ANALYSE DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS DANS LES SEMICONDUCTEURS A L'AIDE DU FORMALISME DE LA MATRICE DENSITÉ

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ANALYSE DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS DANS LES SEMICONDUCTEURS A L’AIDE DU FORMALISME

DE LA MATRICE DENSITÉ

G. Fishman, C. Hermann, G. Lampel

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G. Fishman, C. Hermann, G. Lampel. ANALYSE DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS DANS LES SEMICONDUCTEURS A L’AIDE DU FOR- MALISME DE LA MATRICE DENSITÉ. Journal de Physique Colloques, 1974, 35 (C3), pp.C3-13- C3-19. �10.1051/jphyscol:1974303�. �jpa-00215551�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C3, supplément au no 4, Tome 35, Avril 1974, page C3-13

ANALYSE ,DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS DANS LES SEMICONDUCTEURS A L'AIDE DU FORMALISME

DE LA MATRICE DENSITE

G . FISHMAN

Groupe de Physique des Solides de l'ENS (*) tour 23, 2 place Jussieu, 75005 Paris, France C. H E R M A N N et G. LAMPEL

Laboratoire de Physique de la Matière Condensée (* *) Ecole Polytechnique, 17, rue Descartes, 75005 Paris, France

Résumé. - Nous avons utilisé l'opérateur densité pour étudier le pompage optique interbande dans un semiconducteur. A partir d'une description statistique de la lumière excitatrice et des excitations élémentaires du semiconducteur (excitons, paires électron-trou), nous avons déve- loppé un formalisme qui permet de traiter de façon compacte les problèmes relatifs à la polarisation de la luminescence. L'excitation de paires électron-trou est traitée en considérant que les électrons et les trous photoexcités évoluent indépendamment avant de se recombiner. Au cours de cette évolution, il apparaît une perte de cohérence même en l'absence de relaxation. On prévoit que, en l'absence de relaxation, l'intensité de la luminescence dans une direction donnée dépend de la polarisation de la lumière excitatrice. La relaxation des trous conduit à une luminescence qui n'est que partiellement polarisée et dont l'intensité ne dépend plus de la polarisation de la lumière excitatrice. Dans le cas où les excitations élémentaires sont des excitons, l'électron et le trou évo- luent de façon couplée. La polarisation de la luminescence des excitons piégés sur des donneurs neutres est calculée et les résultats expérimentaux sont en bon accord avec les considérations théori- ques.

Abstract. - We have used the density operator to study interband optical pumping in semi- conductors. From a statistical description of the excitation light and of the elementary excitations in the semiconductor (excitons, electron-hole pairs), we have developped a formalism which enables us to treat in a compact manner the various problems concerning the poiarization of the lumines- cence. Excitation of electron-hole pairs is studied by considering that the evolution of photoexcited electrons and holes is uncorrelated. During this evolution, a loss of coherence takes place even in the absence of relaxation. It is shown that, when there is no relaxation, the intensity of the lumines- cence in a given direction depends upon the polarization of the exciting light. The relaxation of the holes leads to'a partially polarized luminescence whose intensity does not depend anymore on the polarization of the exciting light. When theelementary excitations of the crystal areexcitons, the evolution of the electron and the hole are coupled. The polarization of the luminescence of excitons bound to neutral donors is calculated and the experimental results are in good agreement with the theoretical considerations.

1. Introduction. ^- Les expériences de pompage optique interbande dans les semiconducteurs [l]

constituent l'extension aux cas de niveaux délocalisés dans les solides des idées et des techniques utilisées en physique atomique dans les gaz [2]. Le fait commun à toutes ces expériences est que la matière en interaction avec un rayonnement lumineux polarisé peut échanger

(*) Laboratoire associé au Centre National de la Recherche Scientifique.

(**) Equipe de recherche du Centre National de la Recherche Scientifique.

avec celui-ci non seulement de l'énergie, mais aussi d e s quanta de moment cinétique. Les expériences q u e nous considérons sont donc celles o ù l'on excite u n semiconducteur avec de la lumière polarisée (le plus souvent circulairement) et o ù l'on étudie les propriétés de polarisation de la luminescence. Notons que les situations que nous envisageons sont celles o ù i'ab- sorption optique est a priori isotrope (corps cubiques o u corps uniaxes [3] en propagation parallèle à l'axe optique) et que les champs magnétiques appliqués sont suffisamment faibles pour que n'apparaissent p a s

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1974303

C3-14 G. FISHMAN. C. HERh &ANN ET G. LAMPEL les oscillations de magnéto-absorption liées à la

quantification des états de bande en niveaux de Landau.

Le but du présent exposé est de montrer comment il est possible de prévoir dans différents cas la pola- risation de la lumière de luminescence d'un semi- conducteur excité par de la lumière polarisée. Pour cela, nous utiliserons le formalisme de l'opérateur densité [4] tant pour décrire la lumière [5] que pour décrire l'état du semiconducteur excité [6]. Dans une première partie nous rappelons de façon succincte ce formalisme, appliqué à la lumière d'excitation, au semiconducteur, à l'interaction entre la lumière et le semiconducteur et à la lumière de luminescence.

Dans une seconde partie nous appliquons les résultats précédents à des cas particulièrement simples qui servent à illustrer ce formalisme.

2. L'opérateur densité. - 2 . 1 DESCRIPTION DU RAYONNEMENT LUMINEUX [SI. - NOUS SUPPOSeïOnS que la lumière d'excitation comme la lumière de lumi- nescence sont monochromatiques (à des fréquences éventuellement différentes) et se propagent toutes deux le long de l'axe z. La vibration lumineuse se trouve donc dans le plan xy où nous choisissons pour vecteurs de base les vecteurs

1 ex

>

>

qui s'écrit dans la base 1 e+

>,

>

(1) =

r++

_{'+ -1}

avec 1, + et I- - réels

>

Une lumière non polarisée est décrite par une matrice proportionnelle à la matrice unité : 1, ⁺ = I- -

et 1,- = 1- ⁺ = 0.

Une lumière complètement polarisée correspondant à une vibration 1 e

>

>

1 = 1 e

> <

1 e

>

De façon générale, l'intensité de la lumière est .donnée par Tr I.'

L'intensité de la lumière de polarisation donnée

1 e

>

> <

>

2.2 DESCRIPTION DU SEMICONDUCTEUR. - Pour être spécifique, nous étudions un Semiconducteur cubique à bande interdite E, directe, en centre de zone de Brillouin comme InP, GaAs, CdTe, mais les considérations que nous développons sont appli- cables à d'autres structures cristallines. Dans les cas que nous envisageons, les fonctions d'onde du bas de la bande de conduction qui sont de type s appartiennent à la représentation à 2 dimensions ï6 alors que les fonctions d'onde du sommet de la bande de valence appartiennent à la représentation ï8 et sont donc quadruplement dégénérées [7]. Il existe une bande de valence découplée de spin-orbite à une distance en énergie A du sommet de la bande T 8 et dont les fonctions d'onde appartiennent à la repré- sentation

r,.

Si l'on néglige à la fois l'anisotropie de la bande de valence ainsi que la non-existence d'un centre d'inversion dans les composés III-V et II-VI étudiés, il est possible d'indicer les états de la bande de conduc- tion T, et ceux de la bande de valence T, en centre de zone par analogie avec des états atomiques de symé- trie sphérique 2S,l, et 2P312 respectivement.

Choisissant comme direction de quantification du spin la direction Oz de propagation de la lumière, les fonctions d'onde électroniques de la bande de conduction seront désignées par :

et celles de la bande de valence par :

où les fonctions X, Y, Z sont les fonctions de type p d'où sont issues les bandes de valence T 8 et

r,

l'interaction spin-orbite est prise en compte. Il est commode de se placer en représentation trou pour

ANALYSE DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS C3-15 la bande de valence et de considérer les fonctions

de trou qui sous-tendent la représentation p, : -

( S m > = K I S m > = ( - 1 ) 3 ' 2 - m 1 $ - m >

où K est l'opérateur renversement du sens du temps [8].

Les états d'excitations élémentaires du semiconduc- teur intrinsèque dans lequel on a créé un électron dans la bande de conduction et un trou dans la bande de valence au voisinage de k = O se décrivent dans l'espace produit tensoriel î, @

&.

ou bien 8 combinaisons linéaires indépendantes de ces fonctions. Dans les problèmes liés à l'absorption et à l'émission de photons, il est utile ii'introduire les combinaisons linéaires 1 J M

>

Ces fonctions d'onde du solide correspondent aux fonctions d'onde atomiques qui sont fonctions propres de J2 et J, pour J ⁼ 2 et J ⁼ 1 obtenus par addition des moments cinétiques 3 et 3 correspondant à la bande de conduction î, et à la bande de valence F8.

Nous verrons plus loin que les fonctions du type

1 o, ÏZ

>

>

vent des états excitoniques dans lesquels l'électron et le trou restent liés l'un à l'autre.

2 . 3 INTERACTION ENTRE LA LUMIÈRE ET LE SEMI- CONDUCTEUR. - L'interaction entre la matière et une onde plane de vecteur d'onde k, de pulsation o, définie par un vecteur lumineux A, e-'("t-kr) se traduit par un hamiltonien d'interaction XI qui s'ajoute au hamiltonien décrivant le cristal et les photons et que l'on przit &rire :

e - ~ ( w t - kr,)

x,

1

I

où e et m sont respectivement la valeur absolue de la charge de l'électron et sa masse, où la sommation est étendue à tous les électrons i du cristal et où p est l',opérateur - ihV agissant sur les fonctions d'onde électroniques. L'opérateur A,. p est l'hermitique conjugué de l'opérateur p . A,. Le premier terme de HI conduit à l'absorption d'un photon et le deuxième à l'émission.

Dans les cas qui nous concernent, l'absorption d'un photon correspond à la transition de l'état fondamental ] O

>

>

>

1 O

>.

où la fonction 6 traduit l'absorption d'énergie entre l'état final 1 q

>

>

d'énergie E,. L'opérateur

1

> <

1

traduit l'échange de moment cinétique entre la lumière et le solide. Si

G est proportionnel à

avec

P.% = e, . p = - 1 (p, I ip,)

J?

c'est-à-dire :

C3-16 G. FISHMAN, C. HERh dANN ET G. LAMPEL

Dans le cas où la lumière incidente est représentée par une matrice densité (ZexC) l'opérateur G s'écrit :

De façon analogue, la lumière émise dans la direc- tion Oz lors de la recombinaison d'excitations décrites par un opérateur densité p est caractérisée par un opérateur densité 1'"" dont les éléments de matrice dans la base 1 ea

>,

>

la trace étant prise sur les états de l'espace T, @ 7,.

II est facile de voir que les différents opérateurs

1

> <

1

>

,

>,

>

Pour calculer (Z1""), il suffit donc de connaître les éléments de matrice de l'opérateur densité p dans la base 11 1

>,

>.

2.4 EVOLUTION DE L'OPÉRATEUR DENSITÉ ET POLA- RISATION DE LA LUMINESCENCE. - L'opérateur densité p représentant l'état du cristal excité évolue suivant l'équation

* = ~ + j $ f )

rec

où le premier terme G représente la création d'exci- tations dans le cristal, le deuxième (aplat),,, est la recombinaison de ces excitations due à divers méca-

(*) Si la lumière est observée dans une direction Oz' différente de la direction d'excitation Oz, il suffit de définir la matrice

( I l u m ) dans un repère 1 e: >, 1 eB

>

nismes (recombinaison radiative et non radiative), le troisième terme -

$

."

l'état excité sous l'action du hamiltonien auquel sont soumises les excitations élémentaires dans le semiconducteur.

Le problème qui consiste à prévoir les carac- téristiques de la luminescence, c'est-à-dire la matrice (Ilum) en régime stationnaire, pour une excitation décrite par (1""') est en principe extrêmement simple. Il suffit, connaissant l'opérateur G a partir de (3), .de déterminer la matrice densité p" donnée par la solution stationnaire de I'éq. (5) : dp/dt = O et de calculer (1'"") par la formule(4). Dans la pratique, la solution rigoureuse est le plus souvent impossible à obtenir car l'évolution de p sous l'effet de la recombi- naison et du hamiltonien H n'est pas connue parfai- tement. En effet il faut tenir compte des différents processus de thermalisation et de recombinaison sous l'effet des collisions avec les imperfections du cristal.

En introduisant des paramètres phénoménologiques (temps de relaxation et temps de recombinaison), on peut néanmoins rendre compte de ces processus.

Les expériences de pompage optique permettent ainsi la mesure d'un certain nombre de ces temps carac- téristiques. D'autre part, il est toujours possible d'appliquer au semiconducteur une perturbation extérieure contrôlable (contrainte uniaxiale, champ électrique ou magnétique) et de déterminer la modi- fication de (1'"") en fonction de ces perturbations.

Dans les paragraphes suivants, nous allons appli- quer le formalisme développé ici à des situations physiques particulièrement simples.

3. Détermination de (1'"") dans quelques cas simples.

- 3.1 PAIRES ÉLECTRONS-TROUS ET EXCITONS.

On sait que les états d'excitations élémentaires d'un cristal sont des excitons qui prennent en compte l'interaction coulombienne entre électrons et trous, ainsi que les interactions d'échange qui résultent du principe de Pauli. Cette notion apparaît de façon évidente lorsqu'on s'intéresse aux excitations de plus basses énergies qui donnent lieu aux états excitoniques discrets d'énergies inférieures à la bande interdite, dans lesquels le trou et l'électron créés restent liés l'un à l'autre. Au contraire, dans les états du conti- nuum ou états de paires, dont l'énergie est supérieure à la largeur de la bande interdite, le trou et l'électron évoluent de façon indépendante et la distance des deux particules peut devenir infinie.

Nous sommes donc conduits à distinguer deux cas d'excitation : celui où l'on crée des états du conti- nuum que nous appellerons paires électron-trou et celui où l'on crée des états discrets que nous appelle- rons plus spécifiquement excitons.

3 . 2 PAIRES ÉLECTRON-TROU. - Lorsque l'on crée une paire électron-trou par absorption d'un photon, la paire créée dans un état du sous-espace 1 1 1

>,

1 1 - 1

>,

ANALYSE D U POMPAGE OPTIQUE DES PA .IRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS C3-17

dissocie en un temps correspondant à l'inverse de l'énergie de liaison de l'exciton qui est de quelques millivolts dans les cas que nous considérons. En un temps de l'ordre de 10-l3 s, après leur création, l'électron et le trou évoluent indépendamment l'un de l'autre. On peut décrire la création d'états de paires en écrivant que l'opérateur densité représentant le semiconducteur excité est le produit tensoriel des opérateurs p, et p, représentant les électrons et les trous créés : pet = pe O p,.

Le terme de création de paires dans I'éq. (5) s'écrit :

où les traces partielles de G sont prises respectivement sur les variables de trous et les variables d'électrons..

3.2.1 Absence de relaxation. ^- Si les paires électron- trou créées se recombinaient sans avoir eu le temps de relaxer, la matrice (pw) serait proportionnelle à (G,J et la luminescence serait donnée par :

où les nombres Imp sont les éléments de la matrice (1""") qui décrit la lumière excitatrice :

On voit que, dans ce cas, à une lumière excitatrice polarisée circulairement :

I++ = 1 , I+- = I-+ = I-- = O ,

correspond une luminescence polarisée circulairement à 100 % :

Dans le cas où la lumière excitatrice est polarisée linéairement, parallèle à x :

I++ = I f - = I-+ = I-- = 4 ,

la luminescence n'est que partiellement polarisée linéairement :

On voit également que l'intensité de la luminescence dans la direction Oz dépend de la polarisation de la lumière excitatrice. En effet, cette intensité est pro- portionnelle à : 7(I+ ⁺

+

I+ ⁺

+

On peut comprendre ce fait, a priori surprenant, en remarquant qu'avec les hypothèses faites (absence

de relaxation), les paires électron-trou créées initia- lement dans le sous-espace 1 l 1

>,

>

peuvent évoluer vers des états qui ne sont pas couplés optiquement dans la direction Oz et cela d'une façon qui dépend de la polarisation de la lumière excita- trice.

3.2.2 Influence de la relaxation. - Remarquons tout de suite que l'hypothèse où ni les électrons, ni les trous ne relaxent n'est pas du tout réaliste. En effet, dans les composés cubiques, les fonctions d'onde de trou ne sont pas pures de spin à cause du couplage spin-orbite. Une collision de la quantité de mouvement doit s'accompagner d'une relaxation qui fait passer d'un état 1

2

>

+

>

en un temps de l'ordre de 10-l2 s, inférieur au temps de vie. Les fonctions d'onde de la bande de conduction, par contre, sont pures de spin, ce qui signifie que la relaxation des électrons peut être beaucoup plus lente et est caractérisée par un temps de relaxation Tl qui peut être plus long que le temps de vie.

Il est possible de rendre compte de cette situation en écrivant que la matrice densité de régime perma- nent pour les trous, (p,") est proportionnelle à la matrice unité (E,). La matrice densité pour les élec- trons, p,, évolue vers une matrice (E,), proportionnelle à la matrice unité, avec un temps caractéristique égal au temps de relaxation électronique Tl. Si les processus limitant le temps de vie peuvent être caractérisés par un seul temps de vie ^{2 ,} l'équation d'évolution de p, est :

Dans la base 1 Sf

>,

>,

avec

Pour une excitation polarisée circulairement : + 1 I + - = I - + = I - - = O , P i = - 0 , 5 .

Pour une excitation polarisée linéairement :

En résolvant I'éq. (7) avec dpe/dt = O, on obtient p," qui n'a d'éléments non nuls que suivant la dia- gonale dans la base / St

>,

>.

C3-18 G. FISHMAN, C. HERMANN ET G . LAMPEL

n'a elle aussi d'éléments de matrice non nuls que suivant la diagonale dans la base ] o i

>.

avec :

En calculant les éléments de matrice de p z dans le sous-espace 1 1 1

>,

>,

Le taux de polarisation circulaire de la luminescence

lum lum

est défini par

'+ ^'

+

25 % lorsque Tl %- z et que l'excitation est polarisée circulairement. Pour une excitation polarisée linéai- rement, la luminescence n'est pas polarisée ce qui est dû à la perte totale de cohérence entre électron et trou lors de la relaxation des trous.

3 . 3 EXCITONS. ^- Dans ce cas l'électron et le trou restent liés l'un à l'autre et l'on ne peut séparer leur évolution. Si l'interaction d'échange 6 est suffisante pour séparer les excitons « permis » J = 1 des exci- tons « interdits » J = 2, on peut considérer que ces deux types d'excitations évoluent séparément. On

est alors conduit à introduire différents types de relaxation : relaxation à l'intérieur d'un multiplet vers une matrice proportionnelle à la matrice unité et relaxation d'un multiplet vers l'autre de telle sorte que les populations relatives des divers niveaux d'énergie tendent vers le rapport de Boltiman : enp

(- &)

Nous ne développerons pas plus longtemps ces cas qui se traitent selon des lignes analogues à ce qui a été dit plus haut. Remarquons seulement que la base 1 J M

>

>,

1 1 - 1

>

3 Les les

. 3 . 1 Excitons liés à des impuretés neutres. -

idées développées plus haut en ce qui concerne excitations intrinsèques peuvent être étendues au cas des excitons piégés sur des impuretés neutres.

Dans le cas des excitons piégés sur des donneurs neutres, il faut tenir compte des deux états possibles de l'électron sur le donneur avant piégeage de l'exci- ton. L'espace de configuration est alors à 8 x 2 ⁼ 16 dimensions. Dans le cas où l'impureté est un accepteur neutre l'espace de configuration est à 32 dimensions.

ANALYSE DU POMPAGE OPTIQUE DES PAIRES ÉLECTRON-TROU ET DES EXCITONS C3-19

Nous avons calculé le taux de polarisation circu- Avec ces hypothèses simplificatrices mais physi- laire de la lumière de fluorescence résultant de la quement réalistes [IO] on montre que la polarisation recombinaison d'un exciton piégé sur un donneur maximum de la luminescence est de 5/32 pour les neutre dans les hypothèses suivantes : excitons piégés et de 114 pour les excitons libres. %Si

a) Création de paires électron-trou par excitation le taux de polarisation des excitons libres est 0(x) en lumière circulaire. et qu'il n'y a pas de perte de polarisation dans le piégeage, ni de relaxation des excitons piégés, le b) Relaxation complète des trous vers une distri- _taux de polarisation des excitons piégés sur les don-

bution uniforme. neurs neutres est

c) Relaxation partielle des électrons.

d) Formation d'excitons par liaison électron-trou 5

DO, x) = - 0(x) , à partir d'un gaz de trous non polarisés et d'un gaz 8

d'électrons partiellement polarisés. ce qui est conforme aux résultats expérimentaux pré- e) Piégeage de ces excitons sur des donneurs neutres sentés par ailleurs [Il]. Ce résultat justifie nos hypo- non polarisés dans des états tels que les deux électrons thèses sur les mécanismes de piégeage et illustre la

soient antiparallèles. richesse des méthodes de pompage optique pour

f ) Luminescence des excitons piégés ainsi formés. étudier ces mécanismes.

Bibliographie

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DISCUSSION

C. BENOIT A LA GUILLAUME. - Dans le cas de l'exci- G. FISHMAN. - Il est vraisemblable que le temps ton piégé sur le donneur neutre il faut admettre que le de relaxation Tl du trou piégé, correspondant aux temps de relaxation du trou piégé est relativement excitons optiquement actifs, est plus long que la durée long contrairement au temps ^Tl du trou libre. de vie des excitons piégés.