INTERACTION ÉLECTRON-PHONON DANS LES SEMICONDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES

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INTERACTION ÉLECTRON-PHONON DANS LES

SEMICONDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES

G. Quentin, J. Thuillier

To cite this version:

G. Quentin, J. Thuillier. INTERACTION ÉLECTRON-PHONON DANS LES

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JOURNAL D E PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 2, Tome 28, Févr. 1967, page C 1-34

INTERACTION ÉLECTRON-PHONON

DANS LES SEMICONDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES

Laboratoire de Physique de 1'Ecole Normale Supérieure, associé au C. N. R. S., rue Lhomond, Paris 5 e , France

Résumé. - Nous considérons l'interaction électron-phonon dans les semiconducteurs piézoé- lectriques. Après un rappel de la théorie de l'amplification acoustique due à Hutson et White, nous étudions les effets non linéaires dus à l'existence d'un flux acoustique considérable lorsque les porteurs sont supersoniques.

Le courant présente ou une saturation ou une oscillation au-delà du champ critique.

Dans les deux cas on observe un domaine de champ électrique intense, soit localisé près d'une extrémité, soit se déplaçant dans le sens du flux acoustique avec une vitesse proche de la vitesse du son. II est probable que l'amplification des modes hors d'axe doit être considérée.

Abstract.

-

We consider electron-phonon interactions in piezoelectric semiconductors. We first recall the Hutson and White theory of acoustic amplification. We then give a study of non- linear effects occuring in the presence of a very high awustic flux when carriers are supersonic. The current exhibits either a saturation or oscillations above the critical field.

In both cases we observe a high electric field domain either trapped near one end or moving in the acoustic flux direction with about the sound velocity. The probable role of amplification of off-axis modes is pointed out.

Introduction.

-

Les propriétés piézoélectriques doit également être modifiée et devient des isolants sont connues depuis les travaux des

frères Curie (1880). Dans l'effet piézoélectrique T = c S - e l E .

direct on constate l'apparition d'une polarisation électrique dans un cristal soumis à une déformation. Dans ces conditions, la relation usuelle de l'électro- statique (')

D =

EE

devient

D =

EE

+

e s

où S est le tenseur des déformations et où le tenseur e

caractérise les effets piézoélectriques.

L'effet piézoélectrique inverse prévu par Lipp- mann (1881) montre qu'un cristal soumis à un champ électrique subit une déformation à effort mécanique nul.

La relation classique de l'élasticité

(1) Les caractères en gras romain : E, S , T, e,

...,

etc. repré-

sentent des tenseurs ;

les caractères en gras italique D, E représentent des vecteurs.

On montre facilement par des arguments thermo- dynamiques l'égalité des tenseurs e et e'.

Pour qu'un cristal présente des propriétés piézoé- lectriques, il est nécessaire que son réseau cristallin ne présente pas de centre de symétrie.

Pour simplifier l'exposé, nous nous limiterons dans la suite à un modèle à une dimension. L'intensité du couplage électromécanique introduit par la pié- zoélectricité est définie par le paramètre sans dimension 8 = e2/sc.

L'existence et l'importance des propriétés piézoé- lectriques dans certains semiconducteurs n'ont été reconnues que depuis quelques années. Hutson [l]

en étudiant les phénomènes de « phonon-drag »

dans l'oxyde de zinc a conclu à l'existence d'un couplage électron-phonon particulièrement intense qu'il a attribué au couplage piézoélectrique. Des mesures directes des constantes piézoélectriques sur ce maté- riau qui est un quasi-isolant ont confirmé cette hypothèse. D'autre part, Nine [2] [3] a observé que

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INTERACTION ÉLEC TRON-PHONON DANS LES SEMICONDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES C 1

-

35

l'atténuation des ultrasons dans le sulfure de cadmium dépendait fortement de l'éclairement de l'échantillon et donc de la densité de porteurs libres. Nous verrons plus loin que le couplage piézoélectrique entre électrons et phonons explique bien ce phénomène. Enfin, Hutson [4], et Hutson et White [5] ont étudié la propagation d'ondes acoustiques dans les semiconducteurs piézoélectriques. Ils ont en particulier prédit et observé [6] l'amplification d'ondes acous- tiques lorsque les porteurs de charge sont entraînés par un champ assez intense pour que leur vitesse de déplacement dépasse la vitesse du son.

Les principaux semiconducteurs piézoélectriques étudiés à présent sont :

Composés II-VI Cd S . .

. . .

0

=

3 x IO-', Composés III-V GaAs, GaSb

. . .

8

=

IO-', Eléments Te et Se

. . .

0 E 0,l.

A titre de comparaison, le coefficient 8 est de l'ordre de IO-' dans le quartz, et la plus grande valeur observée semble appartenir au sel de Rochelle 0 = 0,61. L'observation directe des propriétés piézoélec- triques dans un matériau conducteur n'est pas simple. Si, par exemple, on applique une déformation à

l'échantillon, la polarisation créée sera rapidement détruite par le déplacement des porteurs libres après un temps z e l / o o où o, = a/& est la fréquence de relaxation diélectrique.

Nous donnerons d'abord la théorie linéarisée de la propagation d'une onde plane. Nous exposerons ensuite les effets observés dus aux phénomènes non linéaires dans le domaine d'amplification.

Propagation d'une onde acoustique.

-

Nous considérons la propagation d'une onde acoustique dans un semiconducteur piézoélectrique. Nous suppo- sons d'autre part que les électrons sont entraînés par un champ électrique appliqué Eo à la vitesse v, =

-

&.

L'onde acoustique qui déforme le cristal crée un champ électrique et, localement le champ total devient E = Eo + E s où le champ

variable Es suit I'onde acoustique dans sa propagation. D'autre part, la modulation du champ électrique module l'énergie potentielle des électrons, leur densité est modifiée et devient n = no

+

n,.

Le problème est défini par les équations suivantes :

(6) dD/ax = - qn,.

L'équation (3) exprime la relation fondamentale de la dynamique ( p = masse spécifique du matériau). L'équation (4) donne l'expression du courant électrique où nous avons inclus les contributions du déplacement des porteurs sous l'influence du champ, de la diffusion des porteurs

[a

= coefficient de diffusion = p(k, T/q)] et du courant de déplacement. L'existence du terme qpn, Es dans l'expression de J introduit des termes non linéaires qui compliquent considérablement le problème.

Nous traiterons d'abord le problème linéarisé en négligeant ce terme. 11 est alors facile d'exprimer le champ Es en fonction de la déformation S. L'équa- tion (3) devient pour une onde variant en exp [j(wt

-

kx)] :

p(aZ s/at2) = c'(a2 s/ax2)

.

La constante élastique effective c' est donnée par :

où us est la vitesse du son et où o, = vS/'B.

On observe que cf est complexe et que le signe de la partie imaginaire dépend du signe de [1

-

(v,lv,)].

11 en résulte une atténuation ou une amplification de l'onde acoustique selon que v, < v, ou v, > v,.

On conçoit en effet que, à champ faible (v, <

v3,

l'onde acoustique entraîne la densité n, d'électrons qui dissipent de l'énergie par effet Joule. Lorsque

v, > v, les électrons supersoniques entraînent l'onde acoustique et une amplification est possible.

Le coefficient d'amplification pour l'énergie acoustique [variation en exp(bx)] est donnée par

Le problème de l'amplification a été exposé en détail par White [7].

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C l - 3 6 G. QUENTIN ET J. M. THUILLIER

avec v, = 2 us, un gain de 1 0 ~ ~ par centimètre. Ceci montre clairement les limitations de la théorie linéa- risée.

Effets non linéaires.

-

Ce problème n'a pas encore reçu de solution théorique satisfaisante. Une méthode d'approximation possible consiste à considérer la valeur moyenne du terme qpn, Es que nous avons

négligé dans (4). Ce terme correspond au courant acoustoélectrique dû au transfert de quantité de mouvement entre les porteurs de charge et l'onde acoustique. On établit aisément d'après la théorie linéarisée que

O

où W est la densité d'énergie acoustique. On obtient d'ailleurs facilement ce résultat en considérant le bilan des échanges d'impulsion entre les électrons et les phonons.

Nous pouvons en déduire une expression appro- chée du courant moyen

En régime d'amplification, l'énergie W peut devenir très importante. Une augmentation du champ appli- qué augmente le courant acoustoélectrique, ce qui

réduit la variation de J, d'ou une saturation possible :

b

du courant et éventuellement une résistance diffé- rentielle négative (bien que ceci n'ait pu être observé directement). Une instabilité est également possible si localement W est supérieur à la valeur moyenne, pour maintenir le courant, le champ moyen devra y être plus intense et le gain

P

y sera éventuellement plus élevé. Le domaine de grande énergie acoustique va donc se propager en devenant de plus en plus grand.

Nous avons effectivement observé ces deux types de phénomènes dans le tellure : oscillations ou saturation du courant selon les échantillons.

Oscillation du courant 191.

-

L'échantillon, en forme de barreau selon la direction (IOO), est alimenté par un générateur d'impulsions à tension constante. La répartition de potentiel est mesurée au moyen d'une dizaine de sondes réparties le long de I7échan- tillon. Le courant est mesuré à l'aide d'une petite résistance série. Sur la figure la, nous représentons les oscillations du courant. Celles-ci peuvent repré- senter une modulation de l'ordre de 40

%.

Sur les figures Ib et Ic, nous représentons les oscillations du champ électrique entre deux sondes pour deux échantillons différents. Le champ minimum corres-

FIG. 1. - a) Oscillations du courant en ordonnées : 0,s A par grande division en abscisses : 10 ps par grande division

b et c) Oscillations du champ électrique mesuré entre deux sondes

b) en ordonnées : JO V/cm par grande division en abscisses : 10 ys par grande division

c) en ordonnées : 100 V/cm par grande division en abscisses : 5 ys par grande division.

pond sensiblement au champ critique défini! par

(5)

INTERACTION ÉLECTRON-PHONON DANS LES SEMICONDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES C 1 ,- 37

I

x c m

O 1 8 2

FIG. 2. -Variations de ia répartition de potentiel dans i'échantillon en fonction du temps. Le temps t o correspond au moment où le domaine quitte i'extrémité positive. La période d'oscillation est sensiblement de 12 ps.

l'amplification de modes acoustiques inclinés par rapport à l'axe (100), de vitesse plus faible et mieux favorisés pour l'amplification. Une étude numérique actuellement en cours semble confirmer ce point de vue.

Saturatioii du courant [IO].

-

Sur d'autres échan- tillons nous observons une saturation franche du courant en fonction de la tension appliquée (Fig. 4). Cette saturation doit se produire au champ critique.

FIG. 4.

-

Variation de Ia densité de courant en fonction du champ électrique E appliqué.

Vertical : 20 A/cmz par grande division. Horizontal : 18 V/cm par grande division.

---a--

_{--__}

FIG. 3.

-

Position des maxima de

--

60 -

---

champ électrique.

Chaque point de la courbe a pour ordonnée l'instant où le maximum de champ se trouve à la position repérée en abscisx.

Tension appliquée = 450 V : un 40-

deuxième domaine (trait pointillé) se déplace dans i'échantillon et accom- pagne toujours le domaine principal. O

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C l - 3 8 G. QUENTIN ET J. M. THUILLIER

FIG. 5.

-

Variations du potentiel en fonction de la distance à l'une des extrémités de l'échantillon pour diverses valeurs de la tension totale appliquée.

L'origine des abscisses a été prise dans les deux cas à la même extrémité de l'échantillon. Les figures (a) et (b) cor- respondent aux deux signes du champ. La ligne pointillée représente le champ V . = y E,.

L'étude en fonction de la température montre que cette relation est mal vérifiée, l'écart pouvant atteindre 30

%.

Ceci nous a incités à étudier la répartition du potentiel dans l'échantillon. Celle-ci est donnée dans les figures 5, a et b, pour les deux polarités de la tension appliquée.

On constate l'existence de zones de champ élevé, le plus grand champ étant toujours localisé à la même extrémité de l'échantillon. Dans la partie centrale, le champ reste proche du champ critique. Il nous semble probable que cette saturation est un cas particulier des oscillations où le domaine mobile est piégé sur un défaut de l'échantillon (inhomogénéité ou contrainte mécanique).

Nous avons également étudié la tension de Hall en fonction de la tension appliquée. On constate que la tension de Hall présente comme le courant une saturation. Il est intéressant de noter l'apparition d'une tension transverse dans le régime de saturation en l'absence de champ magnétique. Ceci confirme l'amplification de modes hors d'axe qui créent un courant acoustoélectrique, d'où un champ transverse.

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- 39

O Tension transverse

FIG. 6. - Variations de la tension de Hall et de l'intensité du courant en fonction du champ électrique longitudinal. Champ magnétique appliqué : 4 600 gauss selon la direction [OlO].

Bibliographie

[l] HUTSON (A. R.), J. Phys. Chem. Solids, 1959, 8, 467. [6] HUTSON (A. R.), MCFEE (J. H.), WHITE (D. L.),

[2] NINE (H. D.), Photosensitive ultrasonic attenuation Ultrasonic amplification in C d S Phys. Rev.

in CdS, Phys. Rev. Letters, 1960, 4, no 7, pp. 359- Letters, 1961, 7 , no 6, pp. 237-239.

361. [7] WHITE (D. L.), Amplification of ultrasonic waves in

[33 NINE (H. O.) et TRUELL (R.), Photosensitive ultra- piezoelectrectic semiconductors, J. A. P., 1962, sonic properties of CdS, Phys. Rev., 1961, 123, 33, no 8, pp. 2 547-2 554.

no 3, pp. 799-803. [8] MOORE (A. R.) et SMITH (R. W.), Effect of traps on

[4] HUTSON (A. R.), Piezoelectric scattering and phonon acoustoelectric current saturation in CdS, Phys.

drag in Z n 0 and CdS, J. A. P., 1961, 32, no 10, Rev., 1900, 138, 4 A, pp. 1250-1258.

pp. 2 287-2 292. 191 QUENTIN (G.) et THUILLIER (J. M.), Physics Letters,

[ 5 ] HUTSON (A. R.) et WHITE (D. L.), Elastic wave propa- 1966, 19, 8, pp. 631-633.

gation in piezoelectric semiconductors, J. A. P., [IO] QUENTIN (G.) et THUILLIER (J. M.), Solid State