :}

avec

Re

signifiant partie

^{r6elle et J}

repr6sentant

^{le vec-}

teur density

^{de courant. -}

Nous avons tenu

compte

du fait que la densite

d’énergie élastique

^se compose de deux contri- butions

6gales :

^l’une

provenant

^de

1’6nergie

^ein6-

tique,l’autre

^de

1’energie potentielle.

D’ou :

Pour calculer effectivement ^oc nous

prendrons

comme

variable S qui

^{est la}

grandeur

que l’on

impose expérimentalement

^et

qui depend

^{du mode}

d’excitation ultrasonore et de l’orientation du cris- tal

piezoelectrique.

^Nous

exprimerons

^{done E et J}

en fonction de

S.

3.

Expression

du vecteur densite de courant J.

- Le courant total

qui

^circule dans le cristal s’6crit :

of n est la densite

6lectronique, q

^la

^charge

^de

l’électron, [J.

la mobilité. Et ^{est le}

champ électrique

total. Il est de la forme :

Eo

^{est le}

champ

^continu

applique, E1

^le

champ

resultant de la

polarisation

^du milieu. Pour lin6a- riser

1’6quation

^de

depart

^nous 6crivons la densite de

charge

^{sous la forme :}

ou no ^et

n1

^sont

respectivement

la valeur moyenne et le premier

harmonique

de la densite de

charge.

Nous avons donc :

en ne conservant que le ^terme continu et l’harmo-

nique

^{un du} courant. n, est ^en

general

tres faible devant _no. On

peut

^{done dire} que no qy ^sera

prati- quement

^la conductivité du milieu. La

partie

^alter-

native de

71

^{est donc :}

ou :

L’61imination _{de n, q} a l’aide de

1’6quation

^de

conservation :

conduit a :

(nous

^avions

supprime

^l’indice

1)

^{soit sous forme ten-}

sorielle :

avec :

Nous ^avons

n6glig6

^la

diffusion des ^porteurs.

^On

peut

^{en tenir}

compte

^{en ecrivant}

^Jt

^{sous la forme :}

On est alors

conduit

^{a :}

ou

.

Expression

^du

champ électrique.

^- Pour d6ter- miner E en fonction de

S,

^nous utiliserons les

equa-

tions de Maxwell :

p

^est

l’op6rateur

tel que :

Nous

prendrons c

^{= e}

I

^{et poserons :}

ou nous avons introduit : la vitesse des ondes 6lee-

tromagnétiques

^c

= (,-tio)-l" ;

^la

pulsation

^{de re-}

laxation

diélectrique

^{coc = at-’.}

L’élimination de H entre les deux

equations

^de

Maxwell conduit a :

Cette relation s’inveise en :

Applications.

^{2013 1.} AMPLIFICATION D’UNE ONDE ULTRASONORE LONGITUDINALE. ^- NOUS ferons

1’hypothese

que

Eo

^est

parallele

à la direction de

propagation

^et

que S

^n’a

qù’une composante

^non

. nulle ₈₃₃ ⁼ s.

8 : 3

^n’a

qu’une composante 333

S33 ⁼ ðs et

C : S

⁰

S*)

^{s’ecrit :}

Dans ^ce

cas E

^et

J

sont

longitudinaux

^{et leur}

) ^mesure est :

ou :

La

puissance dissip6e

^{au cours de} l’interaction électron-réseau est :

d’ou le coefficient d’atténuation :

en introduisant la constante de

couplage

^6lectro-

m6canique :

Ce resultat est celui obtenu par White

[3]

^avec

un modele unidimensionnel.

2. EFFET D’UN CHAMP

ÉLECTRIQUE

^{CONTINU PER-}

PENDICULAIRE A LA DIRECTION DE PROPAGATION DES ONDES ULTRASONORES.

- Examinons

^{le cas ou}

le

champ électrique

^continu

Eon’ a

pas de _compo- sante suivant le vecteur de

propagation

^{u. Nous}

d6composerons

^{le vecteur}

polarisation d’origine piézoélectrique ^{6 : S}

^{suivant u et une direction}

perpendiculaire

^{a u.}

Nous ferons la meme

decomposition

pour les

grandeurs 6lectriques.

^On

peut

alors 6crire en

n6gli- geant

la diffusion des

porteurs :

La

puissance dissip6e

^{est done :}

768

Nous voyons que ^cette

puissance

^est

égale, à

^un

terme en

V.2lC2 pres (v§Jc2 - 10-10),

^a celle que l’on obtiendrait en l’absence de

champ électrique.

L’influence d’un

champ électrique perpendiculaire

a la direction de

propagation

^{est donc}

n6gligeable

sur l’atténuation de l’onde ultrasonore.

3. IMPEDANCE

ELECTRIQUE

^D’UN CRISTAL SEMI- CONDUCTEUR

PIEZOELECTRIQUE.

^- Consid6rons 1’effet d’ondes stationnaires

longitudinales

^{sur l’im-}

p6dance électrique

^d’un barreau semiconducteur

piézoélectrique.

Les extrémités du barreau de lon- gueur 2L ^seront

suppos6es

^libres. Une telle onde

sera de la forme

ou

La variable ici est N. Le

champ électrique

^{se cal-}

culera en

superposant

la contribution de

chaque

onde. Pour les deux

premi6res

la th6orie

prece-

dente

s’applique

^avec

Eo

⁼ 0. Pour les deux der- nieres

qui

^{ne sont} pas des ondes

progressives

^le

champ electrique est simplement

Le vecteur densité de courant se calculera de la meme

façon :

Soit une

impedance électrique

ou R est la resistance de 1’echantillon pour w ⁼ 0.

Ce r6sultat est

identique

a celui trouv6 par d’autres auteurs

[5].

4. Conclusions. ^- La th6orie que ^nous venous de

presenter

^fournit

l’expression

^{exacte du}

champ 6lectrique regnant

^{dans un}

mat6riau ^piézoélec- trique

soumis a la deformation

S. Rappelons

que ^ce r6sultat n’est valable _{que dans}

I’approximation

^des

ph6nom6nes

^lin6aires.

Les lois obtenues pour le

champ

^{et le} courant

électrique permettent

^{comme nous 1’avons}

explique

dans le

paragraphe

^{2 d’évaluer la constante d’att6-}

nuation

quelle que soit

l’orientation du

champ électrique

^constant

Eo

^{et de} la direction de propa-

gation

u par

rapport

^{aux axes} du cristal utilise.

Il est utile de remarquer que le ^vecteur

champ électriqué

n’est pas donne par la relation

simple :

utilis6e dans certaines theories. II suflit de deve-

lopper 1’expression (5)

^{dans un cas}

particulier

pour s’en

persuader.

^Par

exemple

^{dans le cas ou la}

diffusion des

porteurs

^est

négligeabIe

^{et en 1’absence}

champ électrique Eo,

^{il est} ais6 de verifier _{que :}

dans

l’hypothèse

^ou

Le

f acteur 1 -+- 1. L cclw ^pouvant

varier dans de

Jarges limites,

^le

champ d’origine piézoélectrique peut

etre different de 3:

S le.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^HUTSON (A. R.), ^FEE (J. ^H. M.) ^{et WHITE} (D. L.),

Phys.

^Rev. Letters, 1961, 7, ^237.

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[3] ^WHITE (D. L.), ^J. Appl. Physics, 1962,33,2547, [4] ^SPECTOR (H. N.), Phys. Rev., 1962,127,1084.

[5] QUENTIN (G.) et THUILLIER (J. M.), ^{Sol. St.} Com., ¹⁹⁶⁴ 2,115.