DS6-2013_CORRIGE Partie A : « Adaptateur de vitesse »

DS6-2013_CORRIGE

Partie A : « Adaptateur de vitesse »

1. Présentation du mécanisme

La figure ci-contre représente un adaptateur de vitesse permettant de modifier la vitesse de rotation de l’arbre 1. L’arbre 1 est l’entrée et l’arbre 5 est la sortie de cet adaptateur.

Les nombres de dents des différentes roues dentées sont les suivants :

Z1 = Z22 = 24 ; Z21 = Z3 = 88 ; Z42 = Z0 = 24 ; Z41 = Z5 = 42

2. Travail demandé

Question A-1 : Calculer les rapports de transmission suivants en fonction des nombres de dents (Zi) des différentes roues dentées :

1 13 3

ω

=ω

R et

3 35 5

ω

=ω R

Les solides 1, 2 et 3 ont des axes fixes par rapport à S0 :

( )

1

13 3 ²

Z Z

Z R Z

×

− ×

=

=ωω

Le solide 4 est un satellite, son axe de rotation est fixe par rapport à S3 :

( )

3 / 0

3 /

5 2

Z Z

Z Z

×

− × ω =

ω

) 42 0 ( 3 ) 5 41 ( 3 ) 5 41 (

5 Z ×Z − Z ×Z =− Z ×Z

⇒ω ω ω

) 42 0 5 41 ( 3 ) 5 41 (

5 Z ×Z = Z ×Z −Z ×Z

⇒ω ω

5 41

42 0 5 41 3

35 5

Z Z

Z Z Z R Z

×

×

−

= ×

=

⇒ ωω

Question A-2 : En déduire la valeur numérique du rapport de transmission de cet adaptateur :

1 15 5

ω

=ω

R .

10 2

. 01 , 5 673 , 0 0744 ,

² 0 42

² 24

² 42

² 88

² 35 24 . 1 13 3 3 5 1

15= 5= × =R R = × − = × = ⁻

R ωω

ω ω ω ω

Z1 Z21

Z22

Z3

Z41

Z0 Z5

S0 S1

S2

S4

S3

S5 Z42

Question A-3 : A partir d’une construction graphique sur la figure ci-dessous, déterminer approximativement R35.

• On choisit une valeur quelconque de la vitesse du point C

V (C , 3 / 0 )

• On sait que

V ( C , 3 / 0 ) = V ( C , 4 / 0 )

• Etant donné que S0 et S4 engrènent ensemble au point I, on a :

V ( I , 4 / 0 ) = 0

• I est donc le cir du mouvement de 4/0, on en déduit

V (J , 4 / 0 )

• Etant donné que S4 et S5 engrènent ensemble au point I :

V ( J , 5 / 0 ) = V ( J , 4 / 0 )

• Pour obtenir une approximation de R35, il suffit de déterminer graphiquement les vitesses de rotation de S3 et de S5 :

OC C V ( , 3 / 0 ) 3 =

ω

OJ J V ( , 5 / 0 ) 5 =

ω

• Quelques soient les échelles de représentation des vitesses et des dimensions, le rapport R35 est indépendant de ces échelles :

) 0 / 3 , ( ) 0 / 5 , ( 3 35 5

C V

OC OJ

J V

R = = ×

ω ω

• En mesurant ces 4 longueurs on obtient :

0 , 673 56

33 21

35 ≈ 24 × ≈ R

Z0

Z5 Z41

Y

X J

C

I

O Z42

ω3 ω5

ω4

Partie B « Centrifugeuse »

1. Présentation du mécanisme

La centrifugeuse de laboratoire schématisée ci-contre se compose d’un bâti (S0), d’un bras (S1) et d’une éprouvette solidaire de S2. Sous l’influence de la rotation du bras, les deux liquides de masses volumiques différentes pourront être séparés.

Les repères R1(O, x0, y1, z1) et R2(A, x2, y2, z1) liés respectivement aux solides S1 et S2, sont définis sur les figures ci-dessous.

On pose OA = a et AG = b

2. Analyse du mécanisme

Question B-1 : Calculer le vecteur vitesse du point G en appliquant la composition des mouvements.

) 0 / 1 ( ) 1 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( G = V G + V G ∈

V







+

= Ω

∧ +

=

∈

=

1 . . sin . 1 . 0 / 1 )

0 / 1 , ( ) 0 / 1 (

2 . ) 1 / 2 , (

Z b

Z a GA

A V G

V

Y b G

V

α β α

β

&

&

&

On en déduit :

V ( G , 2 / 0 ) = b β ^& . Y 2 + ( a + b . sin β ). α ^& . Z 1

Question B-2 : Calculer le vecteur accélération du point G en appliquant la composition des mouvements.

) 1 / 2 , ( 0 / 1 . 2 ) 0 / 1 ( ) 1 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( G = Γ G + Γ G ∈ + Ω ∧ V G

Γ

2 . 2

. ) 1 / 2 ,

( G = b β ^{& &} Y − b β ^&

X

Γ

( )

0

0 / 0 1

/ 1 0

/ 1 ) 0 / 1 , ( ) 0 / 1 (

dt

GA d GA

A

G











Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

=

∈ Γ

1 . . sin . 1 . . sin . 1 . 1

. Z a

Y b

Y b Z

a α ^{& &} − α ^& − β α ^& + β α ^{& &}

=

1 . cos . 2 ) 1 / 2 , ( 0 / 1 .

2 Ω ∧ V G = b α ^& β ^& β Z

On en déduit :

Γ ( G , 2 / 0 ) = b β ^{& &} . Y 2 − b β ^&

. X 2 + ( a + b . sin β ). α ^{& &} . Z 1 − ( a + b . sin β ). α ^&

. Y 1 + 2 b α ^& β ^& . cos β . Z 1

la vitesse ω1 permettant d’engendrer une accélération du point A égale à 200 fois celle de la pesanteur. On considérera g = 10m/s²

O A Z0

Y0 Y1

α Z1 α

X0 X2

β

Y2 β X0

Y1 O A

Z1 G

Partie C « Générateur de vibrations »

1. Présentation du mécanisme

Le schéma cinématique ci-dessous représente un générateur de vibrations. Un moteur électrique anime la manivelle 1 d’un mouvement de rotation continu. Cette rotation met en mouvement le système quatre barres composé de S0, S1, S2 et S3. Il en résulte un mouvement plan du point D. La liaison appui ponctuel en ce point entre S2 et S4 permet d’engendrer des translations alternatives du solide S4.

2. Analyse du mécanisme

Question C-1 : En considérant le mécanisme dans la position du schéma cinématique ci-dessus, avec une vitesse du point A de 2,7 m/s Déterminer graphiquement, la vitesse du point D.

• On sait que V(A,1/0)=V(A,2/0)⊥OA et que V(B,2/0)=V(B,3/0)⊥CB

• On en déduit I20, le cir du mouvement de 2/0

• Connaissant le champ des vecteurs vitesse de 2/0, on en déduit

V ( D , 2 / 0 ) ≈ 0 , 9 m / s

Question C-2 : Ecrire une relation de composition des vitesses entre

V (D , 2 / 0 )

V (D , 4 / 0 )

4 3

42 1

4 3

42 1

4 3

42 1

0 //

) //(

) 0 / 4 , ( ) 4 / 2 , ( ) 0 / 2 , (

X FG

connu

D V D

V D

V = +

X0 Y0

O

E

) 0 / 1 , ( A V

S0

S1 A S2

B

C

S3

S4 G

F D

I20

) 0 / 2 , (D V

Question C-3 : En considérant le mécanisme dans la position du schéma cinématique ci-dessous, avec une vitesse du point D de 3,3 m/s, en déduire la vitesse de déplacement de S4.

En traçant les deux directions connues des vecteurs vitesse de la relation de composition de vitesse précédente, on obtient : V(D∈4/0) ≈2,7m/s

Question C-4 : En déduire la vitesse du point A et la vitesse de rotation de la manivelle S1.

En utilisant l’équiprojectivité entre les points D et A, on obtient : V(A,2/0) ≈2,4m/s

On en déduit rd s

OA A

V 218 /

011 , 0

4 , 2 ) 0 / 2 , 0 (

/

1 = = ≈

Ω

X0 Y0

O

E

) 0 / 2 , (D V

S0

S1

S2

A

B

C

S3

S4 G

F D

) 0 / 4 (D∈

V V(D,2/4)

X0 Y0

O

E

) 0 / 2 , (D V

S0

S1

S2

A

B

S4 G

F D

Partie D « Calcul vectoriel »

1. Présentation du problème

On souhaite écrire un programme permettant d’effectuer certains calculs vectoriels. Le script ci-dessous permet de calculer le

produit scalaire de deux vecteurs

















−

= 1 5 2

U

















−

−

= 7

1 3

V

2. Analyse du mécanisme

Question D-1 : Ce programme effectue 3 boucles de calcul. A la fin de la première boucle, quelles sont les valeurs stockées dans les variables suivantes ?

- SU - SV - Prodscal

A la fin de la 1^ère boucle, on a : SU = 4

SV = 9 prodscal = -6

Question D-2 : Modifier ce programme pour calculer et afficher la norme des deux vecteurs

U

V

A la fin de ce programme on ajoute : NU = sqrt (SU)

NV = sqrt (SV)

disp (‘la norme du vecteur U est : ‘+string(NU)) disp (‘la norme du vecteur V est : ‘+string(NV))

Question D-3 : Modifier ce programme pour calculer et afficher l’angle formé par les deux vecteurs

U

V

Alpha = acos (prodscal/(NU*NV))

disp (‘l’’angle entre les deux vecteurs U et V est de : ‘+string(Alpha)+’ rd’)