INTERACTIONS ÉLECTRON-IMPULSION DE CHALEUR DANS LES SEMICONDUCTEURS

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INTERACTIONS ÉLECTRON-IMPULSION DE CHALEUR DANS LES SEMICONDUCTEURS

A. Zylbersztejn

To cite this version:

A. Zylbersztejn. INTERACTIONS ÉLECTRON-IMPULSION DE CHALEUR DANS LES SEMICONDUCTEURS. Journal de Physique Colloques, 1972, 33 (C4), pp.C4-85-C4-89.

�10.1051/jphyscol:1972418�. �jpa-00215095�

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INTERACTIONS ELECTRON-IMPUL SION DE CHALEUR DANS LES SEMICONDUCTEURS

A. ZYLBERSZTEJN

Groupe de Physique des Solides de I'ENS Tour 23, 11 quai Saint-Bernard, Paris 5 e , France

RBsumB.

-

On montre comment la technique des impulsions de chaleur se r6vitIe utilisable pour Btudier le couplage par potentiel de deformation. On discute en premier lieu une experience de propagation dans n-InSb, ou I'on observe une forte attenuation du mode L dans les Cchantillons d o e , alors que les modes transverses ne sont pas affect&. Ces observations sont liees aux pro- prietes de base de I'interaction electron-phonon. On discute ensuite l'amplification des phonons thermiques par un gaz d'6lectrons anime d'une vitesse de derive superieure a la vitesse du son.

On calcule un gain superieur a 50 dB/cm a ¹⁰¹¹Hz dans le Germanium n. On discute finalernent une ex+rience d'irnpulsion de chaleur dans le Germanium do* a I'hntimoine, en presence d'une contrainte uniaxe. Le mecanisme d'attenuation preponderant fait intervenir une interaction rbonnante des phonons avec les electrons lies.

Abstract. - Heat pulses are shown to be useful for studying deformation potential coupling in semiconductors. We first discuss a propagation experiment in n-XnSb. A strong attenuation of the L phonon pulse is observed in the more doped samples, whereas the transverse pulses are unaffected. Both these observations are related to basic properties of the electron-phonon interaction. We next discuss the amplification of thermal phonons by drifting supersonic electrons. We calculate a gain larger than 50 dB/cm at 1011 Hz in n-Germanium. We finally discuss heat pulse experiments in Germanium (doped with Antimony) under uniaxial stress. The major attenuation mechanism is through resonant phonon absorption by the bound electrons.

La technique des impulsions de chaleur appliqute aux semiconducteurs permet de mettre en tvidence et d'ttudier certains aspects fondamentaux du couplage electron-phonon. Nous nous emploierons dans cet expost a etayer cette affirmation, en discutant un certain nombre de rtsultats obtenus au Groupe de Physique des Solides de I'ENS. Apres l'introduction (section I), ou nous delimiterons le domaine d'appli- cations des impulsions de chaleur aux semiconducteurs, nous commenterons deux types d'experiences, ainsi que les rtsultats d'un calcul.

Dans la section 11, nous discuterons la diffusion des phonons therrniques par le gaz d'klectrons libres dans J7Antimoniure d'Indium de type n. Ensuite nous etudierons la possibilitt d'amplifier des phonons acoustiques de tr6s haute frequence couplts par le potentiel de dtformation A un gaz d'electrons de conduction anime d'une vitesse de derive supbrieure

A

la vitesse du son (section III), et nous estimerons le coefficient d'amplification dans une situation deter- min6e (Germanium de type n). Enfin, la section IV sera consacree la discussion d'exptriences d'interaction d'impulsions de chaleur avec les electrons lits aux impuretis Antimoine dans le Germanium, en prtsence d'une contrainte uniaxe appliqde.

I. Jntroduction. - Nous nous inttressons ici

a

^la

propagation ballistique de phonons acoustiques de frequence tlevte, dans les semiconducteurs. Autrement dit, nous nous imposons de travailler aux tres basses temptratures, et plus sptcifiquement aux temperatures de l'H6lium liquide. Pour des semiconducteurs tels que le Germanium ou le Silicium, modtrement dopes avec des impuretes des colonnes 111 (B, Ga, ...) ou V (P, As, Sb, ...) du tableau pkriodique, cela implique qu'ils sont isolants, la grande majorit6 des porteurs ttant alors pitgts sur les impuretts. L'Cnergie des phonons contenus dans une impulsion de chaleur peut atteindre 10 OK (*) sans difficultts, ce qui offre, ainsi qu'on le verra a la section TV, la possibilitt d'etudier directement les interactions entre ces phonons et I'tlectron lie & l'irnpurete. Pour les semiconducteurs, dtgCnirCs ou non, dont les Clectrons restent excitts dans la bande de conduction aux temptratures les plus basses (tel que n-InSb), les vecteurs d'onde des modes acoustiques excitables dans I'impulsion de chaleur sont aisement obtenus comparables a ceux des tlectrons. C'est la une situation originale, que I'on

(*) Nous exprimerons les tnergies de phonons en Kelvins dans la suite de l'expose.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1972418

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C4-86 A. ZYLBERSZTEJN ne peut atteindre avec les ondes hypersonores coht-

rentes, et qui permet l'observation des aspects quanti- ques de I'interaction electron-phonon [ l ] (voir section 11).

On decrit la diffusion des phonons par les electrons dans un semicooducteur en utilisant le concept de potentiel de dtformation. Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un solide, les atomes subissent un dtplacement par rapport a leur position d'equilibre qui est periodique dans Ie temps et dans I'espace :

5

⁼

go

exp i(q.r - ot).

Cette onde Clastique, de vecteur d'onde q et de pulsation ^o,dtforme le potentiel cristallin dans lequel se meuvent les tlectrons. Ceci provoque une dtformation des bandes d'Cnergie electronique, likes a ce potentiel. Dans le cas des phonons acoustiques de grande longueur d'onde, la deformation 66 de la bande considtree s'exprime a l'aide du tenseur de potentiel de deformation, Cij, par :

La variation d'tnergie de l'tlectron etant modulte spatialement, l'onde exerce donc sur les electrons une force :

On voit que I'interaction sera d'autant plus forte que la frkquence des phonons sera plus ClevCe. Les impulsions de chaleur permettent d'exciter des phonons de tres haute frtquence, ce qui les rend particuliere- ment bien adaptees a I'etude du couplage Clectron- phonon par potentiel de dtformation. On va voir cependant que la constitution atomique des materiaux impose presque toujours une limite superieure aux frkquences utilisables.

Un rtgime de propagation ballistique suppose un libre parcours des phonons de l'ordre de grandeur de la distance entre tmetteur et dktecteur. Ccttc condition n'est plus realiste aux tres hautes frtquences du fait de la forte diffusion par les dtfauts de masse isotopi- ques. Le libre parcours pour la diffusion isotopique peut s'Ccrire :

On trouvera dans le tableau I la valeur de qi pour quelques cas typiques. 11 apparait que les isotopes diffusent fortement les phonons longitudinaux d'energie supkrieure 25-30 OK, ainsi que les phonons transverses au-dessus de 15-20 OK. Une etude de I'interaction electron-phonon au-dessus des frequences correspondantes devient donc difficile par la technique des impulsions de chaleur.

TABLEAU I

Nombre d'ondes de coupure qi pour la drffu,usion isotopique, et Pnergie duphonon correspondant

(1 : longitudinal ; t : zransoerse)

qi Ti, Ti ^t

Materiau (cm ^-')

-

^- ^(OK)-

(OK) -.

Ge 5,15 x lo6 21 14

11. Interaction Clectron-phonon aux frkquences ther- miques. - Pour un gaz d'electrons a surface de Fermi spherique, le couplage aux phonons acoustiques par potentiel de dtformation prtsente deux aspects essen- tiels [2] : (i) les modes transverses, ne provoquant pas de diIatation, ne sont pas couplCs aux electrons ; (ii) seuls les phonons longitudinaux ayant un nombre d'ondes q < 2 k , (diametre de la sphere de Fermi) sont diffuses par les tlectrons. Cette propriCtk n'est que la consequence de la conservation de l'energie et du moment cristallin lors d'une collision, en absence de processus umklapp. En effet, la vitesse du son ttant gtntralement bien infkrieure a la vitesse de Fermi, les electrons effectuent des transitions quasi Clastiques : leur nombre d'ondes k demeure essentielle-

FIG. 1. - Attenuation du mode longitudinal dans I'Antimoniure d'indium de type n. La densite d'electrons de conduction est indiqu6e dans chaque cas (rbsultats expkrimentaux de

J. P. Maneval).

(4)

ment Inchange lors d'une collision. De ce fait, l'echange de moment maximum correspond au retournement complet du mouvement de l'electron, soit q = 2 k.

I1 n'y a pas d'interaction pour q > 2 k F ⁱⁱtemperature nulle, alors que pour q < 2 k, le calcul de Ziman [3]

conduit a un librc parcours des phonons inferieur au millim&tre. Le gaz d'electrons se comporte comme un filtre passe-haut pour les phonons longitudinaux.

Les importantes proprietts (i) et (ii) ont Cte mises en evidence pour la premikre fois dans une experience d'impulsions de chaleur realisee dans I'Antimoniure d'Indium de typc rz [I]. Dans ce semiconducteur les electrons ont une surface de Fermi spherique, dont le diamMre 2 k F peut 2trc choisi, par dopage approprie, dans la gamme des nombres d'ondes des phonons exci- tes dans une impulsion de chaleur (2 k F - 5 x lo6 cm-I pour n = 1017 cm-7). On a represent6 sur la figure 1 les signaux dCtectts dans la direction

<

1 11

>,

pour des cristaux de dopage different. Les traces ont toutes 6tC obtenues avec la m&me puissance dissipke dans l'tmetteur. On observe une forte atttnuation du pic longitudinal dans les Cchantillons les plus dopes. Par contre, on ne note aucun effet sensible sur les modes transverses.

111. Amplification d'impulsions de chaleur. -

L'amplification d'ondes ultrasonores dans les semiconducteurs piezoelectriques est un phenomkne connu et ttudie depuis plus d'une dCcade [4]. Les Clectrons

&dent de I'Cnergie a l'onde lorsqu'ils sont animes d'une vitesse de derive superieure a la vitesse du son.

Comwell [5] a montre qu'un effet analogue devait se produire aux frequences des phonons thermiques via le couplage par potenticl de deformation. Une telle emission stimulee de phonons a etC mise en evidence dans le Germanium [ 6 ] . Nous rappellerons les grandes lignes de la thkorie [S], et nous evaluerons le coefficient d'amplification dans un cas precis.

Les vectcurs d'onde q des phonons mis en jeu sont, comme dans la section 11, comparables au vecteur d'onde k des tlectrons, et de ce fait il convient de faire un calcul quantique du taux net d'tmission de phonons.

Celui-ci s'ecrit :

ou

PC

(resp. P,) est la probabiIitC d'tmission (resp.

absorption) par unite de temps d'un phonon de vecteur d'onde q, et f ( k ) designe la probabiliti d'oceu- pation de l'etat electronique k. On eonsidkre dans ce qui suit un semiconducteur de type n non degknbrC

[

f (k) 6 I], dont le gaz d'electrons en presence d'un champ tlectrique appliqut est entikrement caracterisk par sa temperature electronique T, et sa vitesse de dtrive v, [7], i. e. nous tcrivons :

ou f,(k, T,) est la distribution de Maxwell-Boltzmann A la temperature T,. L'expression ci-dessus suppose en outre que la vitesse de derive est faible devant la vitesse thermique des porteurs. En portant [2] dans [I], et en rcmarquant que pour les phonons importants (q

-

^k)

on a kw 4 k , T,, on obtient :

1 Aw ^0,cos

x

- --

- fo

(;)

⁽¹^-

2 I, k , T

--)

^El ¹⁴^N^q

oh v, est la vitesse des ondes longitudinales, I, le libre parcours moyen electronique pour les collisions sur les phonons acoustiques h I'equilibre thermodyna- mique, et x = (v,, q) l'anglc cntre la vitesse de dtrive et le vecteur de propagation du mode considire. Le premier terme, independant de N,, correspond aux processus d'tmission spontanee ; il est anisotrope, ce qui traduit simplement la conservation du moment cristallin total. Le second terme est proportionnel a N,, et donc I'expression a, represente le coefficient d'ab- sorption des phonons du mode considere. On voit que le coefficient d'absorption devient nigatif lorsque v, cos x > v, : on obtient une emission stirnulee 5 l'intkrieur du c6ne de demi-angle au sominet x (c6ne

honons longitudinaux

FIG. 2. - Gain en fonction de la frkquence des phonons dans le Germanium de type n. Le courant et la direction de propagation sont paralleles a

<

100

>

; on a choisi les paramttres suivants : n = 5 x 101s cm-3, uu

-

²^ua^(a⁼^t,^{I), Te}⁼⁴⁰^OK.

(5)

C4-88 A. ZYLBERSZTEJN de Cerenkov). Autrement dit si on injecte une impul-

sion de chaleur dans un Cchantillon semiconducteur parcouru par un courant tel que u~ > u , on prCvoit une amplification, dtpendante du vecteur d'onde des phonons. Nous avons calculC numtriquement le coefficient de gain dans le cas du Germanium de type n.

I1 y a lieu de tenir compte de l'anisotropie des surfaces isoCnergttiques des Clectrons (valltes), qui conduit B un couplage anisotrope aux modes tant Iongitudinaux que transverses [8]. L'essence du calcul reste cependant la mCme que pour le modele simple. On a reprCsentC sur la figure 2 le gain en fonction de la frCquence, dans un tchantillon contenant 5 x lOI5 Clectrons/cc, pour les phonons se propageant dans la direction

<

100

>,

parallelement

A

la vitesse de dCrive, prise ici Cgale a deux fois la vitesse du mode considtrt.

Pour la temperature electronique, T, = 40 OK repr6 sente un choix raisonnable [7].

On voit d'apr6s la figure 2 que le gain dtpasse 50 dB/cm pour les ondes transverses, fortement cou- plCes aux Clectrons dans la direction

<

100

>.

Cet effet d'amplification pourrait se reviler utiIe dans le cas d'impulsions de chaleur de temptrature voisine de celle du cristal, et donc de faible amplitude au dCpart.

IV. Attenuation d'impulsions de chaleur par les Ctats donneurs.

-

Dans un semiconducteur tel que le Ger- manium, aux temperatures de 1'HClium liquide, la grande majorit6 des tlectrons est piCgte sur les impu- retCs. Ces dCfauts ponctuels diffusent les phonons de f a ~ o n rtsonnante, l'effet Ctant visible sur la conducti- vitC thermique [9], [lo]. Les impulsions de chaleur permettent de rCvCler de f a ~ o n simple et sans ambiguytt les regles de stlection, et d'observer I'effet du terme rbonnant, en prtsence d'une contrainte uniaxe.

Les atomes de la colonne V du tableau pkriodique se mettent en position substitutionnelle dans le Ger- manium. La fonction d'onde du cinquieme Clectron, faiblement liC au donneur, est donnee, dans l'approxi- mation de la masse effective, par le produit de la fonction de Bloch correspondant au bas de la bande de conduction et d'une fonction enveloppe d'atome d'hydroghe [ll]. Le minimum de la bande de conduction du Germanium n'ttant pas situC a k = 0, la symCtrie du rCseau implique I'existence de 4 minima tquivalents (valltes) situts en limite de zone de Bril- Iouin sur les axes

<

11 l.

>.

Les ttats hydrogtnoides d'un donneur sont donc quatre fois dCgCnCrCs, les fonctions d'onde correspondantes Ctant combinaison lintaire des fonctions de Bloch dans chaque vallee. La fonction la plus symCtrique (poids tgal pour chaque vallCe) a une amplitude non nulle sur l'atome d'impu- retC, ce qui a pour effet de lever partiellement la dCgtnCrescence en abaissant 1'Cnergie de l'ttat singulet correspondant (interaction vallCe-orbite). Cet abaisse- ment est surtout important pour 1'Ctat de base, et vaut 4 A = 3,7 OK pour I'impuretC Antimoine. Des phonons d'tnergie convenable peuvent induire des transitions

entre I'ttat singulet et les etats triplets (attknuation resonnante) [12], [I 31.

11 existe un moyen commode de faire varier 1'Cnergie de resonance singulet-triplet, et donc de balayer une partie du spectre des phonons incidents : par applica- tion d'une contrainte uniaxe. Cette derniere a pour effet gtnCral de dttruire la symCtrie du cristal. Les vallCes se sCparent en Cnergie, et de mCme pour les Ctats d'impuretk [14]. La figure 2 de la reference [13]

montre I'effet d'une contrainte selon

<

¹¹¹

>

^:^on

obtient facilement des ~Cparations en Cnergie de 20- 30 OK.

Kwok I151 a calcule le coefficient d'attknuation d'un phonon (q, o) de polarisation I, pour l'interaction rtsonnante en absence de contrainte uniaxe :

Cette formule tient compte de la largeur respective du niveau singulet (To) et des niveaux triplets (T,), ainsi que du taux d'occupation fo(T) du niveau singulet.

-

Les coefficients En,,sont les elements de matrice du potentiel de deformation, dont la dCpendance direc- tionnelle traduit les regles de silection. Ainsi dans la direction

<

¹¹⁰

>

le mode longitudinal est coup16 pour la transition (0 o 3), le mode transverse rapide est coup16 pour la transition (0 ^<-+ 2), et le mode transverse lent n'est pas couplC. Le facteur de forme F2(q) amene une coupure de l'interaction lorsque la longueur d'onde du phonon devient infkrieure au rayon de l'orbite de Bohr. Strictement parlant, F2(q) depend de la direction de propagation ; nous avons calcul6 cette dtpendance, et on trouve que pour le mode transverse rapide dans la direction

<

l i 0

>

:

F (q) 2 =

(

1

+

^---^q2:*2) ^{- 4}

avec a* = 42

A.

Les regles de sklection ne sont pas modifites par la presence d'une contrainte uniaxe. D. Huet a realist une expCrience d'impulsions de chaleur sous contrainte uniaxe selon

<

¹¹¹

>,

dans un &chantillon de Ger- manium contenant 1,8 x 1015 impuretCs Sb par cc, i'axe kmetteur-dCtecteur Ctant orient6 selon

<

l i 0

>.

On voit (Fig. 3) que le mode transverse lent n'est pas affect& L'amplitude des autres modes dCpend de la contrainte, du fait de l'interaction rbonnante. On a port6 sur la figure 4 l'amplitude du mode transverse rapide en fonction de la contrainte appliqute : elle passe par un minimum nettement marquC.

Nous allons tenter de comparer la thtorie B 1'expC- rience pour le mode FT, a partir de l'expression (3).

Pour cela il faut tenir compte de la variation avec la

(6)

FIG. 3.

-

Amplitude des modes transverses selon

<

^{l i 0}

>

en fonction d'une contrainte uniaxe selon

<

111

>,

dans un echantillon de Germanium contenant 1,8 x 1015 Sb/cc. Les pressions sont en kgf/cmz, la longueur de propagation est 1 cm

(D. Huet).

contrainte des separations en energie [13] et des largeurs des niveaux [16]. On neglige To devant

r,,

⁼^0,04^O^Kestimt

a

partir des mesures d'attknuation ultrasonore de Pomerantz [17]. On ntglige tgalement la petite variation de a* avec la contrainte [18].

Le calcul de l'amplitude du signal dttectt se fait 2 partir d'une distribution de Bose a T = 6,5 OK calculCe pour les conditions exptrimentales choisies. On a tenu compte de I'atttnuation isotopique. Aux fortes contraintes les niveaux donneurs ne jouent plus de rble pour l'essentiel des phonons de Ia distribution, ce qui permet de raccorder la courbe thCorique (Fig. 4) aux risultats expbrimentaux. Le comportement quali- tatif du signal en fonction de la contrainte est bien rendu par la theorie. Etant donnt le nombre de sim- plifications introduites pour mener B bien le calcul, l'hypoth6se d'une distribution de Bose n'Ctant pas la moindre, il apparaitrait comme peu convainquant de vouloir rechercher un accord quantitatif. L'observation d'effets de dispersion [I91 modifie Cgalement la nature du probl6me.

En conclusion, nous esptrons avoir dCmontrt par cette strie d'exemples que les impulsions de chaleur peuvent Etre utilisees pour etudier l'interaction tlectron-phonon dans les semiconducteurs.

I

50 100 li0 C O N T R A I N T E / ~ ~ F ~ / : ~ . Remerciements. ^-Nous avons utilist les risultats

Rc. 4. -Amplitude du rnode transverse rapide dans ~ ~ ( s b ) ex~trimentaux de J. P. Maneval et D. ~ u e t , qu'ils en en fonction de la contrainte (D. Huet). soient remercits.

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DISCUSSION

R. ORBACH. - YOU must average the absorption effect in pure Ge on the modes. The linewidth of the relation over a probability distribution for 4 A if 4 A resonance from our fluorescence experiments is esti- is at all comparable to kT. This may help you fit your mated to be less than few percent of the frequencies experimental data in a more satisfactory manner. since even for Pb : T1 generators the resonance term dominates over the Keyes term. Note that the energy V. NARAYANAMURTI.

-

This is further to the

gap of Pb : TI is

-

¹⁸^OK.

remarks of Shiren and Orbach. Uniaxial stress has no