Sur la théorie macroscopique des champs

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Sur la théorie macroscopique des champs

J. Mariani

To cite this version:

SUR LA

THÉORIE MACROSCOPIQUE

DES CHAMPS Par J. MARIANI.

Sommaire. 2014 Au lieu d’étudier comme la _{physique classique,} la structure des _systèmes matériels et

d’admettre a _priori la notion de champ, on étudie la nature des transformations _qui décrivent des _systèmes matériels et de celles _qui interviennent en tant que changements de systèmes de _référence; on est ainsi conduit à admettre tout _{d’abord que} ces deux _catégories de transformations doivent être toujours de même

nature et de même _{généralité mathématique,} et ensuite _qu’elles consistent en transformations de contact ou en _changements d’éléments de contact ; un _exemple en est donné concernant l’expansion de l’univers, où

l’on obtient la formule d’accélération de E. A. Milne à partir des _{hypothèses précédentes.}

1. L’univers en

_expansion.

1. Rôle de la théorie des transformations. -C’est la théorie des transformations formant des groupes continus

analytiques qui

doit

_jouer

en

phy-sique théorique

le rôle

_{fondamental ;}

les transforma-tions s’introduisent dans ce domaine de deux manières diiférentes : tout

_d’abord,

elles déterminent l’évolu-tion des

_systèmes

matériels en fonction d’un para-mètre continu par

rapport

à un

_système

de référence

donné ; ensuite,

elles définissent les

_changements

de

systèmes

de référence les

_plus

_généraux

_qui

conservent

la forme fonctionnelle et la

_{signification physique}

des lois

_générales

de la

nature,

c’est-à-dire,

dans le cas _que nous

_étudions,

des lois

_qui

déterminent le

comporte-ment

_mécanique

des

_systèmes

matériels étudiés.

L’importance

de la théorie des transformations se

justifie

par le fait que ce sont les transformations subies _{par les}

_systèmes

et en

_particulier

leur mouve-ment et leur évolution en fonction du

_{temps qui}

appa-raissent directement à l’observation et constituent le contenu des lois de la

_mécanique;

la théorie

_classique

des

_{champs qui agissent}

à distance à

_partir

d’une source

_ponctuelle

et sont

_provoqués

_par la

_présence

de

_charge

et de masse n’est

_{qu’une abstraction,}

des-tinée à ramener l’étude des transformations à celle des

propriétés intrinsèques

des

_systèmes

matériels. En

_principe,

dans la

_{physique classique,}

la théorie des transformations n’intervient directement

_qu’en

tant que les transformations dont il est

_question

con-sistent en

_changements

de

_systèmes

de référence ou,

plus généralement,

en

_changements

de variables per-mettant de _passer d’un observateur à l’autre en

con-servant la forme des lois

_{naturelles ;}

elle

_joue

donc un rôle

_{purement cinématique}

_{(transformations}

de

Lo-rentz, changements

de

_systèmes

de Gauss dans la rela-tivité

_générale)

et ne

_permet

_pas de déterminer d’une manière

_univoque

la forme des lois

_générales

de la

nature ;

il est _{vrai que,} comme nous l’avons fait remarquer

plus haut,

ces lois de la nature

_consistent,

en

_définitive,

à décrire certaines

_catégories

de

trans-formations subies par les

_systèmes

matériels dans des circonstances bien

déterminées, mais,

pour la

physique

classique,

ces transformations n’ont aucun lien avec

celles

_qui

déterminent les

_changements

de

_systèmes

de référence et servent de base au

_principe

de

_{relativité ;}

seule,

la covariance est

_{exigée ;}

de

_pJus,

ce n’est _pas leur étude directe

_qui

intéresse la théorie

_classique,

mais la recherche des

_{propriétés dynamiques}

des sys-tèmes

_{matériels ;}

ces

_{propriétés dynamiques}

consistent en la

_présence

de

_{grandeurs spécifiquement}

phy-siques,

la

_charge,

la _masse,

_{l’énergie,}

attachées d’une manière

_intrinsèque

au

_point

_matériel*

elles

entraînent

la

_production

de

_champs

de forces _par

_lesquels

les

systèmes

s’influencent

_{réciproquement ;}

en tenant

compte

des lois de

_répartition

de ces

_champs

et de la

position

des

_systèmes,

on obtient finalement le

mou-vement observable _{du corps que} l’on

_{étudie ;}

c’est ainsi que

procède

la relativité

_qui

déduit la

trajec-toire et le mouvement du

_point

matériel dans un

_champ

de

_gravitation

de la loi de la

gravitation :

Nous

_laisserons,

au

_contraire,

de côté les

_propriétés

intrinsèques

des

_{systèmes matériels,}

_quitte

à les intro-duire

_{plus tard,}

d’une manière

_indirecte,

et nous

porte-rons notre attention sur la théorie des

transformations ;

une attitude

_analogue

a été

_adoptée

en

_axiomatique

géométrique, quand,

au lieu d’admettre _{que les} axiomes

exprimaient

les

_{propriétés intrinsèques}

des êtres

géo-métriques,

comme la

_ligne

_droite,

le

_plan,

_etc.,

on les

a

regardés

comme des relations entre des êtres de

nature

_largement

_{indéterminée ;}

une attitude du même genre a été

_prise

_{par la relativité}

_restreinte,

_quand,

au lieu de

_regarder

la contraction _{des corps} en

mouve-ment comme une

_{propriété intrinsèque}

de ces _corps, ainsi _{que le} voulait la théorie

_classique,

on a admis que cette contraction était relative et constituait une

pro-priété

du groupe de transformations de

_Lorentz,

_qui

détermine les relations

_{cinématiques}

existant entre

le

_système

de référence

_galiléen

et le

_{système observé ;}

dans notre

_théorie,

nous admettons une

_{généralisation}

de ce

_point

de vue, en ce sens _{que les}

_grandeurs

dyna-miques,

comme _{la masse,}

_{l’énergie,}

le

_champ

ne nous

paraîtront

pas

plus

être des

propriétés

intrinsèques

33

des

_systèmes

_{matériels que leur vitesse} en soi ou la

contraction de

_Lorentz,

_par

_{exemple ;}

les

_propriétés

objectives

exprimées

par les lois de la nature se

rap-porteront

aux transformations et non aux

_systèmes

matériels ;

ce

_point

de vue se

_précisera

_par l’introduc-tion des

_{développements mathématiques}

ultérieurs.

La

_physique

_classique

nous met en

_possession

de deux

_espèces

de transformations

_qui

n’ont entre elles que des liens très lâches : les transformations

qui

régissent

l’évolution des

_systèmes

matériels dans des circonstances

_{déterminées,}

et celles

_qui

décrivent les

changements

de

_systèmes

de

_{référence ;}

notre tâche consistera tout d’abord à définir la nature de la liaison

qui

existe entre

_{elles ;}

nous aurons ensuite à déter-miner la nature des transformations les

_{plus générales}

que nous devons

_introduire,

ce

_qui

nous amènera à discriminer trois domaines distincts : celui de l’échelle

humaine,

le domaine

_atomique

et le domaine

cosmo-logique.

La

_{physique classique}

nous fournit immédiatement la nature de la liaison

cherchée,

dans le cas

privilégié

où les

_systèmes

matériels

_qu’on

observe sont

indépen-dants de tout

_champ

_{extérieur ;}

les transformations

.

qui

décrivent le mouvement de tels

systèmes

forment

un _groupe

_(à

un

_paramètre

variable

_qui

est le

_temps

universel

_t),

le _groupe de Galilée :

les rotations sont _{introduites par} le fait que la

con-nexion affine n’est pas

univoquement

déterminée par la loi de l’inertie

_(1);

cette

_dernière,

conformément à

nos

_conceptions,

ne doit _{pas être}

_regardée

comme

exprimant

une

_{propriété intrinsèque}

de la

matière,

mais une

_propriété

de la théorie des

transformations ;

en

_effet,

ce sont encore les mêmes transformations

₍₂₎

qui

servent à décrire les

_changements

de

_systèmes

de référence «

équivalents

_{» ; ;} il existe donc bien dans ce cas

_privilégié

un _groupe de transformations dont les substitutions

peuvent

être

_regardées

tout à tour

comme

_exprimant

les mouvements libres ou les

chan-gements

de

_systèmes

de référence

_qui

conservent la forme des

_équations

du _groupe.

Ces

_propriétés

sont

_{caractéristiques}

_{des espaces} à groupe fondamental au sens _que

Sophus

Lie et Félix Klein

₍₂₎

ont donné à cette

_{expression ; l’espace}

de la

physique

newtonienne,

en l’absence de

_champ,

est

donc un _espace à _groupe

fondamental ;

de là vient tout de suite l’idée d’effectuer une

_{généralisation}

de

cette

_{dernière ;}

_{il y} a des groupes fondamentaux à caractère

_{beaucoup plus}

_général

_{que le groupe des} translations

_{newtoniennes ;}

ils

_peuvent

servir de la même manière à

_exprimer

un mouvement

_d’inertie,

(1) Voir E. CARTAN. Les variétés à connexion affine et la relativité _{généralisée.} An. Ec. Norm. Sup., 1923.

(2) F. KLEIN. Erlanger Programm. trad. _franç. Padé-Ann. Ec.

Nornz. _Sup., 1891, p. 87.

en

_prenant

_{le sous-groupe le}

_{plus général}

à un para-mètre du groupe fondamental

donné ;

ce mouvement est bien un mouvement

_d’inertie,

car il ne

_requiert

nullement pour s’exercer l’intervention de la notion de force.

Les

_changements

de

_systèmes

de référence

équiva-lents sont définis par le

principe

de

_{relativité ;}

ce der-nier est donc indissolublement lié au

_principe

de

l’inertie,

et l’ensemble de ces deux

_principes

constitue une seule

_{proposition, qui}

détermine la nature

mathé-matique

du groupe

qui opère

sur le monde

_physique.

Ce formalisme

_simple

de la

_physique

newtonienne ne subsiste

_plus

dans les conditions où l’on est

_obligé

d’introduire la notion de

_champ

_{extérieur ;}

on admet

implicitement

par ce fait que la notion de transfor-mation

_{géométrique}

est

_impuissante

à rendre

_compte

des

_{phénomènes qui}

se

_passent

dans l’univers

phy-sique ;

le

_principe

de l’inertie n’est

_plus

_{vérifié ;}

au

contraire,

le

_principe

de relativité reste

_toujours

valable,

ce

_qui

fait _que l’identité des tansformations

qui régissent

les mouvements avec celles

_qui

décrivent

les

_changements

de

_systèmes

de référence n’est

_plus

conservée.

Au

_contraire,

_rejetant

l’introduction des

_grandeurs

dynamiques,

nous admettrons _{que les} transformations

appliquées

aux

_systèmes

sont

_toujours

de nature

géo-métrique

et conformes à la loi d’inertie.

Nous _supposerons

_ainsi,

dans tous les cas, l’identité de nature des transformations

_qui

décrivent les

chan-gements

de

_systèmes

de référence et des transforma-tions

_qui

décrivent les mouvements

_{libres ;}

la loi d’inertie se trouve donc

_{généralisée,}

_{par l’introduction} de groupes

plus

généraux

que le groupe des transla-tions.

Cette identité de nature entre les

_{transformations qui}

décrivent les mouvements et celles

_qui

_définissent

les

changements

de

_systèmes

de

_référence

_exprimera

notre

premier

axiome

_fondamental

et déterminera le rôle

_joué

par la

notion de

_{transformation}

dans notre théorie. 2.

_{Spécification}

de la nature des transfor-mations

_opérant

sur l’univers

_physique.

-Il nous

faut déterminer la nature des transformations dont il

a été

_{question plus haut ;}

la

physique

newtonienne

admettait que ces transformations se réduisent au groupe de

Galilée-Euclide ;

comme Einstein en rela-tivité

_générale,

nous devons _{admettre que l’existence} des

_champs

de force

_peut

être

_remplacée

_par l’intro-duction de _groupes

_plus

_généraux

_{que le groupe de}

Galilée ;

ce dernier admet le maximum de notions et

de

_propositions

_invariantes,

c’est-à-dire

ayant

une

signification

objective ;

au fur et à mesure _que nous

généralisons

nos _{groupes, le} nombre de ces invariants

décroit ;

nous devons admettre _{que le groupe}

_qui

convient dans un certain domaine est celui

_qui

admet un très

_petit

nombre de ces notions et

_propositions

objectives.

Si nous admettons _que la notion de

_point

n’est

pas un

invariant,

c’est-à-dire _{que la} structure ponc-tuelle des

_systèmes

n’a aucune

_{signification objective}

et si nous cherchons

_quelle

est la

_{catégorie générale}

de transformations

_qui

_permettent

de transformer les

points

d’une manière

_biunivoque

en

_{multiplicités}

ponctuelles

quelconques

(avec

les conditions de

déri-vabilité)

nous trouvons _{que les} transformations

requises

sont les transformations de contact définies par les

équations :

et la nécessité de satisfaire à :

les _{pi sont} des coefficients

_qui

déterminent une direc-tion au

_{point qi}

_{(1) ;}

l’univers est un ensemble

d’élé-ments de contact et ne

_peut

être

regardé

_{que par} abstraction comme une

_{multiplicité}

ponctuelle ;

une

vérification de cette

_hypothèse

est constituée par le rôle

_joué

_{par le}

_temps

et la vitesse d’univers en

rela-tivité ;

un

_point

matériel est déterminé _par sa

_position

spatio-temporelle

et sa

_quantité

de mouvement pi = _{m. cui}

qui, m

mis à

_part

pour le

moment,

déter-mine une direction

_{d’univers ;}

la vitesse d’univers de

composantes

ne

_peut

en aucun cas

_s’annuler,

_puisque,

même si les

composantes

de la vitesse ordinaire _{vx, sont}

_nulles,

la

composante

de

_temps

se réduit à c ; elle est

_toujours

positive

et

_{plus grande}

_{que c ;} le vecteur direction ne

peut

donc s’annuler en aucun _cas, si bien que la notion

de

_{point géométrique}

reste une

_{abstraction, privée}

de

sens

_physique.

Les transformations de contact sont caractérisées par une fonction

_directrice,

_{qui peut}

être

_{interprétée}

physiquement

comme une surface de

_phase,

_{et par}

une fonction

_{caractéristique H (p,}

_{q), qui}

est reliée à

là transformation infinitésimale

du _groupe par la relation :

c’est _{elle que} la

_physique

utilise comme fonction de

Hamilton ;

faisons un choix de variables

_{p2, qi ;}

les transformations

_opérant

sur ces dernières _{étant par}

hypothèse

de la forme

₍₃₎

satisfaisant à

_(4),

on

obtient,

en raison de notre

_proposition

_{fondamentale,}

les

équa-(1) S. LIE. Theorie der _{Transformations gruppen,} Teubner, Leipzig, 1890, t. Il., p. lls.

VIVANTE. Leçons sur la théorie des groupes, G. Villars, p. 212.

tions du mouvement en

exprimant

(3)

en fonction d’un

_paramètre

_{S ;}

les

_équations

différentielles du

mou-vement sont les

_{équations canoniques :}

qui

ont ainsi une

_{signification}

_purement

_{géométrique.}

On sait que la

mécanique analytique classique

rentre

bien dans ce schéma

_{général ;}

la forme

générale

de ses

équations

est _{donnée par}

₍₆₎

et elle est bien invariante vis-à-vis des transformations de contact

_(3,

_{4) ; mais,}

une transformation de contact arbitraire ne conserve

pas, en

_général,

la forme fonctionnelle de l’ Hamil-tonien

_{H ;}

c’est ce fait

_{mathématique}

_que nous

ex-primons physiquement

en disant _que la structure du

système

physique

dont l’évolution est décrite _par

₍₆₎

est _{modifiée par}

_{l’application}

d’une telle transfor-mation.

Revenons au mouvement d’un

_point

matériel et comparons cette méthode à celle

d’Einstein ;

notre

hypothèse

est _que c’est notre

_{géométrisation}

de la

dynamique qu’il

faut

_prendre

comme base de la

géo-métrisation de l’univers

_physique,

et non la

géomé-trisation du

_champ

de

_gravitation,

comme

_{Einstein ;}

pour le

moment,

la forme fonctionnelle de H est

indé-terminée,

ou

_plutôt,

ce n’est pas un invariant du groupe de transformations de

_contact,

si ce _groupe

_{(3, 4)}

est

un _groupe

_infini,

les

_f

et les yi étant

arbitraires ;

dans

ce cas

_général,

la structure

_dynamique

_intrinsèque

des

_systèmes

_matériels,

dont on _{suppose par} définition que l’état est à

chaque

instant défini par un

_système

de valeurs des _pi et des n’a aucune

_{signification}

physique

et la notion de

_champ

perd

sa

_{signification,}

puisque

les lois de distribution des

_champs

ont _pour but de fixer la forme fonctionnelle invariante de l’Hamiltonien.

La fonction

_{géométrique caractéristique}

H est liée à l’Hamiltonien

_physique

_{W que} nous _supposons

exprimer

la

_grandeur

de

_{l’impulsion}

d’univers

_(en

relativité,

d’une manière très

_{simple ;}

la fonction directrice :

dépend

d’un certain nombre de constantes _a1... an

_et,

en

_particulier,

de la constante additive

_{C ; rappelons}

qu’elle peut

être

_regardée

comme surface de

_phase

et

qu’elle

est liée à l’action Hamiltonienne _par la rela-tion de de

_{Brolie : S}

g

= h

_F;

faisant varier

arbi-2 ’

35

avec la condition de Pfaff :

une telle

transformation,

appliquée

à une transfor-mation de contact infinitésimale de fonction

caracté-ristique W, change

cette dernière en

_{p W,}

où p est la

fonction

_{qui figure}

dans

_{(9) ;}

les transformations

physiquement applicables

sont les transformations restreintes non

_homogènes,

dans

_lesquelles

les fonc-tions

f

et

_(pi

ne

_dépendent

_{pas de z ;} il en _{résulte que p}

est une constante

_{(1) :}

p =

A ;

W est

multiplié

par une

_{constante ;}

au

_point

de vue

_physique,

à l’échelle

humaine,

les transformations

_qui

décrivent les

mou-vements d’un

_système

sont les transformations de contact _pour

_{lesquelles A}

= 1

₍₉

se réduit à

_{4) ;}

le

passage d’un

système

à un autre

_ayant

le même nombre de

_degrés

de liberté

_s’exprime

_{par les transformations} restreintes

_{précédentes ;}

de

_même,

_{le passage d’un}

point

matériel à

_{l’autre ;}

introduisant une constante universelle

_mO,

on obtient toutes les autres détermi-nations de la masse _{par la relation :}

à l’échelle

_atomique,

il est

_possible

_que de telles

trans-formations

_jouent

un rôle dans l’évolution d’une même

particule

en

_changeant

sa masse _{propre. Ce}

_point

de vue sera

_développé

dans un

prochain

_{exposé (2).}

3. Une théorie de l’univers en

_expansion.

-Il semble que la méthode

permettant

de donner des théories valables dans un certain domaine

_puisse

être

basée sur les considérations suivantes : à l’échelle

humaine,

dans le domaine où les théories

_classiques

sont

_valables,

l’univers

_physique

_peut

être

_regardé

comme constitué par un ensemble de

_systèmes

maté-riels caractérisés par un faisceau de

_propriétés

intrin-sèques,

caractéristiques

et immuables : leur

_charge

et

leur _masse, sources des

_champs

dont les lois de

distri-bution sont fixées une fois pour

_toutes,

indépendam-ment de toute

_opération

de mesure, leur

configuration

géométrique spatio-temporelle,

leur fonction de Hamil-ton

_qui

détermine leur structure

_dynamique

(oscilla-teur

_{harmonique, système planétaire,}

_{etc.) ;}

les

trans-formations

_qui

décrivent l’évolution de tels

_systèmes

ainsi _que les

_changements

de variables les

_plus

géné-raux doivent être

_compatibles

avec ces

_exigences,

et

appartiennent

ainsi à une famille bien

définie;

c’est ce

_qui

se _passe en relativité

générale

où les transfor-mations

_canoniques

admettent la fonction

caracté-ristique

invariante fonctionnellement et

numérique-ment :

(1) S. LIE. Théorie des Gruppentransformations, t. II., p. 125.

Teubner, Leipzig, 1890.

(2) Naturellement, on doit alors remplacer les transformations de contact par leurs analogues quantiques définies par les fonc-tions de transformafonc-tions x _{(pi, qi) (p. 9).}

Mais

_lorsque

l’on s’écarte du domaine

_humain,

ces restrictions ne

_{peuvent plus}

être

justifiées,

car

l’exis-tence de telles

_propriétés

_{intrinsèques}

caractérisant les

_systèmes

matériels comme des

_objets

existant

« en soi » ne

_peut

être

_justifiée

au delà de ce

_{domaine ;}

en

_particulier,

la notion

d’objet

ou de substance en soi doit subir un échec sur deux

_{points principaux :}

le

_premier

se

_présente

à l’échelle

_atomique,

où

_l’emploi

des transformations de contact n’est

_{plus justifié}

par le fait de

_{l’apparition}

des

_phénomènes

de diffraction

(1) ;

le second a lieu dans la théorie

_cosmologique

de

l’uni-vers où il

_s’agit

de décrire la

_{représentation}

_que pour-rait avoir de cet univers un

_{superobservateur}

_pour

lequel

les nébuleuses

_spirales

se réduiraient à des

points ;

comme cet univers constitue un

_{système clos,}

il réaliserait

_{l’image parfaite}

de

_l’objet

_isolé,

et

cha-cune de ses

propriétés

serait une

_propriété

« en soi _{7~ ; ;} il aurait ainsi une certaine

courbure,

une certaine

géométrie,

se

composerait

d’un certain nombre de

particules,

aurait

_pris

naissance de telle ou telle

ma-nière ;

cette idée est

_inexacte,

si l’on admet _que les notions

_d’objet

et

_{d’objectivité}

sont douées de

signi-fications seulement à l’échelle

_{humaine ;}

ce n’est _que

parce

qu’à

cette

_échelle,

nous étudions de

_petits

sys-tèmes relativement

_éloignés

les uns des autres et

d’interactions assez faibles _que la _croyance en

l’exis-tence des

_objets

en soi a _{pu être}

_soutenue;

mais aucune

extrapolation

de cette notion n’est

_{permise ;}

c’est parce

qu’en définitive,

toutes nos

expériences

abou-tissent à des résultats constatables à l’échelle humaine

qu’une physique théorique objective applicable

aux

domaines

_éloignés

de l’échelle humaine

_peut

se

consti-tuer.

L’interprétation

correcte de ce _que l’on a coutume

d’appeler

le

_{« principe}

de Mach »

_{d’après lequel}

l’inertie ne

_peut

être

_regardée

comme une

_propriété

« en soi »

des corps matériels ne consiste _pas, comme l’ont cru

beaucoup

de

_physiciens

_{relativistes,}

et,

en

particulier

Eddington,

à _{admettre que} les

_{propriétés dynamiques}

des corps sont conditionnées par l’ensemble des corps de l’univers ce

qui

conduit à des calculs

inextricables,

mais

_qu’elles

sont

_relatives,

au même _{titre que la} notion de vitesse ou celle de contraction de

_Lorentz,

c’est-à-dire

_qu’elles

ne

_peuvent

s’exprimer

_que

lors-qu’on dispose

d’un instrument de mesure et d’un sys-tème

_{observé ;}

elles caractérisent les

_opérations

du groupe

géométrique

que l’on effectue au _{moyen de}

puscules

à l’échelle

_{atomique ;}

l’un de ces

_phénomènes

est

_{l’expansion ;}

il a été _{lié par Einstein à} sa théorie

de la

_gravitation,

c’est-à-dire à un modèle donné fixant la structure

_{géométrique}

de

_{l’univers ;}

un

_grand

nombre de

_{représentations}

de l’univers ont été don-nées sur ces bases entre _{autres par}

_{Einstein, Lemaître,}

Heckmann,

mais le fait

_{caractéristique}

est _que l’on

ne

_possède

aucun critérium

_permettant

de décider pour l’un ou _{pour l’autre} de ces

_{modèles ; d’après}

notre

_principe

de

_{subjectivité (1),}

ce critère ne doit pas

exister,

et tous ces modèles ne sont

_{qu’approchés;}

des idées

_analogues

aux nôtres ont été _{émises par} E. A.

_Milne,

_qui

a fait une

_critique

serrée des diff

é-rentes

_{représentations}

de l’univers et est

_parti

de

conceptions

différentes

_{(2) ;}

il _{n’est pas}

_possible

_que l’univers rentre dans l’une des

_{catégories enregistrées}

par Robertson

(3), si

la validité de la notion

d’objet

ne s’étend pas au delà de l’échelle

humaine ;

en

parti-culier,

la constante

_cosmique

et la courbure doivent être indéterminées : de graves

critiques peuvent

être adressées au modèle de Lemaître

(4), qui

_part

d’un univers d’Einstein en

_expansion

_{pour aboutir} à un univers de de

_{Sitter ;}

la

_plupart

des causes

_susceptibles

de provoquer une

_rupture

d’équilibre

de l’univers

d’Einstein,

entre autres la destruction de la matière et sa transformation en

_rayonnement

conduisent à une contraction et non à une

dilatation;

la formation de condensations locales dans l’univers serait

impuis-sante à détruire

_{l’équilibre,}

à _{moins que la}

_pression

à la zone neutre ne soit pas

_{nulle ;}

mais on ne

_comprend

pas

pourquoi

cette

_pression

ne serait pas

_{nulle ;}

en

effet,

le _processus de condensation se

_développe

autour

de

_{chaque centre ;}

ce dernier est entouré d’une zone

neutre,

lieu des

_points

_qui

ne sont _pas sous l’influence

des deux condensations

_qu’il

_{sépare ;}

on ne voit pas

pourquoi

la somme

_algébrique

des deux

_échanges

d’énergie

entre les deux condensations ne serait pas nulle à travers la surface

_{neutre ;}

et _encore, même dans

ce _cas, on est conduit à une

_{contraction ; enfin,}

les

causes de

_rupture

_{d’équilibre}

_{invoquées paraissent}

tout à fait artificielles.

Ce _que

_{l’expérience}

nous

_apprend

c’est _{que la vitesse}

des nébuleuses

_spirales

est

_régie

_par la loi de Hubble :

où k est une fonction du

_{temps ;}

cette vitesse ne

_dépend

donc pas de la nébuleuse

_{considérée,}

et n’est

_fonction,

à un instant

_donné,

_{que de la} distance à

_laquelle

cette

nébuleuse se tiouve de _{nous ;}

_{effectivement,}

l’obser-(1) Ce _principe a _déjà été énoncé dans _l’exposé « Sur la

signi-fication _physique des groupes de transformations », J. de _Phys.,

mai, 1932, série VII, t. 3, n° 5, p. 219-224.

(2) RelatÙ’Úy, Gravitation and World Structure, Oxford, Cla-rondon Press, 1935.

(3) Review _of l’tlodern _Physics, 1933, oI. 5 ; Relatiçistic

Cos-rnology, p. 62.

(4 ) L’univers en _expansion. An. de la Soc. Scient. de Bruxelles, 1933, série :~, t. LIII, p. 51-85.

vation

_astronomique

montre

_{qu’à chaque}

instant la loi

(11)

est _{vérifiée pour} l’ensemble des nébuleuses

observables ;

la distribution de ces nébuleuses conduit à admettre _que

_lorsque

une même nébuleuse

_s’éloigne

de nous au cours du

_temps,

sa vitesse croît

_également

proportionnellement

à la distance.

Nous allons nous _occuper tout d’abord de

_l’aspect

purement géométrique

du

_phénomène,

dans

_l’espace

tri-dimensionnel ;

les nébuleuses de même vitesse sont

situées,

à l’instant

considéré t,

donné _par une

_horloge

invariable liée à un observateur A

_qui

_opère

comme

s’il était dans

_l’espace

_euclidien,

sur la surface d’une même

_sphère

_{de rayon} r l’échelle

_adoptée

étant telle que les nébuleuses

_spirales

soient assimi-lables à des

_{points matériels,}

ces dernières sont sans

interactions

_{appréciables}

les unes sur les

_{autres ;}

l’observateur A

_apparaît

comme le centre des

diffé-rentes

_sphères

liées

_{respectivement}

aux différentes valeurs de la distance

et,

par

conséquent,

de la

vitesse v ;

la distribution à l’instant t des nébuleuses

est donc

_{indépendante}

de leur masse _propre et de toutes leurs autres

_{caractéristiques}

_{physiques ;}

c’est

ce

_qui

rend

_possible

une

_{description purement}

géo-métrique

du

_{phénomène, indépendamment}

de l’inter-vention de la

_gravitation.

La théorie des transformations de contact

_permet

d’interpréter

très

_simplement

cette _{apparence du}

phénomène

à un instant donné

quelconque ;

l’hypo-thèse fondamentale consiste alors naturellement dans la non-invariance de la notion de

_{point, qui peut}

être transformée en une

_{multiplicité}

_{géométrique}

quel-conque.

Soient alors

_{xo, yo,}

zo les coordonnées du

_{point unique}

d’où les nébuleuses

_{spirales paraissent}

être

_issues,

pour l’observateur

A ;

ce dernier

_applique

les

_règles

de la

_géométrie

euclidienne et trouve _{que les} nébu-leuses de vitesse v

_sont,

à l’instant _t, sur la surface

sphérique d’équation :

en coordonnées cartésiennes

rectangulaires ;

l’équa-tion

_précédente

établit une

_{correspondance}

entre le

point (xo, yo,

et la

_{sphère S ;}

cette

_{correspondance}

n’est autre _{que la transformation de} contact

_appelée

« dilatation »

qui

associe les

sphères

aux

_points

dans

l’espace

ordinaire ;

la

_{description géométrique}

de l’état de l’univers à l’instant t _par l’observateur A s’effectue ainsi au _{moyen d’un groupe} à un

_paramètra

de

_dilatations,

le

_paramètre

_{étant le rayon r des} diverses

_{sphères concentriques ;}

r

_ayant

une valeur

37

pi dxi =

Pio

dxoi

avec

_{+ P22}

+

pg2

=== 1

_14>

qui

donne les

_équations

de la transformation

_générale

du groupe :

la fonction

_{caractéristique}

ou fonction de Hamilton

est :

le groupe à un

_paramètre

r

₍₁₅₎

est _{défini par les}

équa-tions

_{canoniques :}

les pi =

px, py, pz sont des constantes

_{qui expriment}

l’invariabilité de la

_{direction ;}

aucune indication n’est

donnée sur la vitesse et sur les

_grandeurs

où inter-vient le

_temps,

la

_{représentation}

étant

_purement

géo-métrique tri-dimensionnelle ;

nous _{supposons que le}

groupe

(15)

est le même _pour tous les

_{observateurs ;}

chacun des

_points

de

_l’espace

est donc associé à une

surface

_sphérique

ou

_plutôt

à une famille à un para-mètre de telles surfaces.

Nous avons maintenant à décrire

_{l’apparence}

ciné-matique

du

_phénomène,

c’est-à-dire le mouvement des nébuleuses

_{spirales ; d’après}

notre

_point

de _vue, c’est le même groupe de transformations

_qui

doit décrire ce mouvement en fonction du

_{temps ;}

de cette

manière,

le groupe

cinématique

sera un _groupe de

dilatations,

avec comme

_paramètre

le

_{temps t}

mesuré par l’observateur

A ;

pour une

_particule

_donnée,

un tel groupe a la forme :

les vi sont les

_composantes

de la vitesse

_{ordinaire ;}

on

_peut

écrire

₍₁₈₎

sous la forme

_{spatio-temporelle :}

dont la fonction de Hamilton est :

et

_{l’équation}

directrice :

c’est donc un _groupe de dilatations

_d’univers,

_qui

se réduit à un _{groupe de translations d’univers pour} une

particule

de vitesse initiale

_{donnée ;}

on

_peut

décrire le _groupe

(18)

en fonction de l’accroissement du rayon r ; si r est un

_paramètre

_canonique,

c’est-à-dire

additif,

et si l’on a

_{r = f (t),}

on aura r + r’ =

f (t

+

t’),

le

temps

étant

_supposé

aussi être un

_paramètre

cano-nique ;

on a donc : r = At ₊

B,

A et B étant des

constantes ;

le groupe

(18)

est donc un _{groupe de}

trans-lations

_rectilignes

et uniformes dans une direction

donnée ;

mais ce résultat ne

_peut

avoir

_qu’une

validité

approximative ;

en

_effet,

_posant,

_par un choix

conve-nable de la constante B :

où t° est l’instant

initial,

on voit _{que pour}

_(t

-

t°)

fixé,

la vitesse v des différentes nébuleuses est bien

proportionnelle

à r, en _{sorte que le groupe} traduit bien

_{l’apparence}

des

_phénomènes

à un instant

_donné;

mais _comme, en raison de nos

_hypothèses,

l’évolu-tion d’une nébuleuse donnée au cours du

_temps

doit être telle _que sa vitesse soit

_{proportionnelle}

à la

dis-tance,

de manière à ce _que la nébuleuse _parvenue sur la surface

_sphérique

de _rayon r, y

possède

la même vitesse v que les nébuleuses

_qui

se trouvaient

à cette distance de

_{l’observateur,}

à l’instant

_(t

-

to)

considéré;

cette condition ne

_peut

_{être réalisée que si} le mouvement de chacune des nébuleuses est

conve-nablement accéléré.

v doit donc évoluer au cours du

_temps

de manière à ce _{que le groupe} d’évolution donne la même distri-bution des vitesses _{que le groupe}

_qui

décrit la

réparti-tion des nébuleuses à un instant donné.

(Il

en est ainsi en ce

_qui

concerne l’évolution des

étoiles,

une même étoile étant

_supposée

_passer

succes-sivement _par les différents stades

_auxquels

se trouvent actuellement les différentes

_étoiles.)

En d’autres

termes,

l’observateur A observe que le

mouvement des diverses nébuleuses

_spirales

considéré

pendant

un intervalle de

_temps

suffisamment

_petit

est

conforme au _{groupe de} Galilée

(18),

où les vi sont des

constantes ;

le _{groupe de Galilée} est donc

rigoureuse-ment

_applicable

à ces mouvements à un instant donné

(il

est

_tangent

au mouvement

_réel),

_quelle

_{que soit} la nébuleuse

_observée,

_{pour l’ensemble des}

_nébuleuses,

puisque

c’est le même _{groupe de} transformations de

contact

₍₁₅₎

_qui

décrit la

_position

de cet

_{ensemble ;}

il en résulte que, dans ces

_conditions,

la valeur de la vitesse de chacune des nébuleuses

_spirales

est donnée

rigoureusement

par la loi de Hubble

(22) ;

cette con-clusion est valable

_quel

que soit l’instant

(t

-

t°)

consi-déré ;

par

conséquent,

l’expression

ç - -

reste

(t -

t°)

1 Les variations simultanées dt

et dr du

_temps

et de

la

distance _pour une même nébuleuse

spirale

doivent donc être _{telles que}

_{l’équation (18),}

_{pour t}

_fixé,

soit une solution

particulière

de

l’équation qui

donne

l’accélération ;

partons

de

₍₂₁₎

en

_{posant to}

_{= 0,}

nous

obtenons

(vectoriellement)

dans

_l’espace

ordinaire _pour l’observateur A :

on met

_{explicitement}

cette

_équation

sous une forme

invariante vis-à-vis des transformations de Lorentz par un

_{simple changement}

de

_{variables ;}

on _{pose :}

d’où:

’"

-

Introduisons la fonction Y de v par la relation : -.

de

_même,

substituons à s la fonction X de t et _{de r par}

la formule :

dans

ces conditions

₍₂₂₎

s’écrit sous la forme :

or, on sait que E. A. Milne a _{donné pour}

_{l’expression}

de l’accélération dans l’univers en

_expansion

la for-mule

_suivante,

_qui

est fondamentale dans sa théorie

_(l):

(1) Relaiivity, Gravitation and World Structure, Clarendon Press, Oxford, 1935, p. 95.

dans le cas étudié _{par nous, où} les nébuleuses

_spirales

se réduisent à des

_points

sans

interaction,

il démontre la formule

(1) :

ce

_{qui permet}

effectivement d’identifier

₍₂₇₎

et

_{(26) ;}

le facteur ~ est une variable de direction

_qui

est

égale

à :

s u

étant

_l’angle

_{que fait la vitesse d’univers}

avec

la

trajectoire

d’univers,

et ne

_joue

effectivement aucun

rôle dans le cas

_simplifié

_que nous

_envisageons,

cas

qui

est celui du «

_système

_cinématique

» de Milne.

En faisant le

_changement

de

_paramètre

_{donné par}

M’l d

1" d 1"

l.. 1 h d

Milne :

d - a2

et lui associant le

_changement

de

t _o g

variables : r

= t-

_R,

on ramène effectivement

₍₂₂₎

to

d

ou

₍₂₆₎

₎

à la forme

_{galiléenne :}

_g

d 2 R =

_0;

c’est un cas

d 2 a

particulier

d’un théorème

_{plus général d’après lequel}

les

_équations

_{du second ordre n’ont pas d’invariants} pour les transformations de contact et

peuvent

être ramenées d’une infinité de manières à une forme donnée.

En

_résumé,

le

_phénomène

de

_{l’expansion}

de l’uni-vers n’est sans _{doute pas lié} à une structure

géomé-trique univoque

de cet univers considéré dans son

ensemble,

comme le croient les

relativistes,

mais il

semble,

au

_contraire,

nous

_assigner

les limites dans

lesquelles

nous _pouvons

_parler

d’un univers

_objectif.

Il

_paraîtrait

donc

_apporter

une confirmation de notre

principe

fondamental sur

_{l’application}

de la théorie des transformations à l’univers

_physique.

Manuscrit reçu le 15 octobre 1938.

(1) On the f oundations of dynamics, Proc. _Royal Soc. Lond. 1936,

vol. 154, p. 25 ; voir _{également Lewis,} Phil. _{Mag. 1935,} vol. 20, >