HAL Id: jpa-00200770
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Le théorème de Fermat et la loi du minimum de temps
en optique géométrique
F. Croze, P. Chatelain
To cite this version:
LE THÉORÈME DE FERMAT
ET LA LOI DU MINIMUM DE TEMPS EN
OPTIQUE
GÉOMÉTRIQUE
Par F. CROZE et P. CHATELAINLes lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière sur une
sur-face de forme
quelconque,
maisgéométriquement
régulière
et infinimentpolies
ont été ramenées par Fermât à uneproposition unique
souventappelée
« Loi du Minimum detemps
». Elle s’énonce d’unefaçon
particuliè-rement commode
si,
au lieu de considérerprécisément
letemps
t que met la lumière pour aller d’unpoint
A à un autrepoint
A’,
en se réfléchissantou se réfractant au
point
1 d’unesurface,
on introduit letrajet Vot
que,pendant
cetemps
t, la lumièreparcourrait
dans levide,
où elle se propage avec la vitesseV,.
Cetrajet
est laoptique
du rayonAIA’;
il estégal
à la somme desproduits
de chacune deslongueurs
AI et IA’ parl’indice de réfraction absolu du milieu dans
lequel
elle se trouve.Cela
posé,
pourqu’une trajectoire
partant
dupoint
A et aboutissant aupoint
A’ soit réellement suivie par lalumière,
il faut et il suffit que la différence entre lalongueur optique
de cettetrajectoire
et celle d’unetrajectoire
infiniment voisinequelconque
AJA’,
soit un infinimentpetit
d’ordre
supérieur
aupremier.
A cet énoncé que nous
empruntons
presque textuellement àLévis-tal
(~),
on substitue engénéral
celui-ci : Lalongueur optique
d’un rayonqui
va d’unpoint
A à unpoint
A’,
en se réfractant ou se réfléchissant sur unesurface,
est un minimum ou un maximum parrapport
auxlongueurs
optiques
de toutes lestra-jectoires
’AJA infiniment. voisines
(fig.
1).
Cet énoncé n’est pas
cor-rect et Lévistal a montré que, dans certains
cas,
la,
,
longueur optique
de latra-.
jectoire
AIA’ suivie par lalumière
peut
êtreplus
courte que certaines destrajectoires
infiniment
voi-sines AJ1’ et
plus longue
que certaines autres.Mais,
pourLévistal,
ce sontlàdes cas
exceptionnels, qui
nepeuvent
seprésenter quand
la surface dirimante(réfléchissante
ouréfringente)
est convexe, c’est-à-dire située toute entière du même côté de l’unquelconque
de sesplans tangents.
Or,
loin d’être.
(1)
LEVISTAL ; Recherches d’optique géométrique. Annales del’Ecole not/naZe
supé-rieure, 1867.
exceptionnels,
ces cas seprésentent
toutes les fois que le rayon AIA’peut
être considéré comme l’axe d’unpinceau
dont tous les rayons, issusdu
point
A,
vont,après
réflexion ouréfraction,
s’appuyer
sur deux droitesfocales
qui
coupent
le rayon moyen IA’ en deuxpoints
F2’
et C’estprécisément
cequi
arrive engénéral.
Si on
appelle
distancedioptrique
d’unpoint
A’ du rayon, réfracté ouréfléchi,
lA’
aupoint
d’incidenceI,
l’inverse 7
de sa distanceproprement
dite,
comptée
positivclnent
dans le sens de lapropagation
de la lumière surle rayon
considéré,
la relation exacte entre lalongueur optique
dutrajet
AIA’ et celles destrajectoires
infiniment voisines est donnée par le théo-rèmesuivant,
dont la démonstration estl’objet
de cet article.La
longueur
optique
du rayon lumineuxAIA’,
qui
s’est réfracté ouréfléchi en un
point
1 d’une surfacequelconque.,
est un si ladis-tance
dioptrique,
aupoint
d’incidence,
dupoint
A’pris
sur le rayon réfracté(ou
réfléchi)
estplus petite
que celles des deux focalesconjuguées
dupoint
A;
elle est un 1JZaxÍmîl11z si cette distancedioptrique
estplus grande
que celles des deuxfocales ;
elle n’est ni un ni un minimllrn sila distance
dioptrique
dupoint
A’ estcomprise
entre celles de ces focales.Si le
point
A’ 1se
déplace
dans le sens de lapropagation
de lalumière, d’abord,
depuis
la surface dirimantejusqu’à
l’infini sur lapartie
réelle du rayon réfracté
(ou réfléchi), puis, depuis
l’infinijusqu’à
la surface1
dirimante sur la
partie
virtuelle de ce rayon, la distancedioptrique T
dupoint
A’ aupoint
d’incidence décroit constammentdepuis
+ 00
à0.,
puis
de 0 à -00 , tandis que sa distance
proprement
dite l’ croît de 0 à+
oc ,puis
de - 00 à 0. Parconséquent"
tant que lepoint
A’,
s’éloignant
de lasurface dirimante n’a rencontré aucune
focale,
on se trouve dans le cas d’unminimum ;
depuis
lapremière
focale rencolltréejusqu’à
laseconde,
on setrouve dans le cas où il
n’y
a ni maximum niminimum ;
au delà de la2e focale
jusqu’à
la surfacedirimante,
on se trouve dans celui du maximum. Si l’on s’astreint àprendre
toujours
lespoints
A et A’ sur lesparties
réelles des rayons et si les deux focales sont
virtuelles,
on se trouveratou-jours
dans le cas du minimum : c’est cequi
arrivetoujours
si la surfacedirimante est
plane (fig. 2)..
’
Si une seule des focales est
réelle,
on aura un minimum entre la surfacedirimante et cette
focale;
au delà de cettefocale,
lalongueur optique
dutrajet
suivi par la lumière n’est ni unminimum,
ni un maximum : c’est cequi
seprésente
quand
un rayon AI se réfléchit sur un miroircylindrique
180
soiis uiic incidence même voisine de la normale, pourvu que la _1 soU
plus
grande que
la moitié du rayon de .oiii>1>ui>x du mu’ohFig. :2. Diovtre plan.
.
j i 1« .
3). Au
POi11L
[ A sontconjuguées
deuxfocales,
dont lune iiepeut
virtuelle el dont l’autre est réelle, tant que la clisiollce AI
l’ell1plil la
indiqllép.
Enfin. deux iocale; sont
réelles,
011 a U11 minimum eI1tre la SUL’ftH’P.
Fig. 3. -- Miroir
cylindrique concave. ,
lii>iiiianle el la
première
foca1e: 1111maximum,
au (LeiaaliC
lales deux
Îocales,
011 se liouxvera dans le cas où lu1011gl1eur
duAÏA 11’rst 11i 1111 maximum 11L 1111 minimum.
Ce dermer cas est celui
(ill"On
rencontrellUll1(11111
rayon ...B1 se j’(Bfléchil lFig. 4. - Miroir
sphérique coiica-ve.
iiii iiiiroir
sphérique
coiicave derayoll JI.
sgus une incidenceoblique
1,liiî,,tiid
la
distance AI estplus
grande
(fig.
4),
car. alors, au’ . i. o
2 B & / i
conjuguées
deux locales réelles. ’ "général.
onpeut
dire seulement que c’esl unequantité
dire donL la différentielle
première
%sl nulle.Le
théorème de Fermât nesigmfie
pas autre chose, ainsi que le montre. la demonsh’aLion que nousrappelons
ici.2. Le théorème de Fermat. - La
longueur
opliqllC (1)
de latrajec-toirp
qui
rpl1C011trc P11 J 1a surface deséparation
de deux milieux dont les indices absolus S011trcspcclivenlPnl n
a pourexpression
C’est une fonction de la
position
dupoint
J sur la surface. 31ais. detous les chemins AJA
possibles,
seuls sont réellement suivis par la lumièreceux dont la refraction sur la surface se fait conformément aux lois de
Descartes Soit AIA un de ces
trajets
réels :autour
dupoint
d’incidence tdu rayon AI lraçolls un cercle de centre 1 et de rayoil infiniment
petit.
Lalongueur
opli([lle CP
dntrajet
correspondant
à unpoint
J,
pris
dBmefaçon quelconque
à l’intérieur de ce cercle.peut
s’obtenir. àpartir
de cellequi correspond
autrajet
au moyen dudéveloppement
en série deTaylor
pourvu toutefois que la surface ne
présente
pas desinglilarilés
auvoisi-nage du
])Oillt
1.’
Or,
si le rayon AI se réfracte suivant lA’ conformément aux lois deDescartes,
la différentielle dupremier
ordre lalongueur
optique
sera nulle. Pour le montrer, prenons le
point
1 commeorigine
d’un-
sys-lFiiiz de coordonnées
rectangulaires,
dont leplan ylz
coïncide avec leplan
tangent
à la surface aupoint
I~
elleplan xly
avec leplan
d’iiicicleiice llurayon ...B1. Sur l’axe
Ix,
normal à lasurface,
de même que sur les rayons,le sens
positif
sera celui de lapropagation
de la lumière. Soient alorsA,
1", Z les coordonnées dupoint
A :X’, 1",
Z’,
celles dupoint
1B’ ;
y eL z, tesvariables
indépendantes qui
fixent laposition
dupoint
variable J sur lasurface
dirimante,
dontl’équaLiol1
est --c == f(y. z).
Nous avons à montrerque pour le
point
1.origine
descoordonnées,
on a’
t’mdicc 0
indiquant
s’agit
des valeurs des dériyéos considéréespotir .
182
et
qu’en
vertu du choix des axeson a, en
posant
IA = 1 et IA --_l’,
>Mais,
puisque
le rayon réfracté doit rester dans leplan
d’incidence,
ondoit
avoir,
dans la seconde de ceséquations
.Fig. 5. ~
1
On a
alors,
endésignant
par i
l’angle
d’Íl1cidence
et par i’l’angle
de réfraction
Ài5Î,
.de sorte que, si la loi de Descartes est
vérifiée,
lapremière
deséquations
de condition s’écritQuelle que soit donc là
position
dupoint
J à l’intérieur du cercle infi-nimentpetit
de centreI,
la différentielle de lalongueur
optique
dutrajet
suivi par la lumière est nulle : c’est le théorème de Fermât. Le cas où le rayon subit une réflexion se ramène àcelui-là,
en faisant il=== 1~’
etchangeant
le senspositif
de l’axe des x,quand
on passe du rayonpositif,
d’unsegment
pris
sur un rayon, le sens de lapropagation
de lalumière sur ce rayon.
Moyennant
cette convention designe,
la déf inition deslongueurs
optiques
et le théorème de Fermat restentapplicables,
dans les deux casde la réflexion et de la
réfraction,
même si les deuxpoints
A et A’ sontpris
sur lesportions
virtuelles des rayons.- 3. Les focales d’un
pinceau
infiniment étroit. -Supposons
mainte-nant que le rayon AI soit le rayon moyen d’unpinceau,
qui
découpe
surla surface dirixnante un cercle de centre 1 et de rayon infiniment
petit.
Con-sidérons,
parmi
ces rayons, ceuxqui
coupent
ce cercle suivant l’un de sesdiamètres. Si ce
pinceau-
partiel plan
a une orientationconvenable,
sesrayons vont,
après
réfraction,
converger, au deuxième ordreprès,
en unpoint
F’ du rayon réfracté IA’,qu’il
estpossible
de déterminer., En
effet,
les conditionsqui,
d’après
le théorèmede
Fermât,
expriment qu’un
rayon se réfracte conformément aux lois de ~ 0Descartes,
devront alors êtresatisfaites,
non seulement pour lepoint
1,
origine
descoordonnées,
mais encore pour tous lespoints
infiniment voi-sinsappartenant
au diamètre considéré.Mais,
si on utilise ledéveloppe-ment en
série
deMaclaurin,
et si l’on serappelle
que(
ces conditions s’écrivent
,
’
en
posant
.
7
Ces deux
équations
conduisent au mênxe résultat pour lerapport
dy’
yqui
détermine l’orientation que doit avoir lediamètre,
lieu despoints
d’incidence,
sic’est cette condition
qui
fixe laposition
dupoint
F’,
oùconvergent
les rayons dupinceau plan
ainsi orienté.Or,
si l’ondésigne
par al’angle
duplan xIy, plan
d’incidence du rayon moyenAI,
avec l’un desplans
184
section
principale correspondante;
par~~.
celui do la sectionprincipale
normale il celle-ci: si l’on pose. d’autreet si l’©n rClnarque que ,
on trouve
’
Si l’on suppose fixe la distance
dioptrique
-y
dupoint
1 ~ .la quantité
D - =2 -T ° est donc Llll trinôme du second
degré
Iltoi(-a l’
jour.s
racinesréelles.
,Considérons (Fabord le cas où le
plan
d’incidencexly
dn rayon moyen AI coïncide avec unplan principal
de la surface dirimante. Alors P etrJ
sontrespectiyement
égaux
ilRI
et àl~_, : ~~
est nul et. par suite, aussi 0". Laquantité
D,
qui
se réduit à1
l 1 l, lcs . ut
s’aiiniil1 alors pour deux valeurs
-
et.7-
de/-
donnéesrespectivement
parannule -c., 1 orientation du
pinceau plan.
donnée resteindéternu-III 1
née et les rayons de tous les
pinceaux plans
de rayon moyen AI viennent converger en 1111 mêmepoint
F’ du rayonqui
est lefoyer
conjugué
(lupoint
A.En dehoi-s de ce cas
particulier.
la
valeur y-qui
annule p détermmesur le rayon Aï un
point
où viennent converger les rayons dupinceau
plan
contenus dans leplan
d’incidence du rayon moyen AI : c’est 1, centre de laDo
même la valeur(lui
annuler détcL’-mine unpoint
F’,
du rayon1A ,
oùviennent converger les
rayons dupinceau plan
normal auprécédent,
c’est le centre de lalocale
Le faisceau réfracté est
Il y a
toujours astigmatisme ctuai-icl
leplan
d’incidence du rayon moyen 11C coïncide pas avec unplan
principal
de la surface dirimante. Eneffet
1(,~’
trinôme 1) = 0~ -
pz 11 a alors
jamais
le mêmesigne
pour toutes tes valeurs de7 , 1
et, par suite, admettoujours
deux Sion donne
t’ T
une valeur trèsgrande.
D se réduittrès
approximativement
"
1 t. t ’ ,.
S. l, t t l " 1
a la
quantité )iéy,-ilii,e
- Si. d’autrepart.
on donneà/- ui>’
valeur
qui annule
p ou j. cequi
esttoujours
possible.
1) se réduit il laquantité
0’2,
puisqu/alors
elle nepeut
jamais
être nulle. Laposition
des
points
F’i
etF/2’ qui
correspondent
aux racines del’équation
D = 0.s’obtiennent encore en cette
équation C).
4. La relation entre le caractère des routes de Fermât et les focales d’un
pinceau.
- Pour savoir ni lalongueur optique (1)0
de la route de Fermât AIA’ estplus grande
ouplus
petite
que celle (1) de toutes leslia-jectoires
infiniment voisinesAJA ;
ou biensi,
plus
grande que certaines
d’entre
elles,
elle estplus petite,
que certaines autres, on doit 1 considérerquel
est. pourchaque position
dupoint
J dans le cercle infinimentpetit
qui
entoure lepoint
d’incidence 1, lesigne
de la différence’
(1) Les formules, qui donnent alors les positions de ces courbes et leur orientation se
186
Or,
si laquantité
n’est pasidentiquement
nulle,
lesigne
de la différence P -1>,j
est le même que celui de cettequantité, qui
a pourexpression
Mais le
signe
de d2 est déterminé à son tour par celui de sondis-criminant,
qui
est laquantité
que nous avons
déjà
rencontrée. Pour uneposition
fixe dupoint
A,
c’est une1
fonction du second
degré
de la distancedioptrique y
aupoint
d’incidenceI,
du
point
A’ choisi sur le rayonréfracté ;
cette fonction admettoujours
des racines réelles. Si sesracines,
qui
fixent lespositions
des centres des focalesF’1
1 etF’2,
conjuguées
dupoint
A,
sontdistinctes,
elle estpositive
toutesles fois que
7
est .compris
entre cesracines,
puisque
un terme ene
1 . .p 1 .... ..
est
négatif.
Elle estnéqative
dans tous les autres casqui
peuvent
seprésenter.
Or,
si pour uneposition
donnée dupoint
A’ le discriminant D estpositif,
le trinôme admet deux racines réelles distinctes. Le cercle infinimentpetit
tracé autour dupoint
d’incidence 1 est alors divisé enquatre
régions, séparées
par deuxdiamètres,
dont les directions sontdonnees
précisément
par les valeurs def
qui
sont les racines del’équation
1 p
y
q qd2 .p = 0. La différe11ce .p -
ibo change
alors designe quand
lepoint
J passe d’unerégion
à larégion adjacente.
Lalongueur
optique
dutrajet
AIA’ suivi par la lumière sera doncplus grande
que celle de certains destrajets
AJA’ etplus
petite
que celle de certains autres, toutes les foisqu’au
point
A du rayon AI serontconjuguées
deux focales distinctes et que la distancedioptrique
1
dupoint
A’ aupoint
d’incidence seracomprise
entre cellesT 1
etdue
ces focales.t
1t‘2
Dans tous les autres cas de
position
dupoint
A’,
le discriminant D estnégatif ;
le trinôme d’2 CPgardera
unsigne constant quand
lepoint
J tour-neha autour dupoint
d’incidence 1 : lalongueur
optique
dutrajet
AIA’ est alors’soit unminimum,
soit un maximum parrapport
auxtrajectoires
Elle sera un minimum
quand
d2(Do
serapositif
et unmaximum,
quand
il sera
négatif.
Or, tant que le trinôme d21)0
n’a pas deracines,
il atou-jours
mêmesigne
que p ou, cequi
revient au mêlne, que T, fOllCtiol1linéaire de la distance
dioptrique
qui
s’annule pour unevaleur
de cette?.
variable. Mais cette valeur
r
esttoujours
comprise
entre les racines du‘ ?
discriminant .D ou
égale
à l’une d’elles : cela est vraiquand
D admet deux 1 1racines
distinctes,
car pour p cettevaleur ,
deil.
D se réduit à2,
qui
ner q
peut
être que nul oupositif ;
c’est encore vraiquand
D a une racine double, car alors 7’ esttoujours
nul. Il résulte de là que d2 Pgarde
le mêmesigne
tant que la distancedioptrique 1
estplus petite
que celles des deux focalesT
e
(ou
dufoyer)
conjuguées
dupoint
A. Or.quand
ce est -00 , ’t est a
1"
négatif
et, parsuite,
aussi d2 Donc lalongueur
optique
du rayon AIA’ 1sera un maximum toutes les fois que la distance
dioptrique 7
dupoint
A’au
point
d’incidence 1 seraplus petite
que celles des deux focales(ou
dufoyer)
conjuguées
dupoint
A.Elle sera un minimum
quand
cette distancedioptrique
seraplus
grande
que celle dufoyer
ou des deuxfocales,
puisqu’alors
lesigne
ded2 4J sera
négatif,
comme
quand
est
égal
à+
00 .Le
théorème
que nous avons en vue se trouve ainsi démontré. Ce théorème estsusceptible
d’une démonstrationgéométrique plus
rapide
etplus élégalte,
mais un peuplus
délicate,
si l’on introduit laconsidération des surfaces d’onde. Cette nouvelle démonstration est due à
M.
La11gevill.
.
