Systèmes matériels

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SYSTÈMES MATÉRIELS I) Centre de masse (ou centre d'inertie) d'un système.

C'est le barycentre des points matériels M_i formant le système, pondérés par leur masse m_i: Σm_iOG=MOG=Σm_iOM_i ou Σm_iGM_i= 0

II) Référentiel propre d'un système relatif à un référentiel (R).

C'est un référentiel (R*) en translation par rapport à (R) avec la vitesse v_G du centre de masse du système.

Dans ce référentiel v_i^*= v_i−v_G avec évidemment v_G^* = 0.

Par simplicité, on choisit souvent l'origine O* en G et les axes de (R*) parallèles à ceux de (R).

III) Quantité de mouvement totale.

1 .Définition :

P =Σm_iv_i=Σm_idOM_i dt = d

dtΣm_iOM_i= d

dtMOG ⇒ P=Mv_G 2 . Dans le référentiel propre (R*):

P^*=Σm_iv_i^*=Σm_iv_i−Σmiv_G ⇒ P^*= 0 ou bien P^*=Σm_idO^*M_i

dt =Σm_idO^*G

dt Σm_idGM_i dt = d

dtΣm_iGM_i= 0.

IV) Relation fondamentale.

1 .Postulat de l ' action et de la réaction:

La RFD est suffisante pour étudier le mouvement d'un point matériel f_B mais pour un système il faut admettre un postulat supplémentaire:

Deux points matériels A et B exercent l'un sur l'autre des forces

égales et opposées, portées par la droite passant par les 2 points: f_A

f_A=−f_B f_A∧AB= 0

2 . Relation fondamentale de la dynamique des systèmes. Dans (R) galiléen, pour chaque point M_i:f_i=dp_i

dt  Σdp_i dt = d

dtΣp_i. Donc Σf_i= dP

dt =Ma_G et aussi Σf_i=Σf_i,intΣf_{i ,ext} avec Σf_{i, int}= 0 d'après le postulat précédent.

On en déduit Σf_{i ,ext}= F_ext=Ma_G.

Enoncé: le mouvement du centre de masse d'un système matériel quelconque est celui d'un point matériel ayant la masse totale du système et soumis à la résultante des forces extérieures agissant sur le système.

Exemples:

3 . Cas d ' un système isolé. Si F_ext= 0 alors dP

dt =Ma_G= 0 ⇒ v_G est un vecteur constant.

Le mouvement du centre de masse est donc rectiligne et uniforme et la quantité de mouvement totale du système est constante; le référentiel propre (R*) est galiléen.

A

B

2 IV) Moment cinétique total .

1 . Définitions.

Dans un référentiel (R) quelconque: L_A=ΣL_iA=ΣAM_i∧p_i.

Dans le référentiel propre R^*: L^*_A=ΣAM_i∧p_i^*ou bien en un autre point B, L^*_B=ΣBM_i∧p_i^*. Or BM_i= BAAM_i ⇒ L_B^*= BA∧Σp_i^*ΣAM_i∧p_i^*= L^*_A.

Donc dansR^*,L^* est indépendant du point où on le calcule.

Il est commode de choisir le centre de masse G d'où L^*=ΣGM_i∧p_i^*. 2 . Relation entre L et L^*: théorème de König.

p_i= p_i^*m_iv_G ⇒ L_A=ΣAM_i∧p_i^*m_iv_G = L^*





3. Théorème fondamental. dL_A

dt =ΣdAM_i

dt ∧p_iΣAM_i∧dp_i

dt =ΣdAO

dt ∧p_iΣdOM_i

dt ∧p_iΣAM_i∧dp_i dt . dL_A

dt = −v_A∧ PΣAM_i∧dp_i

dt avec siRest galiléen: dp_i

dt = f_i= f_{i, int}f_{i ,ext}. Or ΣAM_i∧f_{i, int}= 0 car les forces intérieures sont deux à deux opposées.

En effet, pour un couple de points M₁ et M₂en interaction : f₂ MAf₁ =AM₁∧f₁ et MAf₂ =AM₂∧f₂.

MAf₁ MAf₂ = AM₁−AM₂∧f₁=M₁M₂∧f₁= 0 . f₁ D'où la propriété énoncée précédemment: ΣAM_i∧f_{i, int}= 0.

Il ne reste que le moment résultant des forces extérieures: ΣAM_i∧f_i,ext= MA, ext. Pour un point A quelconque, la relation peut donc s'écrire: dL_A

dt = −v_A∧ P MA, ext. Si le point A est fixe dans (R) galiléen: dL_A

dt = MA,ext théorème fondamental

Si le point A est le point G (mobile en général), le théorème reste valable:

v_G∧ P= v_G∧Mv_G= 0 ⇒ dL_G

dt = MG ,ext=dL^* dt

Le théorème s'applique donc au point G bien qu'il ne soit pas fixe en général et s'applique également dans (R*) qui n'est pas galiléen, son mouvement dans (R) étant généralement une translation quelconque et non une translation rectiligne uniforme.

L'étude du mouvement d'un système se fera en utilisant successivement les deux relations fondamentales:

•Etude du mouvement du centre de masse avec la RFD: Ma_G= F_ext. •Etude du mouvement dans le référentiel propre avec: dL_G

dt = MG, ext=dL^* dt . M₁

A M₂